微专题：立体几何中的证明问题课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

微专题：立体几何中的证明问题 例1.在五面体中，四边形为等腰梯形， ， ，， ． （1）求证：，， 三线交于一点； 一、证明三线共点 衡水金卷 先享题 高三二轮复习专题卷 数 学 1 2 3 4 2 解： 因为四边形是等腰梯形， ， 所以延长， 必相交于一点， 设 ， 因为， 平面 ， 所以 平面 ，（2分） 同理 平面 ，（3分） 又平面 平面 ， 所以 ， 即，，交于一点 .（4分） 衡水金卷 先享题 高三二轮复习专题卷 数 学 1 2 3 4 3 例2.如图1,已知D,E,F分别是边长为4的等边△ABC三边AC, AB,BC的中点,将△ADE,△BEF,△CFD分别沿DE,EF,FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角的位置,得到如图2几何体ABC-DEF. (1)求证:图2中,A,B,D,F四点共面; 二、证明点共面 4 (1)求证:图2中,A,B,D,F四点共面; 解:证明:如图(1),取DE的中点P, EF的中点Q,DF的中点O,连接PQ, AP,BQ,OC,OE,则PQ∥DF, 因为△ADE是等边三角形,所以AP⊥DE. 又平面ADE⊥平面DEF,平面ADE∩平面DEF=DE,AP⊂平面ADE,所以AP⊥平面DEF,同理BQ⊥平面DEF, 所以AP∥BQ.由题设易知AP=BQ,所以四边形APQB是平行四边形,所以AB∥PQ,所以AB∥DF,即A,B,D,F四点共面. 5 [例3]　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; 解:证明:如图,过A1作A1D⊥CC1,垂足为D, ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1C⊥BC. 三、证明线段相等 6 又∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵A1C,AC⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C, ∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1D⊂平面ACC1A1,∴BC⊥A1D, 又CC1,BC⊂平面BCC1B1,且CC1∩BC=C, ∴A1D⊥平面BCC1B1,∴A1D=1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形,又CC1=AA1=2,A1D=1, ∴D为CC1的中点.又A1D⊥CC1,∴A1C=A1C1, 又在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=A1C1,∴A1C=AC. 7 例4.如图，在平行六面体中， ， . （1）求证：四边形 为正方形； 四、证明四边形为正方形 衡水金卷 先享题 高三二轮复习专题卷 数 学 1 2 3 4 8 （1）求证：四边形 为正方形； 解： 因为， ， 所以 ，而,,, 不共线， 所以四边形 为平行四边形，（2分） 又 ， 所以，即 ， 又丨 =2= ， 所以四边形 为正方形.（4分） 衡水金卷 先享题 高三二轮复习专题卷 数 学 1 2 3 4 9 例5.如图所示的多面体ABCDEF, 底面ABCD是正方形,点O为底面的中心,点M为 EF的中点,侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯 形,EF=4,其余棱长均为2. (1)证明:MO⊥平面ABCD; 解:证明:取AB,CD的中点K,Q,连接FK,KQ,QE,则O为KQ的中点, 因为侧面ADEF是等腰梯形,所以EF∥AD,又KQ∥AD,所以KQ∥EF. 五、证明垂直 10 由△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形,得FK=EQ,所以四边形FKQE为等腰梯形.因为点M为EF的中点,O为KQ的中点,所以MO⊥KQ.因为△ABF是等边三角形,所以AB⊥FK,又AB⊥KQ,KQ,FK⊂平面FKQE,KQ∩FK=K, 所以AB⊥平面FKQE,AB⊂平面 ABCD,所以平面FKQE⊥平面ABCD. 又平面FKQE∩平面ABCD=KQ, MO⊂平面FKQE,MO⊥KQ, 故MO⊥平面ABCD. 11 1.如图,在三棱锥P⁃ABC中,若已知PA⊥BC,PB⊥AC,点P在底面ABC的射影为点H, (1)证明:PC⊥AB; 变式训练 解:(1)证明:因为点P在底面ABC的射影为点H, 所以PH⊥平面ABC.又AB,BC,CA⊂平面ABC, 所以PH⊥AB,PH⊥BC,PH⊥CA. 因为PA⊥BC,PH⊥BC,PA∩PH=P, PA,PH⊂平面PAH, 所以BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH,所以BC⊥AH. 与三角形四心融合 证：因为PB⊥AC,PH⊥AC,PB∩PH=P,PB,PH⊂平面PBH, 所以AC⊥平面PBH.又BH⊂平面PBH, 所以AC⊥BH.因为BC⊥AH,AC⊥BH, 所以点H为△ABC的垂心,所以CH⊥AB. 因为CH⊥AB,PH⊥AB,CH,PH⊂平面PCH,CH∩PH=H, 所以AB⊥平面PCH.又PC⊂平面PCH,所以PC⊥AB. 例6.如图,五边形ABCDE是正六边形ABCDME内一部分,将△ADE沿着对角线AD翻折到△ADP的位置,使平面ADP⊥平面ABCD,已知点F,G分别为PC,AD的中点. (1)求证:AP∥平面BFG; 六、证明平行 解:(1)证明:连接AC交BG于点O,连接CG,如图, 由平面图形易得四边形ABCG为平行四边形,则O为AC的中点, 连接OF,则OF∥AP,OF=AP,又OF⊂平面BFG,AP⊄平面BFG,故AP∥平面BFG. 课后作业 1.必修二教材P1731T12（2） 证明重心问题 2.课时跟踪检测13 做人做事贵在求实 学文学理重在用心 $$