微专题：直线过定点问题 讲义-2025届高三数学二轮复习

微专题——直线过定点问题【缘起】 题目出处 题目 人教A版P80第16题 已知为任意实数,当变化时,方程 表示什么图形?图形有何特点? 人教A版P102第10题 求点到直线(为任意实数)的距离的最大值. 人教A版P103第20题 已知圆,直线. (1)求证:直线恒过定点. （2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 人教B版P102第3题 方程在k取遍所有实数时，可对应无数条直线，这无数条直线有什么共同点？ 人教B版P177B组第4题 不论为何实数，直线3x-2y+1)=0恒过定点 北师大版P43B组第4题 求证不论取何值，方程x+(1-2)y+3-1=0总表示一条直线，且恒过一定点. 【抽象】 方法：（集项法）诸曲线过定点，是曲线系方程中的最基本的问题．解决这类问题的基本方法是把方程按含与不含可变参数重新集项（分离参数）为（为参数），则这个曲线系就是过和交点的曲线系，解方程组，便可求得定点． 原理：方程对而言，有多于一个解的充要条件是． 抽象：过两相交直线和交点的直线系方程为： ， 其中λ为任意常数，这些直线中不包括直线．若要包括这条直线，则方程为：． 【特例】 （1） 直线过定点； （2） 直线过定点； （3） 直线过定点； （4） 直线过定点； （5） 直线过定点； （6） 直线过定点；【提升】 1、求证：不论取何值，直线系必过定点，并求出这个定点的坐标. 证 将参数分离，得： ① 因为当方程和同时成立时，无论取何值，方程①恒成立，所以直线系必经过直线和交点， 解方程组 得 因此，不论取何值，直线系必过定点. 2、 3、（平谷2024一模-10）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 4、（2024门头沟一模-9）9. 在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得. 【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点， 而由知，点可看成圆上的动点， 于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到. 如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为， 要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大， 又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短） 此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为. 故选：D. 5.（2024朝阳二模-14） 若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为_______. 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】画出图，由图可知有两个交点的时候的临界状态为相切与过点，求出此时直线的斜率，则实数的取值范围即可求解. 【详解】 直线过定点， 曲线 ，即，表示半圆， 如图所示，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 所以（舍去）或， 由于直线与曲线 有两个不同的交点， 当直线过时，斜率最小为， 所以由图可知，实数的取值范围为：， 故实数的一个取值为1， 故答案为：1（答案不唯一）. 6.（2024海淀上学期期末-6）已知，直线与交于，两点．若为直角三角形，则 （A） （B） （C） （D） 7.（西城学探诊选择性必修1·P50-14）已知曲线，其中． （1） 证明：不论取何实数，曲线必过定点； （2） 证明：当时，曲线是一个圆，且圆心总在同一条直线上． 8．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 9．曲线与直线（2k+1）x﹣（k+1）y+1＝0有两个交点，则实数k的取值范围为（　　） A．（0，+∞） B． C． D． 10．已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．存在，使与直线平行 B．恒过定点（0，1） C．存在，使被圆截得弦长为 D．存在，使被圆截得弦长为4 11. 已知点，过点作直线，不同时为垂线，垂足为，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 直线整理得 可知直线过定点T，所以点落在以为直径的圆上，点的轨迹为，圆心为C半径为1， 的最小值为; 故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$