等比数列前n项和公式讲义-2025届高三数学一轮复习

第四节 等比数列前n项和公式 考点一： 等比数列的前n项和公式 1. 等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2.等比数列前n项和公式的函数特征： 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. ◆典例分析◆ 例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式. ∴an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 例2. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　S10＝＝(510－1). 例3 已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________. 答案　6 解析　Sn＝＝126，即2n＋1＝128，故n＋1＝7，n＝6. ◆对点练习运用◆ 1. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　) A. B.－ C. D.－ 解 　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝. 2. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【解析】等比数列中，， 则， 所以， 解得． 故答案为：． 3. 已知为等比数列，，，则 ． 【解析】等比数列， ，解得， 而，可得， 即， ． 故答案为：． 考点二 等比数列前n项和的性质 1. 数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 3.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). ◆典例分析◆ 例1 　记为等比数列的前项和．若，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 解 为等比数列的前项和，，， 由等比数列的性质，可知，，成等比数列， ，2，成等比数列， ，解得． 故选：． 例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ ③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63. 例3. 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 解　　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋). 由已知a1＝1，q≠1，有 由②÷①，得q＝2， ∴＝85，4n＝256，∴n＝4. 故公比为2，项数为8. ◆对点练习运用◆ 1. 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A.32 B.64 C.72 D.216 答案　B 解析　由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64. 2. 等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是(　　) A. B.Sqn－1 C.Sq1－n D. 答案　C 解析　易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝S·q1－n. 3. 正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________. 答案　40 解析　由S30＝13S10，知q≠1，由 得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去). 考点三 错位相减法求和 1.适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 ◆典例分析◆ 例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0，n∈N＋). 解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝－nxn＋1， ∴Sn＝－. 综上可得， Sn＝ 例2 求数列的前n项和，n∈N＋. 解　设Sn＝＋＋＋…＋， 则有Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－， 即Sn＝－＝1－－. ∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋). ◆对点练习运用◆ 1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)数列是公差为1的等差数列， ∴＝a1＋n－1， 可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5，解得a1＝1，∴Sn＝n2. ∴n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立). ∴an＝2n－1(n∈N＋). (2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1(n∈N＋). 2. 已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 解 （1）当时，，解得， 当时，， ，， 当时，可得， ， 当或时，，适合上式， 的通项公式为； （2）由（1）可得， ，， ， ． 3. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 解 （1），，成等差数列，， 是首项为1的等比数列，设其公比为，则，， ，． （2）证明：由（1）知，， ， ，① ，② ①②得，， ， ， ． 4. 设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N＋. (1)证明：数列为等比数列； (2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn. (1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则＝2·＋1， 所以＋1＝2·，又＋1＝2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解　由(1)知＋1＝2×2n－1＝2n， 所以Sn＝n·2n－n， 故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n). 设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， 则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1， 所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以M＝(n－1)×2n＋1＋2， 所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－(n∈N＋). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节 等比数列前n项和公式 考点一： 等比数列的前n项和公式 1. 等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2.等比数列前n项和公式的函数特征： 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. ◆典例分析◆ 例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 例2. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　　) A. B. C. D. 例3 已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________. ◆对点练习运用◆ 1. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　) A. B.－ C. D.－ 2. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 3. 已知为等比数列，，，则 ． 考点二 等比数列前n项和的性质 1. 数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 3.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). ◆典例分析◆ 例1 　记为等比数列的前项和．若，，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 例3. 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. ◆对点练习运用◆ 1. 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A.32 B.64 C.72 D.216 2. 等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是(　　) A. B.Sqn－1 C.Sq1－n D. 3. 正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________. 考点三 错位相减法求和 1.适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 ◆典例分析◆ 例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0，n∈N＋). 例2 求数列的前n项和，n∈N＋. ◆对点练习运用◆ 1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 2. 已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 3. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 4. 设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N＋. (1)证明：数列为等比数列； (2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$