28.1锐角三角函数练习2024-2025学年人教版数学九年级下册

28.1锐角三角函数 练习 一、单选题 1．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（  ） A． B． C． D．1 2．如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　） A．2 B． C． D． 5．如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点位于第一象限内，，并且点到轴的距离为，点对应的坐标为，若为钝角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C．且，或 D．且，或 7．如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 8．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作分别交x轴，y轴于点A，B，弦与相交于点C，与y轴相交于点D，，则（    ） A． B． C． D． 12．的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 13．在中，若，、都是锐角，则是 三角形． 14．计算： ． 15．如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 16．如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 三、解答题 17．（1）计算：； （2）先化简分式，然后、0、1、2中选择一个你认为合适的a的值，代入求值． 18．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 19．如图，如果中是锐角，，．证明：． 20．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D D D A B B 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】本题考查直角三角形性质，求角度的正弦值等．根据题意可得，继而再利用正弦公式即可求出． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，三角函数，连接，由矩形的性质及余弦的定义可得，即得，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的定义以及求一个角的余弦值等知识点，设等腰的底角为，分类讨论当顶角为时和当顶角为时两种情况即可求解． 【详解】解：设等腰的底角为， 当顶角为时，有，解得：； 此时，底角的余弦值为； 当顶角为时，有，解得：； 如图所示：作平分， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：（舍负）， ∴， ∴； 综上所述：底角的余弦值为或； 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接交于点F，设，则；由矩形的性质和勾股定理可得；再根据折叠的性质可得、垂直平分，易得，再根据勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】根据题干得，则，有，设，求得，和，结合已知求得和，由勾股定理求得，过点C作于点H，利用等面积法求得，再次利用勾股定理求得，结合解直角三角即可． 【详解】解：由题干得，， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 则， 过点C作于点H，如图， 则，解得， ∵， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和正方形的性质． 6．D 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，即可求解； 【详解】解：如图1，当垂直于轴时，为直角， 此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点和点重合时，围不成三角形， 所以． 如图2，当为直角时，已知，点到轴的距离为6， 可知， ， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且，或． 故选：D 7．D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于正确掌握相关知识．利用勾股定理得到，再结合等面积法求出，进而得到，最后根据余弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， 又， ， ， ， 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，根据题意得到等腰直角三角形一个锐角的余弦值为，计算求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于， 等腰直角三角形一个锐角的余弦值． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，作于点，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，得到，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题． 【详解】解：连接，作于点， ，， 又，， ，， ，， ， ， 整理得， ，， ， ， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格，得出，然后运用勾股定理算出，，运用求一个角的正弦值的性质列式进行计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合网格，得出， 则，， ∴在中，， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆周角定理得到，特殊角的三角函数值得到，进而得到，对顶角相等结合三角形的内角和定理求出的度数即可。 【详解】解：∵，在平面直角坐标系中，． ∴ ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故选B． 12．D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选D． 13．等边/正 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等边三角形， 故答案为：等边． 14．1 【分析】本题考查实数和三角函数的混合运算．掌握零次幂、负整指数幂和特殊的三角函数值是解题的关键．除0以外，任何数的零次方都是1，对于负整指数幂，则有；依次计算乘方、零次幂、特殊的三角函数值和负整指数幂，最后加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：1. 15．/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．先利用勾股定理求得的长，由面积可求出高的长，再利用正弦函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，作于点F， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、直角坐标系中点的坐标，熟练掌握是解题的关键． 作轴于点，根据点的坐标特征求出点、的坐标，得到、的长，根据勾股定理求出，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，作轴于点， 由题意得，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为：． 17．（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，即可约分，最后计算减法即可化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵，， ∴a的值不能能取，0，1，只能取2， 当时，原式． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算进行计算即可； （3）根据特殊角的三角函数值，零指数幂以及化简绝对值进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 20．(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 学科网（北京）股份有限公司 $$