第一章二次根式复习讲义2024-2025学年浙教版八年级数学下册

辅导日期 时间段 辅导教师 课 题 第一章 二次根式 教 学 目 标 1、 理解并掌握二次根式的概念及性质； 2、 理解。 重 点 难 点 1、 二次根式有意义的条件；二次根式的值； 2、 运用二次根式的性质进行相关计算； 3、 运用二次根式的性质将二次根式进行化简。 教 学 过 程 1.1 二次根式 知识点1 二次根式的概念 像这样表示的算术平方根的代数式叫做二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 二次根式的概念的四点说明： （1）二次根式也是一类重要的代数式，从形式上看，必须含有二次根号“”； （2）二次根式的被开方数可以是单项式多项式、分式等代数式，但必须使被开方数大于或等于零。 （3）式子既表示二次根式，又表示非负数的算术平方根，所以中，不但是非负数，也是非负数，即有，二次根式具有双重非负性。 （4）形如的式子也是二次根式，它表示b与的积，如表示，但要注意当b是假分数时不能写成带分数的形式，如不能写成。 【例1】下列各式是二次根式的是_________。（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦； 【练习】若0<x<1，则下列各式中是二次根式的是（ ） 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有（无）意义的条件： 有意义：被开方数为非负数，即有意义； 无意义：被开方数为负数，即无意义 【例2】当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）； （4） 【练习2】1、当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3） 2、已知有意义,那A(a, )在 象限. 知识点3 二次根式的值 求二次根式的值，实际上就是求代数式的值，即将未知数的值代入二次根式中，经过运算求解即可。 【例3】1、当x=3时，求二次根式的值。 2、已知a，b为实数，且满足，求a，b 的值 【练习3】1、一种直角三角形零件，其中一条直角边长为6，另一条直角边长为x，则其斜边长为__________________（用含x的代数式表示）；当x=8时，斜边长为___________。 2、若二次根式的值为3，求x的值 3、已知，求的值。 4、已知式子有意义，化简： 1.2 二次根式的性质 【新知探究】 知识点1 的性质 由上得：一般地，二次根式有下面的性质: 文字叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 【例1】化简：（1）=_____；（2）=_____；（3）==_____；（4）==_____. 知识点2 的性质 由上得：一般地，二次根式有下面的性质: 文字叙述：任何一个数的平方的算术平方根的平方等于它本身的绝对值。 【例2】计算：（1）； （2）； （3）； （4） 【练习】1、计算______________；=_______________。 2、若，则x的取值范围是_________________。 3、当时，化简。 知识点3 积的算术平方根的性质 积的算术平方根的性质： 文字叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 推广： 知识点4 商的算术平方根的性质 数学语言： 文字叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 【例3】化简：（1）； （2）； （3）； （4） 【练习】1、化简：（1）； （2）； （3） 知识点5 最简二次根式 概念：像这样，在根号内不含分母，不含开的尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 注意：本书中，凡结果没有要求精确度的，结果可含二次根式，但应化为最简二次根式。 【例4】在下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？将不是最简二次根式的进行化简。 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5） 【练习】将下列各式化为最简二次根式。 （1）； （2）； （3）； （4） 【例5】实数a、b在数轴上的位置如图，试化简： 1.3 二次根式的运算 知识点1 二次根式的乘法法则 数学语言： 文字叙述：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 推广： 【例1】计算下列各式：（1）； （2）； （3） 知识点2 二次根式的除法法则 数学语言： 文字叙述：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 【例2】计算：（1）； （2）； （3） 【练习】1、各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)； (2) ×=4××=4×=4=8. 3、 计算：（1） （2） 知识点3 二次根式的分母有理化 1、 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。常见类型：的有理化因式为；的有理化因式为；的有理化因式为；的有理化因式为等 2、 分母有理化：把分母中的根号化去的变形过程叫做分母有理化； 依据：二次根式的性质和分数（或分式）的基本性质； 方法：利用二次根式的除法法则、商的算术平方根的性质、分数（或分式）的基本性质，将分数（或分式）的分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 【例3】化简下列各式： （1） （2） （3） 【练习】化简下列各式： （1）； （2）； （3） 知识点4 二次根式的加减 法则：二次根式相加减，通常先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变； 步骤：（1）去括号：如果有括号，根据去括号法则去掉括号； （2） 化简：把不是最简二次根式的进行化简； （3） 合并：合并被开方数相同的二次根式。 【例4】化简：（1）； （2）； （3） 【练习】1、计算的结果是 （ ） A、-2 B、2 C、 D、 2、计算: 知识点5 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 【例5】计算：（1）+×﹣．； （2） （4） ； （4） 【练习】1、计算： 已知，则=_______,=________. 2、计算： 3、 化简： 作业 1、若,化简 ( ). A. B. C. D. 2、下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式. C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3、化简二次根式的正确结果是（ ）． A． B． C． D． 4、下列计算正确的是（　　） A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D．=1 5、若=0，则=_______________. 6、若最简二次根式与是同类二次根式，则. 7、当x≤0时，化简=________________________. 8、计算___ 9、若，则=____________ 10、（1）计算：2﹣++ （2）先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣6），其中a=+． 11、已知的整数部分为，小数部分为求的值. 反思 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$