湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

华科附中2023级高二年级九月月考 数学试题 考试时间：2024年9月27日 试卷满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．已知直线：和直线：，则“”是“∥”（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 4．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 5．已知事件，且，.若与互斥，令，若与相互独立，令，则（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.46 6.点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A． B． C．3 D．4 7．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 8．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则动点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分） 9．下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在y轴上的截距是3 10．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中， ，，，分别为棱，的中点，则（ ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱， 底面是正方形，，且， 则向量的模长为 ．   13．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为 ． 14．嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 . 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17） 15．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 16．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? (3)在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 17． 如图，在长方体中，，点在棱上移动. (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 18．已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 19．在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成夹角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华科附中2023级高二年级九月月考 数学试题 考试时间：2024年9月27日 试卷满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 2．以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径. 【详解】由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：D. 3．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】B 【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B 4．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 5．已知事件，且，.若与互斥，令，若与相互独立，令，则（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.46 【答案】B 【分析】由已知结合互斥事件和相互独立事件的概率公式分别求出和，进而可求. 【详解】因为A，B互斥， 所以， 因为A与B独立，，， 所以， 所以， 故选：B. 6.点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 6．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 8．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），且，则动点的轨迹长度为（） A． B． C． D． 答案 D 因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为； 故选D 二、多选题（共3小题，每小题6分） 9．下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 10．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据若点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．   【分析】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解. 【详解】, 故, 故， 故， 13．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为 ． 【详解】若截距都为0，即直线过原点，则直线方程为； 若截距不为0，令直线为或， 当，则，故直线方程为； 当，则，故直线方程为； 综上，直线方程为或或. 故答案为：或或 14．嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 . 【答案】 【分析】求出甲乙打卡相同景点的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案. 【详解】甲乙打卡相同景点的概率为， 所以甲、乙打卡不相同景点的概率为. 故答案为： 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17） 15．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【详解】（1）y=-3x+9 法一：根据图形特征 法二：待定系数法（略） 三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由，外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 16．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? (3)在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】(1)kg (2) (3) 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . （2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． （3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 17．如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）设，可求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    当点在棱的中点时，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为； （2）设， 则， 则，    设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 令， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 18．已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或（2）的取值范围为且 【详解】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝，                                      此时切线：                         ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程：                     综上：切线的方程为：或 （2）圆心到的距离 ， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则, 所以当圆上有2个点到的距离为1，则, 所以,即,, 的取值范围为且 19．在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小. 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii） 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角； 【详解】（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则有，所以， 直线与平面所成角的余弦值为. （2）由题可知平面的法向量为，且过点， 因为,所以， 所以点到平面的距离为. （3）（i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面 ， 然后得到几何体为 几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知， 的图像是一个完全对称的图像， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时， 得， 画出第一卦限图像， 显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$