第8章 整式乘法与因式分解 单元检测卷 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

第8章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.计算a3·a的结果是 （　 ） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 2.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000 005 2克.0.000 005 2用科学记数法表示为（　 　） A.5.2×10－5 B.5.2×10－6 C.5.2×10－7 D.52×10－7 3.下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是 （　 　） A.（a＋1）（a－1）＝a2－1 B.a2－6a＋9＝（a－3）2 C.a2－2a＋3＝（a－2）2 D.ab＋ac＋1＝a（b＋c）＋1 4.利用因式分解可以简便计算57×99＋44×99－99，下列分解正确的是（　 　） A.99×（57＋44） B.99×（57＋44－1） C.99×（57＋44＋1） D.99×（57＋44－99） 5.一块三角形土地的一边长为（－3x）2米，这条边上的高为（2x＋2）米，则这块土地的面积是（　 　） A.（18x3＋18x2）平方米 B.（9x3＋9x2）平方米 C.（9x2＋9x）平方米 D.（9x3＋9）平方米 6.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，通过剪切把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　 　） A.a2－b2＝（a＋b）（a－b） B.a（a－b）＝a2－ab C.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D.a（a＋b）＝a2＋ab 7.若2b－3a＝1，则的值是（　 　） A.－2 B.2 C.－ D. 8.若2n·2n＝2n＋2n＋2n＋2n，则n的值为（　 　） A.0 B.1 C.2 D.4 9.当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x－y）＋y2（y－x）的值（　 　） A.总是为正 B.总是为负 C.可能为正，也可能为负 D.不能确定正负 10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”.例如，8＝32－12，24＝72－52，即8，24均为“致真数”.在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（　 　） A.160 B.164 C.168 D.177 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算：a（a＋2）－2a＝　 　. 12.若x＋2m与2x－1的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 . 13.若（a＋b＋1）（a＋b－1）＝15，则a＋b的值为　 　. 14.已知正数a，b，c满足a－b＝b－c＝1，ab＋ac＋bc＝4. （1）a－c＝　 　； （2）三张叠放的正方形纸片如图所示，其边长分别为c，c＋1，c＋2，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为　 　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：3－2＋（－1）2 023－＋（π－4）0. 16.因式分解： （1）a3－4a； （2）x3－10x2＋25x. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.先化简，再求值：（a－2）2＋（a＋2）（2－a）－2a（a－2），其中a＝. 18.解不等式：x2－（x＋2）2≥（x－3）（x＋5）－（x－1）（x＋1）＋3. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2－4（x2）2n的值. 20.已知有理数m，n满足（m＋n）2＝9，（m－n）2＝1，求下列各式的值： （1）mn； （2）m2＋n2－mn. 六、（本题满分12分） 21.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中之一.如图，某同学发现杨辉三角给出了（a＋b）n（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数；…. 　　 1 　　1　1 　1　2　1 　1　3　3　1 …… … （a＋b）0＝1 … （a＋b）1＝a＋b … （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 … （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （1）（a＋b）5的展开式中共有　 　项，第三项是　 　； （2）利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 七、（本题满分12分） 22.[探究]若x满足（9－x）（x－4）＝4，求（4－x）2＋（x－9）2的值. 设9－x＝a，x－4＝b， 则（9－x）（x－4）＝ab＝4，a＋b＝（9－x）＋（x－4）＝5， 所以（4－x）2＋（x－9）2＝（9－x）2＋（x－4）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝52－2×4＝17. [应用]请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）若x满足（5－x）（x－2）＝2，求（5－x）2＋（x－2）2的值. [拓展]（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形. ①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积. 八、（本题满分14分） 23.利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2和平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2可以解决一些数学问题.下面给出两个例子： 例1： 因式分解：x2＋2x－3. 解：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝（x＋1）2－22＝（x＋1＋2）（x＋1－2）＝（x＋3）（x－1）. 例2： 求代数式2x2－4x－6的最小值. 解：2x2－4x－6＝2（x2－2x）－6＝2（x2－2x＋1－1）－6＝2[（x－1）2－1]－6＝2（x－1）2－8. 因为2（x－1）2≥0， 所以当x＝1时，代数式2x2－4x－6有最小值，最小值是－8. 仔细阅读上面的例题，并解决下列问题： （1）因式分解：m2－8m＋12. （2）代数式－x2＋4x－2有最　 　（填“大”或“小”）值，当x＝　 　时，最值是　 　. （3）当x，y为何值时，多项式2x2＋y2－8x＋6y＋25有最小值？请求出这个最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.计算a3·a的结果是 （　C　） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 2.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000 005 2克.0.000 005 2用科学记数法表示为（　B　） A.5.2×10－5 B.5.2×10－6 C.5.2×10－7 D.52×10－7 3.下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是 （　B　） A.（a＋1）（a－1）＝a2－1 B.a2－6a＋9＝（a－3）2 C.a2－2a＋3＝（a－2）2 D.ab＋ac＋1＝a（b＋c）＋1 4.利用因式分解可以简便计算57×99＋44×99－99，下列分解正确的是（　B　） A.99×（57＋44） B.99×（57＋44－1） C.99×（57＋44＋1） D.99×（57＋44－99） 5.一块三角形土地的一边长为（－3x）2米，这条边上的高为（2x＋2）米，则这块土地的面积是（　B　） A.（18x3＋18x2）平方米 B.（9x3＋9x2）平方米 C.（9x2＋9x）平方米 D.（9x3＋9）平方米 6.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，通过剪切把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　A　） A.a2－b2＝（a＋b）（a－b） B.a（a－b）＝a2－ab C.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D.a（a＋b）＝a2＋ab 7.若2b－3a＝1，则的值是（　D　） A.－2 B.2 C.－ D. 8.若2n·2n＝2n＋2n＋2n＋2n，则n的值为（　C　） A.0 B.1 C.2 D.4 9.当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x－y）＋y2（y－x）的值（　A　） A.总是为正 B.总是为负 C.可能为正，也可能为负 D.不能确定正负 10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”.例如，8＝32－12，24＝72－52，即8，24均为“致真数”.在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（　C　） A.160 B.164 C.168 D.177 【解析】 设两个连续奇数分别为2n＋1，2n－1（n≥1，且n为正整数），（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n. 根据题意，得8n≤50，解得n≤， 所以n最大为6，此时2n＋1＝13，2n－1＝11， 所以32－12＋52－32＋…＋132－112＝132－12＝168.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算：a（a＋2）－2a＝　a2　. 12.若x＋2m与2x－1的乘积中不含x的一次项，则m的值为　　. 13.若（a＋b＋1）（a＋b－1）＝15，则a＋b的值为　±4　. 14.已知正数a，b，c满足a－b＝b－c＝1，ab＋ac＋bc＝4. （1）a－c＝　2　； （2）三张叠放的正方形纸片如图所示，其边长分别为c，c＋1，c＋2，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为　7　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：3－2＋（－1）2 023－＋（π－4）0. 解：3－2＋（－1）2 023－＋（π－4）0 ＝－1－＋1 ＝－. 16.因式分解： （1）a3－4a； 解：（1）a3－4a＝a（a2－4）＝a（a＋2）（a－2）. （2）x3－10x2＋25x. 解：（2）x3－10x2＋25x＝x（x2－10x＋25）＝x（x－5）2. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.先化简，再求值：（a－2）2＋（a＋2）（2－a）－2a（a－2），其中a＝. 解：（a－2）2＋（a＋2）（2－a）－2a（a－2） ＝a2－4a＋4＋4－a2－2a2＋4a ＝－2a2＋8. 当a＝时，原式＝－2×（）2＋8＝4. 18.解不等式：x2－（x＋2）2≥（x－3）（x＋5）－（x－1）（x＋1）＋3. 解：去括号，得x2－x2－4x－4≥x2＋2x－15－x2＋1＋3， 移项、合并同类项，得－6x≥－7， 解得x≤. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2－4（x2）2n的值. 解：原式＝9x6n－4x4n＝9（x2n）3－4（x2n）2. 当x2n＝2时，原式＝9×23－4×22＝56. 20.已知有理数m，n满足（m＋n）2＝9，（m－n）2＝1，求下列各式的值： （1）mn； 解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝9，① （m－n）2＝m2＋n2－2mn＝1.② （1）①－②，得4mn＝8， 所以mn＝2. （2）m2＋n2－mn. 解：（2）①＋②，得2（m2＋n2）＝10， 所以m2＋n2＝5， 所以m2＋n2－mn＝5－2＝3. 六、（本题满分12分） 21.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中之一.如图，某同学发现杨辉三角给出了（a＋b）n（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数；…. 　　 1 　　1　1 　1　2　1 　1　3　3　1 …… … （a＋b）0＝1 … （a＋b）1＝a＋b … （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 … （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （1）（a＋b）5的展开式中共有　六　项，第三项是　10a3b2　； （2）利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 解：因为25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1＝25＋5×（－1）×24＋10×（－1）2×23＋10×（－1）3×22＋5×（－1）4×2＋（－1）5， 所以原式＝[2＋（－1）]5＝1. 七、（本题满分12分） 22.[探究]若x满足（9－x）（x－4）＝4，求（4－x）2＋（x－9）2的值. 设9－x＝a，x－4＝b， 则（9－x）（x－4）＝ab＝4，a＋b＝（9－x）＋（x－4）＝5， 所以（4－x）2＋（x－9）2＝（9－x）2＋（x－4）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝52－2×4＝17. [应用]请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）若x满足（5－x）（x－2）＝2，求（5－x）2＋（x－2）2的值. 解：（1）设5－x＝a，x－2＝b，则（5－x）（x－2）＝ab＝2，a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3， 所以（5－x）2＋（x－2）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5. [拓展]（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形. ①MF＝　x－1　，DF＝　x－3　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积. 解：（2）②由题意，得（x－1）（x－3）＝48， S阴影＝FM2－DF2＝（x－1）2－（x－3）2. 设x－1＝a，x－3＝b，则（x－1）（x－3）＝ab＝48，a－b＝（x－1）－（x－3）＝2， 所以（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab＝22＋4×48＝196. 又因为a＋b＞0，所以a＋b＝14， 所以（x－1）2－（x－3）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28， 即阴影部分的面积是28. 八、（本题满分14分） 23.利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2和平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2可以解决一些数学问题.下面给出两个例子： 例1： 因式分解：x2＋2x－3. 解：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝（x＋1）2－22＝（x＋1＋2）（x＋1－2）＝（x＋3）（x－1）. 例2： 求代数式2x2－4x－6的最小值. 解：2x2－4x－6＝2（x2－2x）－6＝2（x2－2x＋1－1）－6＝2[（x－1）2－1]－6＝2（x－1）2－8. 因为2（x－1）2≥0， 所以当x＝1时，代数式2x2－4x－6有最小值，最小值是－8. 仔细阅读上面的例题，并解决下列问题： （1）因式分解：m2－8m＋12. 解：（1）m2－8m＋12＝（m2－8m＋16）－16＋12＝（m－4）2－22＝（m－4＋2）（m－4－2）＝（m－2）（m－6）. （2）代数式－x2＋4x－2有最　大　（填“大”或“小”）值，当x＝　2　时，最值是　2　. （3）当x，y为何值时，多项式2x2＋y2－8x＋6y＋25有最小值？请求出这个最小值. 解：（3）2x2＋y2－8x＋6y＋25＝2（x2－4x＋4）＋（y2＋6y＋9）－8－9＋25＝2（x－2）2＋（y＋3）2＋8. 因为（x－2）2≥0，（y＋3）2≥0， 所以当x＝2，y＝－3时，这个多项式有最小值，最小值是8. 学科网（北京）股份有限公司 $$