2025年中考数学复习：中考题中的相似形与面积问题

中考题中的相似形与面积解析 　 一．选择题（共14小题） 1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AC上一点，且AD=2CD，CE⊥BD于H交AB于E．F是AB的中点，BD、CF交于点G，连接EG．下列结论：①BG=CE；②四边形AEGC为等腰梯形；③HG=2HD；④BE=3AE．其中正确的结论有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 　 2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD； ②△ADC是等腰三角形； ③∠CGD+∠DAE=180°； ④CD•AE=EF•CG．一定正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 　 3．已知AD是△ABC的高（点D不与B，C重合），E是线段AD上一点，且，给出下列结论：①∠BED=∠ACB；②BE⊥AC；③CE⊥AB；④△ADC∽△BDE；⑤△DEC∽△DBA．其中正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ①③⑤ C． ①②③ D． ④⑤ 　 4．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=BF；④AE=BG．其中正确的是（　　） 　 A． ①② B． ①③ C． ①②③ D． ①②③④ 　 5．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论： ①△AED≌△AEF；②=；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积； ④BE2+DC2=DE2 ⑤BE+DC=DE 其中正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ③④⑤ C． ①③④ D． ①③⑤ 　 6．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 　 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 　 8．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则下列结论正确的有（　　） ①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH． 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 　 9．如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F．下列结论：①BE=EC；②BC2=AC•DC；③S△BEC：S△BEA=2：1；④EF=AD；⑤sin∠BCA=．其中正确结论的个数有（　　） 　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 　 10．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍； （3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC． 其中正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 　 11．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（　　） 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 　 12．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（　　） 　 A． ①② B． ①②④ C． ①②③ D． ①②③④ 　 13．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论： ①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③△AGD的面积=△OGD的面积；④AE=GF；⑤BE=2OG． 其中正确结论的序号是（　　） 　 A． ①②③ B． ①④ C． ②③⑤ D． ①④⑤ 　 14．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，CF平分∠ACB交BE于点G，连接DF交AC于点H，且DF⊥CF．下列结论：①BF=BG；②△AFH∽△BCG；③CF=DF；④2HA2=HD•HF．其中正确结论的个数是（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 　 二．填空题（共6小题） 15．如图，D、E分别在△ABC的边AC，AB上，BD与CE相交于F，若，，△ABC的面积S△ABC=21，那么四边形AEFD的面积等于　_________　． 　 16．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为　_________　． 　 17．△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD=8，CE=12，则△ABC的面积是　_________　． 　 18．如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DE=3，BE=4，BC=6，则AC=　_________　． 　 19．如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为x，则x=　_________　． 　 20．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论： ①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④， 其中结论正确的是　_________　． 　 三．解答题（共10小题） 21．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：． （2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积． 　 22．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE， （1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数； （2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值． 　 23．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且 （1）求证：AE=AD； （2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积． 　 24．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题． 请解决下列问题： 已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE． （1）求证：； （2）求证：••=1． 　 25．在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积． 小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：　_________　． 活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长． 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：　_________　．AE的长是　_________　． 活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积． 　 26．定义：如果一条直线把一个面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． 如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC=S△ABD，所以直线AD就是△ABC的一条面积等分线． 探究： （1）如图2，梯形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过B点作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，那么有S△AED=S梯形ABCD，请你给出这个结论成立的理由； （2）在图2中，过点A用尺规作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； 类比： （3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，过点A能否画出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由． 　 27．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O． （1）如图1，当m=2，n=1时，=　_________　，=　_________　； （2）当m=1.5时，求证：； （3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式　_________　时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明） 　 28．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O． （1）求证：四边形ABCE是菱形； （2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R． ①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由； ②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由． 　 29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=． （1）求证：； （2）如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S1•S2的值； （3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积． 　 30．（1）问题探究 数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明． 如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°． 同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路： 思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理… 思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识… 思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识… 思路四… 请选择一种方法写出完整的证明过程； （2）结论应用 李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题： ①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线； ②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值． 　 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共14小题） 1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AC上一点，且AD=2CD，CE⊥BD于H交AB于E．F是AB的中点，BD、CF交于点G，连接EG．下列结论：①BG=CE；②四边形AEGC为等腰梯形；③HG=2HD；④BE=3AE．其中正确的结论有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定．1082614 专题： 压轴题． 分析： 由点F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°，在△ACE中∥∥，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF，∠CEA=∠CGB，又AC=BC，所以△AEC≌△BCG即得证①；由AE=CG，作FM∥AC，则AD=2CD，所以FG=GC，得AE=CG，AE=EF，又得EG∥AC，所以四边形AEGC为等腰梯形（②得证）所以即，得=③是错误的；由=（④得证）． 解答： 解：∵点F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90° ∴CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45° 在△ACE中，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF ∴∠CEA=∠CGB 又∵AC=BC ∴△AEC≌△BCG ∴AE=CG，BG=CE（①得证） 由AE=CG， 作FM∥AC ∵AD=2CD， ∴FG=GC， ∴AE=CG，AE=EF， ∴EG∥AC ∴四边形AEGC为等腰梯形（②得证） ∴即 ∴= ∴③是错误的． 由=（④得证） 故选B． 点评： 本题考查了等腰直角三角形，综合考查了平行线的与线段的巧妙结合，本题思路性很强． 　 2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD； ②△ADC是等腰三角形； ③∠CGD+∠DAE=180°； ④CD•AE=EF•CG．一定正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．1082614 分析： ①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD； ②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形； ③利用△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，得出△CAE≌△BAE，可得到∠CGD+∠DAE=180°； ④利用得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+GFD=90°，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式． 解答： 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即：∠BAD=∠CAE， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE=BD， ∴故①正确； ②∵四边形ACDE是平行四边形， ∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=AD， ∴AD=CD， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴②正确； ④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD， ∴△CAE≌△BAE， ∴∠BEA=∠AEC=∠BDA， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠AFE+∠BEA=90°， ∵∠GFD=∠AFE， ∴∠GDF+GFD=90°， ∴∠CGD=90°， ∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF， ∴△CGD∽△EAF， ∴， ∴CD•AE=EF•CG． 故④正确， ③由④得∵∠CGD=90°，∠DAE=90°， ∴③∠CGD+∠DAE=180° 故③正确； 故正确的有4个． 故选D． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键． 　 3．已知AD是△ABC的高（点D不与B，C重合），E是线段AD上一点，且，给出下列结论：①∠BED=∠ACB；②BE⊥AC；③CE⊥AB；④△ADC∽△BDE；⑤△DEC∽△DBA．其中正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ①③⑤ C． ①②③ D． ④⑤ 考点： 相似三角形的判定与性质．1082614 分析： 先画出图形，利用两边及其夹角法可判断△ADC∽△BDE，结合相似三角形的对应角相等的性质可判断①②④正确； 解答： 解：如图所示： ∵∠BDE=∠ADC=90°，， ∴△ADC∽△BDE，故④正确； ∴∠BED=∠ACB，故①正确； ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠ACD=90°， ∴∠2+∠ACD=90°， ∴BE⊥AC，故②正确； 综上可得①②④正确． 故选A． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用两边及其夹角的办法判定△ADC∽△BDE，要求同学们熟练相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等． 　 4．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=BF；④AE=BG．其中正确的是（　　） 　 A． ①② B． ①③ C． ①②③ D． ①②③④ 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．1082614 分析： 根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF， 连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG． 在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG． 解答： 解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BD=CD．故①正确； 在Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC， ∴∠DBF=∠DCA． 又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD， ∴△DFB≌△DAC． ∴BF=AC；DF=AD． ∵CD=CF+DF， ∴AD+CF=BD；故②正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE． 又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC． ∴CE=AE=AC． 又由（1），知BF=AC， ∴CE=AC=BF；故③正确； 连接CG． ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD 又DH⊥BC， ∴DH垂直平分BC．∴BG=CG 在Rt△CEG中， ∵CG是斜边，CE是直角边， ∴CE＜CG． ∵CE=AE， ∴AE＜BG．故④错误． 故选C． 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点． 　 5．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论： ①△AED≌△AEF；②=；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积； ④BE2+DC2=DE2 ⑤BE+DC=DE 其中正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ③④⑤ C． ①③④ D． ①③⑤ 考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．1082614 专题： 压轴题． 分析： ①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED； ②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立； ③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积； ④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断． ⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确； 解答： 解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF， ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠CAD+∠BAE=45°． ∴∠EAF=45°， ∴△AED≌△AEF； 故本选项正确； ②∵AB=AC， ∴∠ABE=∠ACD； ∴当∠BAE=∠CAD时， △ABE∽△ACD， ∴=； 当∠BAE≠∠CAD时， △ABE与△ACD不相似，即≠； ∴此比例式不一定成立； 故本选项错误； ③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB， ∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积； 故本选项正确； ④∵∠FBE=45°+45°=90°， ∴BE2+BF2=EF2， ∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴△AFB≌△ADC， ∴BF=CD， 又∵EF=DE， ∴BE2+DC2=DE2， 故本选项正确； ⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF， ∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE， 故本选项错误； 综上所述，正确的说法是①③④； 故选C． 点评： 此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 　 6．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（　　） 　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．1082614 专题： 压轴题． 分析： 本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案． ①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°； ②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC； ③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF•DA； ④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC． 解答： 解：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60° ∵BD=BC，CE=AC ∴BD=EC ∴△ABD≌△BCE ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ABE+∠EBD=60° ∴∠ABE+∠CBE=60° ∵∠AFE是△ABF的外角 ∴∠AFE=60° ∴①是对的； 如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形 ∴EM=CM=EC ∵EC=CD ∴EM=CM=DM ∴∠CED=90° ∴DE⊥AC， ∴②是对的； 由前面的推断知△BDF∽△ADB ∴BD：AD=DF：DB ∴BD2=DF•DA ∴CE2=DF•DA ∴③是对的； 在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角 ∴△AFE∽△BAE ∴AF•BE=AE•AC ∴④是正确的． 故选A． 点评： 本题主要应用到了三角形外角与内角的关系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性质，内容较多，较为复杂． 　 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．1082614 专题： 压轴题． 分析： 根据ASA可判定①△BEG≌△AEC，用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值． 解答： 解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC； 用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符； 由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形， ∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E， ∴∠GED=∠CED=45°， ∴△GED≌△CED， ∴DG=DC； ④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC=SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x） =﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点， 故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值． 故正确的个数有3个． 故选C． 点评： 本题考查了梯形，全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，难度较大，注意这些知识的熟练掌握与灵活运用是关键． 　 8．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则下列结论正确的有（　　） ①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH． 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．1082614 分析： 根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断①正确；根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断②正确；过F作FM垂直BC交BC于M，可证BG：BF=1：=，CE：BF=，从而求解；过F作FM⊥BC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=FM，所以DG=FM，从图中可以看出FM＞GH，所以DG＞GH，从而判断④错误． 解答： 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD， ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠DBF=∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴BF=AC，故①正确； ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E， ∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°， ∴在△ABE与△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE=AC， ∴BF=2CE，故②正确； 过F作FM垂直BC交BC于M， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵H是BC边的中点， ∴DH垂直平分BC， ∵F是CD的中点，FM⊥BC， ∴FM是△CDH的中位线， ∴FM垂直平分HC， 则BG：BF=1：=， CE：BF= 所以BG：CE=4：3，故③错误； ∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D， ∴FD=FM， ∴DG=FM， 从图可知，FM＞GH， ∴DG＞GH，故④错误． 综上所述，①②共2个正确． 故选B． 点评： 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键． 　 9．如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F．下列结论：①BE=EC；②BC2=AC•DC；③S△BEC：S△BEA=2：1；④EF=AD；⑤sin∠BCA=．其中正确结论的个数有（　　） 　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 考点： 相似形综合题．1082614 专题： 压轴题． 分析： 作AH⊥BD的延长线于H，作BG⊥CD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出∠EBA=∠EAB，就可以得出BE=AE．由∠CED=∠EAD，得出CE=AE．可以得出①是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值就可以得出结论②；根据等底的两三角形面积之比等腰高之比运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质就求出EF与AD的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤． 解答： 解：∵CE⊥BD， ∴∠CED=∠CEB=90°． ∵∠BDC=60°， ∴∠ECD=30°， ∴CD=2ED． ∵CD=2DA， ∴ED=DA， ∴∠DEA=∠DAE=30°， ∴∠CED=∠EAD， ∴CE=AE． ∵∠BAC=45°， ∴∠BAE=15°， ∴∠EBA=15°， ∴∠EBA=∠EAB， ∴BE=AE． ∴BE=CE，故①正确； 设AD=x，则DE=x，CD=2x， ∴AC=3x， ∴AC•CD=6x2． 在Rt△CED中，由勾股定理，得 CE=x ∴BE=x， 在Rt△CEB中，由勾股定理，得 BC=x， ∴BC2=6x2． ∴BC2=AC•DC，故②正确； 作AH⊥BD的延长线于H， ∴∠AHD=90°， ∴∠CED=∠AHD， ∵∠CDE=∠ADH， ∴△CDE∽△ADH， ∴=2， ∴CE=2AH． ∵S△BEC=，S△BEA= ∴S△BEC==2×， ∴S△BEC=2S△BEA， ∴S△BEC：S△BEA=2：1，故③正确； ∵EF∥CD， ∴△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∴EF=（3﹣）x． ∵AD=x ∴EF=（3﹣）AD≠AD，故④错误； 作BG⊥CD于G， ∴∠BGC=∠BGD=90°， ∵∠BDG=60°， ∴∠GBD=30°， ∴GD=BD=（x+x）， 在RtBGD中由勾股定理得 GB=， ∴sin∠BCA==，故⑤正确． 故选C． 点评： 本题考查了30°的直角三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角函数值的运用，解答时找到解决问题的入手点垂直是关键，灵活运用特殊角求解是重点，设参数求解是难点． 　 10．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍； （3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC． 其中正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．1082614 专题： 压轴题． 分析： 结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对； 结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断； 结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断． 结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断． 解答： 解： 结论（1）错误．理由如下： 图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC． ∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE． 在△AOD与△COE中， ∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE． 结论（2）正确．理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE， ∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍． 结论（3）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴CE=AD， ∴CD+CE=CD+AD=AC=OA． 结论（4）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD． 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2． ∵△AOD≌△COE，∴OD=OE， 又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°． ∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE， ∴△OEP∽△OCE， ∴，即OP•OC=OE2． ∴DE2=2OE2=2OP•OC， ∴AD2+BE2=2OP•OC． 综上所述，正确的结论有3个，故选C． 点评： 本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题． 　 11．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（　　） 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 考点： 勾股定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．1082614 专题： 计算题． 分析： 根据△ABC的面积，可以计算AF，BF，设DF=x，根据△ADE的面积计算x的值，根据BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可计算BD，CD长度，即可计算BD：CD． 解答： 解：作AF⊥BC， ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF． △ABC的面积为×BC×AF=25，计算得：AF=5，BF=5． 设DF=x，则AD=， 根据正三角形面积计算公式S=AD×（）=AD2=7， 计算得：x=， ∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6， 故BD：CD=2；3， 故选 D． 点评： 本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据正三角形ADE计算DF是解题的关键． 　 12．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（　　） 　 A． ①② B． ①②④ C． ①②③ D． ①②③④ 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．1082614 专题： 几何综合题． 分析： 有条件可直接证得△ACD≌△ACE；有三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；取CF的中点O连接BO，可得CE=2BO，再证明BF=BO即可，即问题转化为证明△EBC≌△EHC．再利用三角形的外角性质问题③④可得证． 解答： 解：∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°． ∵AB=CB， ∴∠BAC=45°， ∴∠DAC=45°． 又∵AC=AC， ∴△AEC≌△ADC． ∴①△ACD≌△ACE正确． ∵△AEC≌△ADC， ∴DC=CE． 又∵AD=AE， ∴AC是DE的垂直平分线． 即AC垂直平分ED． ∴②AC垂直平分ED正确． 易证F、A、B、C共圆， 因为BC为弦，∠CFB=CAB=45°，FB∥CD， 所以∠FCD=45°，∠ACE=∠ACD=22.5°， 又因为∠ACB=45°， 所以∠FCB等于22.5， 故④正确； 延长DA，交BF延长线于M， 易证MBCD是平行四边形，对 角相等，所以∠M=67.5°， 易证∠FAB=∠FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似）， 所以∠FAE=22.5°， 所以∠MAF=67.5°， 所以∠M=∠MAF， 故AF=MF， 易证∠EBF=22.5°， 所以∠FAB=∠FBA， 所以AF=FB， 所以MF=BF， 又因为MB=CD=CE（对边以及全等）， 所以2FB=CE④∵∠ABC=90°，OE=OC， ∴BO=CO=CE ∴∠OCB=∠OBC． ∵∠FOB=∠OCB+∠OBC， ∴∠FOB=2∠OCB． ∵BF∥CD， ∴∠BFO=∠DCF． ∵∠BFO=∠DCF=∠FOB， ∴∠BFO=∠FOB． ∴BF=OB． ∴BF=CE， 即CE=2BF，故③正确． 故答案选D． 点评： 本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性． 　 13．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论： ①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③△AGD的面积=△OGD的面积；④AE=GF；⑤BE=2OG． 其中正确结论的序号是（　　） 　 A． ①②③ B． ①④ C． ②③⑤ D． ①④⑤ 考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．1082614 专题： 压轴题． 分析： ①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠AGD=112.5°； ②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED＞2； ③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积； ④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF； ⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAD=∠ADO=45°， 由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°， ∴∠AGD=180°﹣∠GAD﹣∠ADG=112.5°， 故①正确． ∵tan∠AED=， 由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°， ∴AE=EF＜BE， ∴AE＜AB， ∴tan∠AED=＞2， 故②错误． ∵∠AOB=90°， ∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高， ∴S△AGD＞S△OGD， 故③错误． ∵∠EFD=∠AOF=90°， ∴EF∥AC， ∴∠FEG=∠AGE， ∵∠AGE=∠FGE， ∴∠FEG=∠FGE， ∴EF=GF， ∵AE=EF， ∴AE=GF， 故④正确． ∵AE=EF=GF，AG=GF， ∴AE=EF=GF=AG， ∴四边形AEFG是菱形， ∴∠OGF=∠OAB=45°， ∴EF=GF=OG， ∴BE=EF=×OG=2OG． 故⑤正确． ∴其中正确结论的序号是：①④⑤． 点评： 此题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 　 14．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，CF平分∠ACB交BE于点G，连接DF交AC于点H，且DF⊥CF．下列结论：①BF=BG；②△AFH∽△BCG；③CF=DF；④2HA2=HD•HF．其中正确结论的个数是（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形．1082614 专题： 应用题． 分析： 根据直角梯形的性质及已知条件易得出∠EGF=∠AHF，∠CBG=∠FAH，从而得出△AFH∽△BCG，故②成立，由△AFH∽△BCG及直角三角形和对顶角特点得出BF=BG，故①成立；无法证明DF=CF，故③不成立；④无法证明，故不成立． 解答： 解：在直角梯形ABCD中， ∠BGC=∠EGF，∠EDF+∠EHF=180°，∠AHF+∠EHF=180°， ∴∠EGF=∠AHF， ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠DAH， ∵∠DAH+∠FAH=90°，∠BCE+∠CBG=90°， ∴∠CBG=∠FAH， ∴△AFH∽△BCG， 故②成立， ∵△AFH∽△BCG， ∴∠2=∠AFD， ∵∠AFD+∠3=90°，∠4=∠CGE，∠CGE+∠1=90°， ∴∠3=∠CGE=∠4， ∴BF=BG， 故①成立， 无法证明DF=CF， 故③不成立， ④无法证明，故不成立， 故选B． 点评： 本题主要考查了直角梯形、相似三角形、全等三角形、角平分线的性质，难度较大． 　 二．填空题（共6小题） 15．如图，D、E分别在△ABC的边AC，AB上，BD与CE相交于F，若，，△ABC的面积S△ABC=21，那么四边形AEFD的面积等于　6　． 考点： 三角形的面积．1082614 专题： 常规题型． 分析： 连接AF，设S△AEF=x，S△ADF=y，根据和，确定三角形面积之间的等量关系，求出x和y之间的关系式，然后根据△ABC的面积解得x，最后求出四边形AEFD的面积． 解答： 解：连接AF，设S△AEF=x，S△ADF=y， ∵， ∴==， ∴S△BEF=x， ∵， ∴==， ∴S△DFC=2y， ∴x×2=x+2y， 即y=2x， ∵△ABC的面积S△ABC=21， ∴7x+x=21， 解得x=2， 故四边形AEFD的面积=x+y=6， 故答案为6． 点评： 本题主要考查三角形的面积的知识点，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行解答，此题需要同学们熟练掌握． 　 16．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为　　． 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．1082614 专题： 计算题． 分析： 过点E作EF∥AD，根据平行线分线段成比例求出FD的长，进一步求出PQ的长，然后判定△PQR和△CAB相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积的比． 解答： 解：如图： 过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则， ∴， ∵PQ∥CA， ∴， 于是， ∵PQ∥CA，PR∥CB， ∴∠QPR=∠ACB， ∵△PQR∽△CAB， ∴． 故答案是：． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例作出辅助线EF，求出PQ的长，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出两相似三角形面积的比． 　 17．△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD=8，CE=12，则△ABC的面积是　64　． 考点： 三角形的面积．1082614 专题： 几何综合题． 分析： 先画出图形，连接DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F．由BD⊥CE，BD=8，CE=12，得CF=10，根据中位线的性质，求得DE，即得出BF=CF，S△BEC=S△ACE=S△CEF，从而得出△ABC的面积． 解答： 解：连接DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F． ∵BD和CE分别是两边上的中线， ∴DE=BC， ∵四边形BDEF为平行四边形， ∴BF=DE， ∴BF=CF， ∴S△BEF=S△CEF， ∵S△BEC=S△ACE， ∴S△ABC=S△CEF=×12×8÷2=64． 故答案为：64． 点评： 本题考查了三角形的中位线定理和三角形面积的求法，此类题型需要同学们熟练掌握． 　 18．如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DE=3，BE=4，BC=6，则AC=　4.5　． 考点： 相似三角形的判定与性质．1082614 分析： 根据DE=3，BC=6，得出∠BEC=90°，BD=DC=3，根据勾股定理求出EC2的值，再根据AD是BC边上的高，得出AB=AC，最后根据AE2+EC2=AC2，求出AE的值，即可得出AC． 解答： 解：∵DE=3，BC=6， ∴DE=BC， ∵CE是AB边上的高， ∴∠BEC=90°， ∴BD=DC=3，EC2=BC2﹣BE2=62﹣42=20， ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴AB=AC， 设AE=x，AC=x+4， 在Rt△AEC中， ∵AE2+EC2=AC2， ∴x2+20=（x+4）2， 解得：x=0.5， ∴AC=4.5； 故答案为：4.5． 点评： 此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，线段的垂直平分线，关键是根据勾股定理列出方程． 　 19．如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为x，则x=　22　． 考点： 三角形的面积．1082614 专题： 计算题． 分析： 连接AF，设S△AEF=a，S△ADF=b，根据三角形的面积与三角形底边成比例，进而求出四边形AEFD的面积． 解答： 解：连接AF，设S△AEF=a，S△ADF=b， ∴==，==， 解得a=10，b=12， ∴四边形AEFD的面积x=a+b=22． 故答案为：22． 点评： 本题主要考查三角形的面积，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行解答，需要同学们熟练掌握． 　 20．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论： ①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④， 其中结论正确的是　①②④　． 考点： 直角梯形；全等三角形的判定；等边三角形的判定．1082614 专题： 压轴题． 分析： △AED与△ABC是等腰直角三角形，根据这个条件就可求得：△ACD≌△ACE的条件，就可进行判断． 解答： 解：∵∠ABC=90°，AB=BC ∴∠BAC=∠ACB=45° 又∵∠BAD=90° ∴∠BAC=∠DAC 又AD=AE，AC=AC ∴①△ACD≌△ACE；故①正确； 同理∠AED=45° ∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75° ∴∠DEC=60° ∵ACD≌△ACE ∴CD=CE ∴②△CDE为等边三角形．故②正确． ③∵△CHE为直三角形，且∠HEC=60° ∴EC=2EH ∵∠ECB=15°， ∴EC≠4EB， ∴=2不成立； ④作EC的中垂线交BC于点F，连接EF，则EF=FC， ∴∠FEC=∠BCE=15°， ∴∠BFE=30°， 设BE=a， 则EF=FC=2a， 在直角△BEF中，BF=a， ∴BC=a+2a=（2+）a， ∴S△BEC=BE•BC=a2； 在直角△BEC中，EC==2， ∵△CDE为等边三角形， ∴S△ECD==（2+）=3+2，EH=，HC=EC=， 又∵△AED是等腰直角三角形，AH是高， ∴AH=EH=， ∴S△EHC=， ∴====．故④正确； 故其中结论正确的是①②④． 点评： 认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键． 　 三．解答题（共10小题） 21．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：． （2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．1082614 专题： 压轴题． 分析： （1）由题意可推出△ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，即； （2）根据（1）的结论，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四边形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面积． 解答： 解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F， ∴F为AD的中点， ∵点E是AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴， （2）∵EF为△ABD的中位线， ∴，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∵S△AEF：S△ABD=1：4， ∴S△AEF：S四边形BDEF=1：3， ∵四边形BDFE的面积为8， ∴S△AEF=． 点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4． 　 22．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE， （1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数； （2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值． 考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．1082614 专题： 应用题；压轴题． 分析： （1）首先延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°， （2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比． 解答： 解：（1）延长BA、CD相交于点M．如图1： ∵AD∥BC， ∴△MAD∽△MBC， ∴． ∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x． ∴AB=4x． ∵BE=3AE， ∴BE=3x，AE=x． ∴BE=EM=3x，E为MB的中点． 又∵CE⊥AB， ∴CB=MC． 又∵MB=MC， ∴△MBC为等边三角形． ∴∠B=60°； （2）延长BA、CD相交于点F，如图2： ∵AD∥BC， ∴△FAD∽△FBC， ∴， 设S△FAD=S3=a，则S△FBC=9a，S1+S2=8a， 又∵2S1=3S2， ∴a，a，S3=a． ∵△EFC与△CEB等高， ∴． 设FE=7k，则BE=8k，FB=15k， ∴FA=FB=5k． ∴AE=7k﹣5k=2k． ∴=4． 点评： 本题考查了如果三角形的高相等，则面积比等于其底边的比．解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用，难度适中． 　 23．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且 （1）求证：AE=AD； （2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积． 考点： 相似三角形的判定与性质．1082614 分析： （1）先把乘积式转化为比例式，再根据BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，然后证明△ABE与△CBD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到 ∠ADE=∠AED，再利用等角对等边的性质即可证明； （2）根据已知条件“CD=CF，AE=AD”和“∠ABC平分线的定理和定义”证得△ABD∽△CBF，则由该相似三角形的对应边成比例、等量代换求得BD2=BF•BE=2×6=12，即BD=2，由此可以推知该相似三角形的相似比=．最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方来求△ABD的面积． 解答： 解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD． 又∵， ∴△ABE∽△CBD， ∴∠AEB=∠CDB， ∵∠ADE=∠CDB， ∴∠ADE=∠AED， ∴AE=AD； （2）∵CD=CF，AE=AD， ∴=． 又∵在△ABC中，BD平分∠ABC， ∴=， ∴=， 又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分线）， ∴△ABD∽△CBF ∴=． ∵， ∴=，则BD2=BF•BE=2×6=12， 即BD=2， ∴==． ∴=（）2=3， ∴S△ABD=3S△CBF=3×3=9． 即△ABD的面积是9． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质．解答（2）题时，注意等量代换的巧用和角平分线定理的运用． 　 24．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题． 请解决下列问题： 已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE． （1）求证：； （2）求证：••=1． 考点： 相似三角形的判定与性质．1082614 专题： 证明题． 分析： （1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出=，再证明△ADM∽△BDN，由相似三角形对应边成比例得出=，进而证明出=； （2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出=，=，又由（1）得出=，将这三个式子相乘，即可证明出结论． 解答： 证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图． ∵S△AEF=EF•AM，S△BEF=EF•BN， ∴=． ∵在△ADM与△BDN中， ， ∴△ADM∽△BDN， ∴=， ∴=； （2）设F到BE的距离为h，则==， 同理，得到=， 又由（1）得出=， 将这三个式子相乘，得••=••=1． 即••=1． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积比表示两条线段的比，同时考查了学生的理解能力及知识的迁移能力，难度适中．（1）问分别作出△AEF与△BEF中EF边上的高是解题的关键． 　 25．在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积． 小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：　1　． 活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长． 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：　正方形　．AE的长是　4　． 活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积． 考点： 旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定．1082614 专题： 压轴题． 分析： （1）根据旋转的性质可知△DBF≌△DGE，则DG=BD=1，那么阴影部分的面积=Rt△ADG的面积=×AD×DG； （2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四边形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，则四边形AECD是矩形，又AE=AD，则矩形AECD是正方形；设BE=x，则DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，进而得出AE的长； （3）过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F，通过证明△BCG≌△BEF，从而得出S△ABE的值． 解答： 解：活动一： ∵四边形DECF是正方形， ∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC， ∴，， ∵AD=2，BD=1， ∴AC=3x，BC=x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴9x2+（x）2=9， 解得：x=， ∴DE=DF=，AE=，BF=， ∴S△ADE+S△BDF=1， ∴S阴影=1； 故答案为：1； 活动二：根据题意得：∠EAG=90°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°， ∴四边形AECG是矩形， ∵AE=AG， ∴四边形AECG是正方形， ∵BC=5，CD=3， ∴设AE=x，则BE=GD=CG﹣CD=x﹣3， BE=BC﹣EC=5﹣x， ∴x﹣3=5﹣x， 解得：x=4， ∴AE=4． 故答案为：正方形，4； 活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F． ∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°， ∴四边形ABGD是矩形， ∴DG=AB=2， ∴CG=DC﹣DG=4﹣2=2． ∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°， ∴∠CBG=∠EBF． 在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE， ∴△BCG≌△BEF， ∴CG=EF=2． ∴S△ABE=AB•EF=2．（10分） 点评： 本题主要考查了旋转变换及其性质．在解题中进行旋转变换的目的在于通过旋转变换可以使图形发生重组，使分散的条件得以集中，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解．一般来说，当图形中有“共点等边”的图形时，常进行旋转变换． 　 26．定义：如果一条直线把一个面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． 如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC=S△ABD，所以直线AD就是△ABC的一条面积等分线． 探究： （1）如图2，梯形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过B点作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，那么有S△AED=S梯形ABCD，请你给出这个结论成立的理由； （2）在图2中，过点A用尺规作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； 类比： （3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，过点A能否画出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由． 考点： 作图—应用与设计作图．1082614 分析： （1）利用平行线的判定得出四边形ABEC为平行四边形，根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED； （2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法，可以先作DE的垂直平分线，找到DE的中点G，再连接AG即可； （3）连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照（2）进行． 解答： 解：（1）因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形， 所以BE∥AC， 所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， 所以有S△ABC=S△AEC， 所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED； （2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示： 作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG． 则AG是梯形ABCD的面积等分线； （3）过点A能画出四边形ABCD面积等分线， 连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E， 作△AED的中线AF，则△AED的中线AF所在的直线即为四边形ABCD的面积等分线． 因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， 所以有S△ABC=S△AEC， 所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED． 因为AF是△AED的中线， ∴S△AEF=S△AFD=S△AED=S四边形ABCD， ∴△AED的中线AP所在直线即为四边形ABCD的面积等分线，作图如下： ． 点评： 本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想． 　 27．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O． （1）如图1，当m=2，n=1时，=　　，=　　； （2）当m=1.5时，求证：； （3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式　n=2m　时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明） 考点： 平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．1082614 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）过点E作EF∥BC，交AD于F，根据n=1可知点E是AC的中点，所以EF=DC，再根据m=2可以整理出EF与BD的比，从而得到OB与OE的比值，可得；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出△AEF与△ACD的比值，再根据等高的△AEF与△OEF面积的比等于底边的比求出△AEF与△OEF的面积的比，然后用△OEF的面积表示出△AEF的面积，然后结合图形解答； （2）过点D作DF∥AC交BE于点F，根据平行线分线段成比例定理可以得到=，=，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四条线段与m、n的关系，把m=1.5代入计算即可得证明； （3）同（2）的思路，过点D作DH∥AB交FC于点H，可以得到AF、FB与m、n的关系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的关系． 解答： （1）解：过点E作EF∥BC，交AD于F， ∴， ∵AE=EC， ∴， ∵BD=2CD， ∴， ∵=4， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设S△OEF=x，则S△AEF=5x，S△ABC=20x， ∴S△AOE=6x，S四边形CDOE=14x， ∴； （2）证明：如图，过点D作DF∥AC交BE于点F， ∴=，=， ∵BD=mCD，AE=nEC， ∴FD=×CE=CE， ∴=•， ∵m=1.5， ∴=•， 即=； （3）解：过点D作DH∥AB交FC于点H，与（2）同理可得， =，=， ∵BD=mCD， ∴DH=•BF=BF， ∴=（m+1）， ∵=•，AE=nEC， ∴=•=， ∴当AF=2BF时，=2， 解得n=2m． 故答案为：（1），；（3）n=2m． 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，合理作出辅助线是解题的关键，难度较大，极富挑战性． 　 28．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O． （1）求证：四边形ABCE是菱形； （2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R． ①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由； ②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由． 考点： 相似形综合题．1082614 专题： 压轴题． 分析： （1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可； （2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值； ②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长． 解答： （1）证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD， ∴EC=AB，AE=BC， ∵AB=BC， ∴EC=AB=BC=AE， ∴四边形ABCE是菱形； （2）①四边形PQED的面积是定值，理由如下： 过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°， ∵四边形ABCE是菱形， ∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB， ∵AC=6， ∴OC=3， ∵BC=5， ∴OB=4，， ∴BE=8， ∴， ∵AE∥BC， ∴∠AEO=∠CBO，四边形PQED是梯形， 在△QOE和△POB中 ， ∴△QOE≌△POB， ∴QE=BP， ∴ =（BP+DP）×EF =×BD×EF =×2BC×EF =BC×EF =； ②△PQR与△CBO可能相似， ∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR＞∠CBO， ∴当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3． 过O作OG⊥BC交BC于G． ∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC， ∴△OGC∽△BOC， ∴CG：CO=CO：BC， 即CG：3=3：5， ∴CG=， ∴PB=BC﹣PC=BC﹣2CG=5﹣2×=． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定、全等三角形的判定以及梯形面积求法等知识，根据相似三角形的判定得出△PQR∽△CBO，进而得出△OGC∽△BOC是解题关键． 　 29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=． （1）求证：； （2）如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S1•S2的值； （3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积． 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．1082614 专题： 综合题． 分析： （1）由AB=AC，根据“等边对等角”得到一对角相等，由已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形BCE与三角形DBA相似，由相似得比例得证； （2）过A作AH垂直于BC，由AB=AC，根据“三线合一”得到BH等于BC的一半，由BC的长求出BH的长，在根据锐角三角形函数的余弦函数定义，由BH的长和cos∠ABC的值求出AB的长，在直角三角形中，由AB和BH，利用勾股定理求出AH的长，再由第一问的相似得到对应高之比等于相似比，即等于对应边之比，化比例式为乘积式，把求出的AH和BC代入即可求出AH•BC的值，然后利用三角形的面积公式分别表示出S1与S2，进而表示出S1•S2，等量代换后把求出AH•BC的值代入即可求出值； （3）由∠AEB=∠ACD，根据等角的邻补角相等得到∠BEC=∠ACB，又AB=AC，根据“等边对等角”得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠BEC=∠ACB=∠ABC，根据三角形的内角和定理，等量代换得到∠BAC=∠EBC，又∠AEB=∠ACD，等量代换得到∠BAC=∠D，再根据已知的两角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形DBA相似，根据相似得比例，由AB和BC的长求出BD的长，进而求出CD的长，然后由CD边上的高AH，利用三角形的面积公式求出三角形ACD的面积． 解答： 解：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB．（1分） ∵∠EBC=∠D， ∴△BCE∽△DBA．（2分） ∴．（1分） （2）作AH⊥BC于点H， ∵AB=AC，BC=4， ∴BH=2． ∵cos∠ABC=， ∴． ∴AB=AC=6．（1分） 在Rt△ABH中， AH=．（1分） 过E作EG⊥BC，交BC于G， ∵△BCE∽△DBA， ∴．（1分） ∴．（1分） ∴ =．（1分） （3）∵∠AEB=∠ACD， ∴∠BEC=∠ACB，又∠ABC=∠ACB． ∴∠BEC=∠ACB=∠ABC． ∵∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠ACB， ∴∠BAC=∠EBC． ∵∠EBC=∠D． ∴∠BAC=∠D．（1分） 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA．（1分） ∴． ∴．（1分） ∴BD=9． ∴CD=5．（1分） ∴．（1分） 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解三角形的知识．本题主要利用转化的数学思想，借助图形的性质、公式或已知条件，将问题通过转化，进而达到解决问题的目的，转化的数学思想就是要我们深刻理解并灵活运用新旧知识的联系．第2、3问要求三角形的面积，分别过A和E作出BC边上的高是解题的突破点，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 　 30．（1）问题探究 数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明． 如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°． 同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路： 思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理… 思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识… 思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识… 思路四… 请选择一种方法写出完整的证明过程； （2）结论应用 李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题： ①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线； ②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值． 考点： 相似形综合题．1082614 专题： 压轴题． 分析： （1）根据条件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理就可以求出结论； （2）①连接OD，CD，由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a，再由条件就可以得出△ODC是等边三角形，由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°，从而得出∠ODB=90°而得出结论； ②运用（1）的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°，从而有△ADB∽△AEC，由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比平方，最后由锐角三角形函数值就可以求出结论． 解答： 解：（1）问题研究，∵M为BC的中点， ∴BM=CM=BC． ∵MA=BC， ∴BM=CM=MA， ∴∠1=∠B，∠2=∠C． ∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°， ∴2∠1+2∠2=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即∠BAC=90°； （2）①连接OD，CD， ∴AO=OD=OC=a， ∴∠BOD=2∠A=60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°． ∵OB=2a， ∴BC=a， ∴BC=DC， ∴∠B=∠BDC， ∴2∠BDC=60°， ∴∠BDC=30°， ∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°， ∴直线BD是⊙0的切线 ②∵M为BC的中点，BD⊥AC于D， ∴DM=BC． ∵EM=DM， ∴EM=BC， ∴∠BEC=90°． ∴∠ADB=∠ACE=90°． ∵∠A=∠A， ∴△ADB∽△AEC， ∴， ∴． ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴=（）2． ∵cos∠A=，且∠A=60°， ∴， ∴=． ∴△ADE与△ABC面积的比值为． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，切线的判定方法的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质结合三角函数值求解是难点． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$