云南省玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

玉溪师院附中2026届高二上学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 出题人：普媛 审题人：姚君 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 6．在中，若，则的形状一定是（ ） A． 等边三角形 B．钝角三角形 C． 等腰三角形 D．直角三角形 7. 半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A． B． C． D．或 2、 选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分). 9. 已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 若，直线被圆截得的弦长为 D. 若直线与直线垂直，则 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，且、均非零时， D. 当时，四棱锥的体积恒为定值 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 的值域为 D. 在上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分). 12. 若，则 . 13. 若函数为偶函数，则实数 . 14. 已知，是椭圆左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15.(本小题满分13分) 如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：； 16．(本小题满分15分)某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 17. (本小题满分15分)如图，在中，内角所对的边分别为，且为所在平面内一点，且为锐角. 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 （1） 若，求； （2）若，求. 18. (本小题满分17分)在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 19．(本小题满分17分)在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为. （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）已知直线与圆相交于两点.（i），求直线的方程；（ii）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. $$ 玉溪师院附中2026届高二上学期期中考试数学试卷答案 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B D C C D 9 10 11 BC ACD AC 12 13 14 2 15解析： （1）连接CM， ，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，. 而平面平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，平面， 平面平面. 又平面，平面. （2），平面，平面， 平面，， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 平面， 平面， 16解析：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. （2）众数为 平均数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为. （3）第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为， 则从这5人中选出2人，有共10种结果， 两人来自不同组有共4种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 17解析：（1）由可得， 又因为，所以可得， 即，可得； 又，所以可得； 因此， 又，若，可得，可得； 又，所以； 由余弦定理可得，解得； （2）设，则， 由可得， 在由正弦定理可得，即，可得， 利用余弦定理可得，解得； 所以可得， 又为锐角，所以； 可得.（解法不唯一） 18解析：（1）因为垂直于梯形所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又，故两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，则， 又 则点到平面的距离是 （2）存在点，当点与重合时，直线与平面所成角的大小为，理由如下： .. 设平面的法向量为，则，即， 解得令，得，所以平面的一个法向量为. 由，设，， 则，解得， 故，则.   因为直线与平面所成角的大小为， 所以   解得，由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为且. 19解析：（1）由题意，    圆心到直线的距离 直线与圆相切    ，解得： 直线方程为： （2）（i）设，由得： 由，解得： 直线的方程为： （ii）由题意知：， 则，与圆联立得：          同理可得：     ，整理可得：      设         ，即     存在常数，使得恒成立 学科网（北京）股份有限公司 $$