2024-2025学年沪科版七年级数学下册 期中综合检测卷

期中检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列实数是无理数的是（　 　） A.－ B.（－1）2 C.3.141 516 27 D. 2.下列计算正确的是（　 ） A.x3·x3＝2x3 B.（x3）2＝x5 C.（6xy）2＝12x2y2 D.（－x）4÷（－x）2＝x2 3.若a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式正确的是（　 　） A.a＋x＞b＋x B.1－a＜1－b C.5a＜5b D.＞ 4.与 最接近的整数是（　 　） A.3 B.4 C.5 D.7 5.下列因式分解正确的是（　 　） A.x2－x＝x（x＋1） B.a2－4a＋4＝（a＋2）2 C.a2＋2ab－b2＝（a－b）2 D.x2－y2＝（x＋y）（x－y） 6.已知关于x的一元一次方程3x－m＝2的解为负数，则m的取值范围是（　 　） A.m＜2 B.m≥2 C.m＜－2 D.m≤－2 7.已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c的大小关系是（　 　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.a＜b＜c D.b＞c＞a 8.若x2＋2（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值为（ 　） A.5 B.5或1 C.7 D.7或－1 9.某品牌儿童自行车的标价比成本高25％，根据市场需求，该自行车需降价x％.若保证不亏本，则x应满足（　 　） A.x≤20 B.x≤25 C.x＜20 D.x＜25 10.若不等式mx－n＞0的解集为x＜1，则不等式mx－2m－n＞0的解集为（　 　） A.x＜1 B.x＞1 C.x＜3 D.x＞3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.某种生物孢子的直径为0.000 58 m.把0.000 58 用科学记数法表示为　 　. 12.计算：1232－124×122＝　 　. 13.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.已知关于x的不等式x△k≥2的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值是　 　. 14.定义：Φ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c均为实数.例如，Φ[1，2，3]＝x2＋2x＋3，Φ[2，0，－2]＝2x2－2. （1）当x＝2时，求Φ[1，1，1]＝　 　； （2）若Φ[p，q，－1]×Φ[m，2n，－4]＝2x4＋x3－10x2－x＋4，则（4p－2q－1）（m－n－1）＝　 　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：｜2－｜＋（π－3）0－－. 16.解不等式组 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.当代数式与的值的差大于4时，求x的最大整数解. 18.已知a－1的立方根是2，3a＋b－1的平方根是±4. （1）求a，b的值； （2）求a－3b－3的平方根. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.观察下列等式： ①＝1＋1；②＝1＋2；③＝1＋3；④＝1＋4；⑤＝1＋5；…. （1）请按以上规律写出第⑥个等式； （2）猜想写出第个等式，并说明猜想的正确性. 20.已知关于x，y的方程组的解满足x≤0，y＜0. （1）用含m的代数式分别表示x和y； （2）求m的取值范围； （3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集为x＞1？ 六、（本题满分12分） 21.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数（零与无理数的积为零），由此可得如果mx＋n＝0，其中m，n为有理数，x为无理数，那么m＝0，n＝0.运用上述知识解决下列问题： （1）已知（m＋1）＋n－2＝0，其中m，n为有理数，求m和 n的值； （2）已知3m－n＋(2m－n＋4)＝2，其中m，n为有理数，求 n－4m 的立方根； （3）若m，n均为有理数，且（m＋1）＋m－17＝2－n2，求｜m＋n｜的算术平方根. 七、（本题满分12分） 22.某商场销售A，B两种型号的玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需200元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需280元. （1）求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元； （2）某公司准备购买这两种型号的玩具共20个送给幼儿园，且购买金额不能超过1 000元，请你帮该公司设计购买方案； （3）在（2）的前提下，若要求A，B两种型号的玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明. 八、（本题满分14分） 23.[发现问题] 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论. [提出问题] （1）观察下列图形（图1～图4），找出可以推出的代数公式.（下列各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a＋b＋c）d＝ad＋bd＋cd；公式②：（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd；公式③：（a－b）2＝a2－2ab＋b2；公式④：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. 图1对应公式　 　，图3对应公式　 　. [解决问题] （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下列问题吗？ ①已知a－b＝1，a2＋b2＝9，求ab的值； ②已知a＋＝4，求(a－)2的值. [能力拓展] （3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形.若BE＝8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积之和为36，求阴影部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列实数是无理数的是（　D　） A.－ B.（－1）2 C.3.141 516 27 D. 2.下列计算正确的是（　D　） A.x3·x3＝2x3 B.（x3）2＝x5 C.（6xy）2＝12x2y2 D.（－x）4÷（－x）2＝x2 3.若a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式正确的是（　C　） A.a＋x＞b＋x B.1－a＜1－b C.5a＜5b D.＞ 4.与 最接近的整数是（　A　） A.3 B.4 C.5 D.7 5.下列因式分解正确的是（　D　） A.x2－x＝x（x＋1） B.a2－4a＋4＝（a＋2）2 C.a2＋2ab－b2＝（a－b）2 D.x2－y2＝（x＋y）（x－y） 6.已知关于x的一元一次方程3x－m＝2的解为负数，则m的取值范围是（　C　） A.m＜2 B.m≥2 C.m＜－2 D.m≤－2 7.已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c的大小关系是（　A　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.a＜b＜c D.b＞c＞a 8.若x2＋2（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值为（　D　） A.5 B.5或1 C.7 D.7或－1 9.某品牌儿童自行车的标价比成本高25％，根据市场需求，该自行车需降价x％.若保证不亏本，则x应满足（　A　） A.x≤20 B.x≤25 C.x＜20 D.x＜25 10.若不等式mx－n＞0的解集为x＜1，则不等式mx－2m－n＞0的解集为（　C　） A.x＜1 B.x＞1 C.x＜3 D.x＞3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.某种生物孢子的直径为0.000 58 m.把0.000 58 用科学记数法表示为　5.8×10－4　. 12.计算：1232－124×122＝　1　. 13.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.已知关于x的不等式x△k≥2的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值是　－4　. 14.定义：Φ[a，b，c]是以a，b，c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c均为实数.例如，Φ[1，2，3]＝x2＋2x＋3，Φ[2，0，－2]＝2x2－2. （1）当x＝2时，求Φ[1，1，1]＝　7　； （2）若Φ[p，q，－1]×Φ[m，2n，－4]＝2x4＋x3－10x2－x＋4，则（4p－2q－1）（m－n－1）＝　－　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：｜2－｜＋（π－3）0－－. 解：原式＝－2＋1－4－3＝－8. 16.解不等式组 解： 解不等式①，得x＞－2. 解不等式②，得x≤1. 所以不等式组的解集为－2＜x≤1. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.当代数式与的值的差大于4时，求x的最大整数解. 解：根据题意，得－＞4. 不等式两边同乘以6，得2（x＋4）－3（3x－1）＞24. 去括号，得2x＋8－9x＋3＞24. 移项，得2x－9x＞24－8－3. 合并同类项，得－7x＞13. x系数化成1，得x＜－. 故x的最大整数解为－2. 18.已知a－1的立方根是2，3a＋b－1的平方根是±4. （1）求a，b的值； 解：（1）因为a－1的立方根是2，3a＋b－1的平方根是±4， 所以 解得a＝9，b＝－10. （2）求a－3b－3的平方根. 解：（2）由（1）知a＝9，b＝－10，所以a－3b－3＝9＋30－3＝36.因为±＝±6，所以a－3b－3的平方根是±6. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.观察下列等式： ①＝1＋1；②＝1＋2；③＝1＋3；④＝1＋4；⑤＝1＋5；…. （1）请按以上规律写出第⑥个等式； 解：（1）＝1＋6. （2）猜想写出第个等式，并说明猜想的正确性. 解：（2）＝1＋n. 因为左边＝＝＝1＋n＝右边，所以原等式成立. 20.已知关于x，y的方程组的解满足x≤0，y＜0. （1）用含m的代数式分别表示x和y； 解：（1） ①＋②，得2x＝2m－6，解得x＝m－3. ①－②，得2y＝－4m－8，解得y＝－2m－4. 所以用含m的代数式分别表示x和y为x＝m－3，y＝－2m－4. （2）求m的取值范围； 解：（2）因为x≤0，y＜0， 所以解得－2＜m≤3. （3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集为x＞1？ 解：（3）由题意，得（2m＋1）x＜2m＋1. 因为原不等式的解集为x＞1， 所以2m＋1＜0，所以m＜－. 又因为－2＜m≤3，所以－2＜m＜－. 因为m为整数，所以m＝－1. 六、（本题满分12分） 21.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数（零与无理数的积为零），由此可得如果mx＋n＝0，其中m，n为有理数，x为无理数，那么m＝0，n＝0.运用上述知识解决下列问题： （1）已知（m＋1）＋n－2＝0，其中m，n为有理数，求m和 n的值； 解：（1）由题意，得m＋1＝0，n－2＝0， 解得m＝－1，n＝2. （2）已知3m－n＋(2m－n＋4)＝2，其中m，n为有理数，求 n－4m 的立方根； 解：（2）原式可化为3m－n－2＋(2m－n＋4)＝0， 所以3m－n－2＝0，2m－n＋4＝0， 解得m＝－10，n＝－32， 所以n－4m＝－32－4×（－10）＝8. 因为＝2， 所以n－4m 的立方根为2. （3）若m，n均为有理数，且（m＋1）＋m－17＝2－n2，求｜m＋n｜的算术平方根. 解：（3）原式可化为（m－1）＋m－17＋n2＝0， 所以m－1＝0，m－17＋n2＝0， 解得m＝1，n＝±4. 当m＝1，n＝4时，＝； 当m＝1，n＝－4时，＝. 故｜m＋n｜的算术平方根为或. 七、（本题满分12分） 22.某商场销售A，B两种型号的玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需200元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需280元. （1）求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元； 解：（1）设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元. 依题意，得解得 答：一个A型玩具的价格为120元，一个B型玩具的价格为40元. （2）某公司准备购买这两种型号的玩具共20个送给幼儿园，且购买金额不能超过1 000元，请你帮该公司设计购买方案； 解：（2）设购买m个A型玩具，则购买（20－m）个B型玩具. 依题意，得120m＋40（20－m）≤1 000， 解得m≤2.5. 因为m为非负整数，所以m＝0或m＝1或m＝2. 所以共有3种购买方案： 方案1：购买A型玩具0个，购买B型玩具20个； 方案2：购买A型玩具1个，购买B型玩具19个； 方案3：购买A型玩具2个，购买B型玩具18个. （3）在（2）的前提下，若要求A，B两种型号的玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明. 解：（3）因为A，B两种玩具都要购买，所以排除方案1. 方案2所需的费用为120＋19×40＝880（元）， 方案3所需的费用为2×120＋18×40＝960（元）. 因为880＜960， 所以选择方案2，购买A型玩具1个，购买B型玩具19个的费用最少. 八、（本题满分14分） 23.[发现问题] 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论. [提出问题] （1）观察下列图形（图1～图4），找出可以推出的代数公式.（下列各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a＋b＋c）d＝ad＋bd＋cd；公式②：（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd；公式③：（a－b）2＝a2－2ab＋b2；公式④：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2. 图1对应公式　①　，图3对应公式　④　. [解决问题] （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下列问题吗？ ①已知a－b＝1，a2＋b2＝9，求ab的值； ②已知a＋＝4，求(a－)2的值. 解：（2）①因为a－b＝1， 所以（a－b）2＝12，即a2－2ab＋b2＝1. 因为a2＋b2＝9， 所以a2－2ab＋b2＝9－2ab＝1，解得ab＝4. ②因为a＋＝4，所以(a＋)2＝a2＋2＋＝16， 所以a2＋＝14， 所以(a－)2＝a2＋－2＝14－2＝12. [能力拓展] （3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形.若BE＝8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积之和为36，求阴影部分的面积. 解：（3）设正方形ABGF的边长为a，正方形CDEG的边长为b.由于BE＝8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积之和为36， 所以a＋b＝8，a2＋b2＝36， 所以S阴影＝ab＋ab＝ab＝＝＝14. 学科网（北京）股份有限公司 $$