4.4平行线的判定定理 解答题专题提升训练2024-2025学年浙教版八年级数学下册

2024-2025学年浙教版八年级数学下册《4.4平行线的判定定理》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，在中，点E，F分别是，上的点，且，连接，．求证：． 2．如图，的对角线和交于点分别是上的一点，且．求证：，且．    3．如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 4．如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 5．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 6．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 7．如图，在中，，点E是边的中点，点D是边上一点，连接并延长至C，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 8．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 9．如图，在四边形中，E为上一点，F为的延长线上一点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若为的中点，．求证：． 10．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，分别交线段、于点G、H，求证：． 11．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 12．已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 13．如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积． 14．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 15．【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 16．在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 17．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求A点坐标； (2)若点D的坐标为，将沿直线对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 19．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 20．在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 参考答案 1．证明：四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为平行四边形， ． 2．证明：连接如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 3．证明：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 4．解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 5．（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 7．（1）证明：，， ， ， 点E是边的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解： 平分， ， 四边形是平行四边形 ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，可得方程， 解得， 平行四边形的面积为． 8．（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 9．（1）证明：，     ，即． 又， ， ． ， ， ， ． ， 四边形为平行四边形； （2）延长交于点，作于点， 四边形为平行四边形， ， ． 为的中点，， ， ． ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ． ， ∴ ． 10．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知：四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 12．解：（1）∵ ， 在和中， ， ∴， ． （2）是平行四边形 ， 又∵ 四边形是平行四边形． 13．（1）证明：∵D、E分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：过点D作于H，如图所示： 是等边三角形，D为的中点 ，， ， ， ， ， ， ． 14．（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    15．（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 16．（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 17．（1）解：设，则， 在中，， 在中，， 则， 解得：，即：， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，则， 在中，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， 由对折可知，，， ∴四边形是平行四边形； （3）存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 由（2）得：，则， 由（2）得：，则， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 当点在上方时，过点作，则 ， ∴， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，，则， ∴此时点的坐标为； 当点在下方时，过点作，则 ， 同理，可得点的坐标为； 综上所述，存在点的坐标为或，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 18．（1）解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 19．（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 20．（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$