4.2平行四边形及其性质 解答题专题提升训练 2024-2025学年浙教版八年级数学下册

2024-2025学年浙教版八年级数学下册《4.2平行四边形及其性质》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，在中，，，，求的长度． 2．如图，四边形是平行四边形． (1)当时，求其余各内角的度数； (2)当，四边形的周长等于22时，求其余三边的长． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则 ． 4．如图，四边形是平行四边形，与关于对称，交于点． (1)仅用无刻度直尺作的中线； (2)在（1）所作图形中，求证． 5．如图所示，中，，，垂足分别为E、F，，，，求的面积． 6．已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得，连接，与对角线交于点．求证：． 7．如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 8．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 9．如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的周长． 10．如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 11．如图，在平行四边形中，．若平分． (1)求证：； (2)若，求：的度数． 12．如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 13．如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，中，，E、F分别是上的点，且，连接交于O． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长． 15．劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 16．如图，为 的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 17．数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 18．在平行四边形中，平分，平分，点、在上． (1)如图1，当点、重合时，请你经过推理后直接填空： ①与的数量关系为：________； ②与的位置关系为：________； ③、、的关系式为：_______； (2)如图2，当点在点左侧时，证明（1）中③的结论仍然成立； (3)如图3，当点在点右侧时，若，，则四边形的面积=________． 19．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求的长． (3)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 20．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：． 小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，． 在和中，． 在中，． （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长． 参考答案 1．解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴， 在中， ， ． 2．（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为22， ∴， ∴． 3．解：（1）如图所示，即为所求， （2）如图， ∵， ∴， ∵作的平分线交于点 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 4．解：（1）如图，即为所求； （2）证明：由对称，可得． 四边形是平行四边形， ， ， ． ， 由（1）可知为中线， ． 5．解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴的面积． 6．证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 7．解：， ． 由折叠性质可知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 8．（1）证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（1）证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为． 10．（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． ，分别为边，的中点， ，． ． 在和中， ， ． （2）解： ，为边的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴四边形的面积为． 11．（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 12．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 14．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ 在等腰中 15．（1）解：公平． 理由是：过作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 和的面积之和等于平行四边形的面积的一半； 方案公平． （2）如图，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．． 16．（1）①证明：∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②解：由勾股定理得，， 如图1，过G作于， 由①可知，平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，以为顶点作，交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 17．解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 18．（1）解：①∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 则 ∴ 则 ∴； ③由勾股定理可得 即 （2）解：过点E作，交于点G 在平行四边形中 ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，则 ∴（1）中③的结论仍然成立 （3）解：如图：过点E作交直线于一点H，过点H作 ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 ∴ ∵在平行四边形中，平分，平分，点、在上． ∴在平行四边形中，平分，平分， 与（1）同理，得出 则 ∴ ∵，， ∴， 则 ∴ 则 ∵ ∴ ∵四边形的面积高，平行线的距离处处相等 ∴四边形的面积高高 ∴四边形的面积 19．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下：连接， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形． 20．解：（1）小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，． 在和中，． 在中，． ∴ （2）∵，，， ∴ ∴ ∴ （3）如图所示，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接； 则 ∵，是斜边的三等分点， ∴， 设，则 由（1）可得 ∴ 即 同理可得 ∴ 即 又∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$