1.4 二次函数一元二次不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题1.4二次函数与一元二次方程不等式】 一．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 掌握基础解法：深刻理解一元二次不等式概念，明晰其一般形式。熟练运用因式分解、求根公式等手段，借由对应一元二次方程的根与二次函数图象性质，精准求解不等式解集。 2. 攻克含参问题：面对含参数的一元二次不等式，具备依据参数不同取值范围，展开全面且合理分类讨论的能力，借此确定不等式解集。 3. 融会贯通知识：能够与函数、方程、数列、解析几何等知识相互关联。在各知识板块背景下，通过构建、求解一元二次不等式，实现问题的突破。 4. 建立数学模型：将实际问题抽象为一元二次不等式模型，运用数学知识求解，以此提升数学建模与实际应用能力 。 2023年 新课标Ⅰ卷：选择题第1题，借助一元二次不等式求解集合，考查不等式解法与集合运算。 全国乙卷：函数题中，利用二次函数性质，结合对称轴、单调性，求函数在区间内的最值 。 2022年 新高考全国Ⅱ卷：集合相关题目，需用一元二次不等式确定集合元素范围，完成集合运算 。 其他地区试卷：在函数定义域、值域求解，或不等式恒成立问题中，常构建一元二次不等式求解参数范围 。 2021年 全国甲卷、乙卷等：虽无直接考查，但在函数与导数、数列等综合题里，常需构建一元二次不等式求参数范围或解决最值问题 1. 题型分布：近三年高考，一元二次不等式鲜少单独命题，常融入其他知识点。在选择、填空题中，多与集合运算融合，借解不等式确定集合元素范围以完成集合运算；解答题里，常作为函数、数列、解析几何解题关键，用于求参数范围、定义域、值域等 。 2. 难度层次：单纯考查解法的题目多为基础或中等难度，旨在考查对基本概念与方法的掌握。但与其他知识综合时，难度上升，如函数导数问题中，依函数性质构建不等式求参数，考验学生知识迁移与综合运用能力 。 3. 命题趋势：未来高考将延续融合考查趋势，更注重考查复杂情境下的解题能力。同时，可能增加与生活实际紧密相关的题目，强化学生数学应用意识，要求将实际问题转化为数学问题，通过解不等式解决 。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：解一元二次不等式（不含参数）以集合函数为载体考察】 【知识讲解】 例题精选 【例题1】（2025·山西晋中·模拟预测）设集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式,再求交集即可得到个数. 【详解】由， 所以中有三个元素， 故选：B. 【例题2】（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式和一元二次不等式的解法，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，即，解得或，所以， 所以， 故选：D. 【例题3】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为或，， 故. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合绝对值不等式、一元二次不等式求解，再由补集运算即可求解. 【详解】全集， 则 故选：D 【相似题2】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，可得，解得或， 所以或， 又， 所以. 故选：A 【相似题3】（2025高三·北京·专题练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合和即可求出. 【详解】， 所以． 故选：C． 【题型二：解一元二次不等式（含有参数）】 【知识讲解】 例题精选 【例题1】（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 【例题2】（2023·河南周口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，进而求出，再结合列出关于a的不等式组，解方程即可得出答案. 【详解】集合， ， 或，因为， 所以，解得：. 故实数a的取值范围为. 【例题3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求出集合，由，得，由此能求出实数的取值范围. 【详解】由，解得，所以集合 ， 由，可得，所以， 因为，所以， 当时，不符合题意， 所以，因为，所以， 即实数的取值范围是． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】根据题意可得不等式等价于； 因为，所以不等式的解集为； 依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得； 由几何概型概率公式可得其概率为. 故选：C 【相似题2】（2023·全国·模拟预测）已知集合，若集合中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集运算分析求解即可. 【详解】因为，， 因为集合中只有一个元素， 所以，故，因此， 如图所示：所以， 故选：A． 【相似题3】（2023·河南信阳·模拟预测）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可求得集合，根据交集结果可确定集合，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由得：，解得：，即； 由得：， ，，，解得：. 故选：D. 【题型三：三个二次的关系】 【知识讲解】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 【例题2】多选题（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·云南文山·期中）已知二次函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据二次函数图象，结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系判断各项的正误. 【详解】由图象及二次函数性质的对称轴为，又图象开口向上， 所以在区间上单调递减，A对； 由图知：不等式的解集为，B对； 由图知：，C错； 根据二次函数与一元二次方程的关系，是的两个根， 所以，，且， 所以，解集为，D对. 故选：ABD 【相似题2】多选题（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到方程有两根为和，且，将用表示后代入所求不等式，化简即可求其解集. 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 【题型四：根的分布问题】 【知识讲解】 【例题精选】 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 【例题2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【相似题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 【相似题3】 （23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 【题型五：一元二次不等式恒成立问题】 【知识讲解】 【例题精选】 【例题1】（2025高一上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解. 【详解】当时，有恒成立，满足题意； 当时，令，对称轴为， 时，在单调递减，单调递增， 则有，解得， 时，在单调递增，单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，在中，其对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立， 设， 则其对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， ① 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ，解得； ② 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， 解得； ③ 当，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去； ④ 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 解得； ⑤ 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此时， 此时，，所以符合题意. ⑥ 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为求出的最大值即可. 【详解】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【相似题3】（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】一元二次不等式的恒成立问题可采用参变分离来求解，本题解得在上的最大值即可. 【详解】因对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，且，， 则在上的最大值为， 则， 故实数a的取值范围为. 故答案为： 【题型六：一元二次不等式的能成立问题】 【知识讲解】 【例题精选】 【例题1】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围. 【详解】关于x的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6. 故，可得. 故选：D 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可. 【详解】关于的不等式有解等价于在上有解， 由对勾函数的性质可知在上单调递增，即， 所以. 故选：B 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可. 【详解】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】根据特称、全称命题为假命题，则其否定为真命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即可. 【详解】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题， 由， 即， 令， 由二次函数的性质知，函数的对称轴为， 则函数，在上单调递减，在上单调递增， 故时，， 因此可得， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 【相似题3】 （21-22高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得． 【详解】关于x的不等式 在R上有解， 即在R上有解， 只需函数的图象与轴有公共点， 所以，即，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广西南宁·二模）已知函数，.若不等式的解集为，则（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A C B B C B 题号 11 12 答案 A ACD 1．C 【分析】解不等式得集合，再求交集. 【详解】由得，解得或， ∴ 所以. 故选：C. 2．C 【分析】解出一元二次不等式后结合交集定义即可得. 【详解】，故或， 则或，又， 则. 故选：C. 3．D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合， ， 则. 故选：D. 4．C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 5．A 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 6．C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 7．B 【分析】先求出各个集合，再由集合的补集和交集的定义求解即可 【详解】解不等式，则其解为. 又因为，所以. 求解集合：解不等式，则，得，所以. 那么或. 所以. 故选：B. 8．B 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 9．C 【分析】解不等式得到，然后求补集. 【详解】，所以或. 故选：C. 10．B 【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解. 【详解】， ， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 11．A 【分析】根据，对讨论正负，即可结合函数图象，结合不等式的求解. 【详解】， 根据选项可知：只需要考虑， 要使不等式的解集为， 当时， 故，解得， 当时，无法满足的解集为，故舍去， 故选：A 12．ACD 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【详解】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题1.4二次函数与一元二次方程不等式】 一．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 掌握基础解法：深刻理解一元二次不等式概念，明晰其一般形式。熟练运用因式分解、求根公式等手段，借由对应一元二次方程的根与二次函数图象性质，精准求解不等式解集。 2. 攻克含参问题：面对含参数的一元二次不等式，具备依据参数不同取值范围，展开全面且合理分类讨论的能力，借此确定不等式解集。 3. 融会贯通知识：能够与函数、方程、数列、解析几何等知识相互关联。在各知识板块背景下，通过构建、求解一元二次不等式，实现问题的突破。 4. 建立数学模型：将实际问题抽象为一元二次不等式模型，运用数学知识求解，以此提升数学建模与实际应用能力 。 2023年 新课标Ⅰ卷：选择题第1题，借助一元二次不等式求解集合，考查不等式解法与集合运算。 全国乙卷：函数题中，利用二次函数性质，结合对称轴、单调性，求函数在区间内的最值 。 2022年 新高考全国Ⅱ卷：集合相关题目，需用一元二次不等式确定集合元素范围，完成集合运算 。 其他地区试卷：在函数定义域、值域求解，或不等式恒成立问题中，常构建一元二次不等式求解参数范围 。 2021年 全国甲卷、乙卷等：虽无直接考查，但在函数与导数、数列等综合题里，常需构建一元二次不等式求参数范围或解决最值问题 1. 题型分布：近三年高考，一元二次不等式鲜少单独命题，常融入其他知识点。在选择、填空题中，多与集合运算融合，借解不等式确定集合元素范围以完成集合运算；解答题里，常作为函数、数列、解析几何解题关键，用于求参数范围、定义域、值域等 。 2. 难度层次：单纯考查解法的题目多为基础或中等难度，旨在考查对基本概念与方法的掌握。但与其他知识综合时，难度上升，如函数导数问题中，依函数性质构建不等式求参数，考验学生知识迁移与综合运用能力 。 3. 命题趋势：未来高考将延续融合考查趋势，更注重考查复杂情境下的解题能力。同时，可能增加与生活实际紧密相关的题目，强化学生数学应用意识，要求将实际问题转化为数学问题，通过解不等式解决 。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：解一元二次不等式（不含参数）以集合函数为载体考察】 【知识讲解】 解题步骤 （一）将不等式化为标准形式 1. 面对一元二次不等式，首先要将其整理成标准形式，标准形式有（）以及（）这两种。 2. 若原不等式二次项系数，为方便后续求解，需在不等式两边同时乘以，不等号方向随之改变，从而化为的标准形式。 （二）求对应一元二次方程的根 1. 因式分解法： 对于标准形式的一元二次不等式，令。当能分解为两个一次因式的乘积时，根据乘法原理，或者时方程成立，方程的根即为，。 2. 求根公式法： 当难以直接因式分解时，借助求根公式求解方程的根。公式中的为判别式，决定方程根的情况。 （三）结合二次函数图象确定不等式解集 1. 二次函数（）的图象是开口向上的抛物线。 2. 当不等式为时： · 若方程有两个不同根，（），则不等式解集为抛物线在轴上方部分对应的取值范围，即。 · 若方程有两个相同根，即，抛物线与轴仅有一个交点，此时不等式解集为。 · 若方程无实数根，即，整个抛物线都在轴上方，不等式解集为全体实数。 3. 当不等式为时： · 若方程有两个不同根，（），不等式解集为抛物线在轴下方部分对应的取值范围，即。 · 若方程有两个相同根，即，抛物线与轴仅有一个交点，此时不等式解集为空集。 · 若方程无实数根，即，抛物线全在轴上方，不等式解集同样为空集。 例题精选 【例题1】（2025·山西晋中·模拟预测）设集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例题2】（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025高三·北京·专题练习）集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型二：解一元二次不等式（含有参数）】 【知识讲解】 1. 化为标准形式：将含参数的一元二次不等式化为或（）的标准形式。 2. 计算判别式：计算判别式，它的值决定了一元二次方程根的情况。由于可能含有参数，所以其正负性或与的大小关系通常需要分类讨论。 3. 讨论二次项系数： 当时，二次函数的图象开口向上。 当时，图象开口向下。 当时，不等式化为一次不等式，按一次不等式的解法求解。 4. 根据判别式和根的情况分类讨论： 时：方程有两个不同的实根和（），此时不等式的解集取决于二次函数图象在轴上方或下方的部分。 若，则的解集为，的解集为。 若，则的解集为，的解集为。 时：方程有两个相同的实根。 当时，的解集为，的解集为。 当时，的解集为，的解集为。 时：方程无实数根。 若，则的解集为，的解集为。 若，则的解集为，的解集为。 5. 确定参数范围：根据以上不同情况，结合题目条件确定参数的取值范围，进而得出不等式的解集。在讨论过程中，要注意做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况。 例题精选 【例题1】（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023·河南周口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2023·全国·模拟预测）已知集合，若集合中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2023·河南信阳·模拟预测）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三：三个二次的关系】 【知识讲解】 三个二次之间的关系知识讲解 一、二次函数 1. 表达式：二次函数的一般式为（），其中决定二次函数图象的开口方向，当时，图象开口向上；当时，图象开口向下。与共同影响对称轴的位置，对称轴公式为 。表示二次函数图象与轴的交点纵坐标，即当时， 。 2. 图象性质：二次函数的图象是一条抛物线。当时，抛物线在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当时，抛物线在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。图象有最高点或最低点，其纵坐标为函数的最值，当时， 。 二、一元二次方程 1. 定义与形式：一元二次方程的一般形式是（）。求根公式为，其中称为判别式。 2. 判别式与根的关系： · 当时，方程有两个不同的实数根，设为， 。 · 当时，方程有两个相同的实数根，即 。 · 当时，方程没有实数根。 三、一元二次不等式 1. 形式与解法：一元二次不等式的一般形式为（）或（）。解一元二次不等式通常需要借助二次函数图象与一元二次方程的根。 2. 解集与根的关系： · 当时： · 若，的解集为，的解集为。 · 若，的解集为，的解集为。 · 若，的解集为，的解集为。 · 当时： · 若，的解集为，的解集为。 · 若，的解集为，的解集为。 · 若，的解集为，的解集为。 四、三者之间的内在联系 1. 方程的根是函数图象与轴交点的横坐标：一元二次方程的根，就是二次函数图象与轴交点的横坐标。当时，函数图象与轴有两个交点；当时，函数图象与轴有一个交点；当时，函数图象与轴无交点。 2. 不等式的解集由函数图象与轴的位置关系确定：一元二次不等式或的解集，可根据二次函数的图象在轴上方或下方的部分对应的的取值范围来确定。 3. 相互转化：已知二次函数的表达式，可以通过令得到对应的一元二次方程，通过分析或得到对应的一元二次不等式。反之，给定一元二次方程或不等式，也能构建出相应的二次函数，利用函数的性质来解决方程或不等式的问题。例如，在研究一元二次方程根的分布问题时，可借助二次函数图象的性质，结合根与系数的关系来分析；求解一元二次不等式恒成立问题时，常转化为二次函数的最值问题进行处理 。 例题精选 【例题1】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·云南文山·期中）已知二次函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【相似题2】多选题（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【题型四：根的分布问题】 【知识讲解】 根的分布问题知识讲解 一、一元二次方程根的基本分布 —— 零分布 所谓零分布，指的是方程的根与零的大小关系。对于一元二次方程（），设其两根为，，由韦达定理可知，。 1. 两个正根：需同时满足以下条件 · 判别式，保证方程有实数根。 · 对称轴，因为二次函数对称轴在轴右侧时，两根有可能同为正。 · 当时，，意味着函数图象与轴交点在轴上方。 2. 两个负根：需满足 · 。 · 对称轴，即对称轴在轴左侧。 · 当时， 。 3. 一正一负根：只需满足，这表明两根异号。 二、一元二次方程根的非零分布 ——分布 分布是指方程的根与特定常数的大小关系。 1. 两根都大于：设二次函数（）。 · 。 · 对称轴，保证对称轴在右侧。 · 当时，，即函数在处的函数值大于。 2. 两根都小于： · 。 · 对称轴 。 · 当时， 。 3. 一根大于，一根小于：只需满足当时，，此时函数图象在处穿过轴，即两根分别在的两侧。 4. 两根在区间内： · 。 · 对称轴，确保对称轴在区间内。 · 当时， 。 · 当时， 。 5. 一根在区间内，另一根在区间内（）： · 当时，与当时，异号，即 。 · 当时，与当时，异号，即 。 在解决根的分布问题时，关键是将根的分布条件转化为关于二次函数系数、、的不等式组，通过解不等式组来确定参数的取值范围。同时，要充分理解二次函数图象与方程根之间的紧密联系，借助图象直观分析问题 。 【例题精选】 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【例题2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】 （23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型五：一元二次不等式恒成立问题】 【知识讲解】 一元二次不等式恒成立问题知识讲解 一、恒成立的情况 1. 当时：不等式变为，此时它是一个一次不等式。若要在给定区间上恒成立，当时，不等式恒成立；当时，在上不能恒成立，需根据具体给定区间判断，例如在区间上，需且；当时，同理需结合区间分析 。 2. 当时：不等式对应的函数为，这是一个二次函数。要使不等式在上恒成立，则二次函数的图象需开口向上且与轴无交点。 · 首先，二次项系数，保证函数图象开口向上。 · 其次，判别式，这表明函数图象与轴没有公共点，即对于任意实数，函数值恒大于。 二、恒成立的情况 1. 当时：不等式变为。当时，不等式恒成立；当时，需结合给定区间判断，例如在区间上，需且；当时，同样依据区间分析 。 2. 当时：对于不等式，其对应的二次函数。要使其在上恒成立，二次函数图象需开口向下且与轴无交点。 · 即，保证函数图象开口向下。 · 同时，意味着函数图象与轴没有交点，对于任意实数，函数值恒小于。 三、在给定区间$[m,n]$上恒成立的情况 1. 转化为函数最值问题：设。 · 若在$[m,n]$上恒成立，则需。 · 当时，函数图象开口向上，对称轴为。 · 若，函数在$[m,n]$上单调递增，，则。 · 若，。 · 若，函数在$[m,n]$上单调递减，，则。 · 若在$[m,n]$上恒成立，则需。 · 当时，函数图象开口向上，，即且。 · 当时，函数图象开口向下，对称轴为。 · 若，函数在$[m,n]$上单调递减，，则。 · 若，。 · 若，函数在$[m,n]$上单调递增，，则。 2. 分离参数法：将不等式中的参数与变量分离到不等号两边，转化为（或）恒成立的形式，其中是关于变量的函数，是含参数的表达式。然后求在给定区间$[m,n]$上的最值。 · 若恒成立，则。 · 若恒成立，则。例如，对于不等式在$[1,2]$上恒成立，可变形为在$[1,2]$上恒成立。令，则，函数，求出在上的最大值，进而得到的取值范围 。 解决一元二次不等式恒成立问题，要熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用上述方法，将问题逐步转化为可求解的形式 。 【例题精选】 【例题1】（2025高一上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是 . 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 【题型六：一元二次不等式的能成立问题】 【知识讲解】 常见题型及解法 在上能成立问题 对于不等式在上能成立，当时，只要即可；当时，若，则不等式化为，在上能成立的条件是与异号；当时，不等式在上不能恒成立，但能成立的条件是函数的最大值大于，即。 对于不等式在上能成立，当时，只要；当时，若，则不等式化为，在上能成立的条件是与同号；当时，不等式在上不能恒成立，但能成立的条件是函数的最小值小于，即。 在给定区间上能成立问题 若不等式在区间上能成立，可转化为或在区间上有解的问题，其中。通过求在区间上的最值，进而确定的取值范围。例如，若在区间上有解，则；若在区间上有解，则。 另一种方法是将不等式转化为函数问题，设，然后根据函数在区间上的图象特征来求解。比如，当时，若或，则不等式在区间上能成立；当时，若函数在区间内有最大值大于，则不等式在区间上能成立。 含参数的一元二次不等式能成立问题 这是此类问题中的重点和难点。通常需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。例如，对于不等式，当参数不确定时，要分、、三种情况讨论，然后在每种情况下结合判别式、函数图象等方法来确定不等式能成立的条件，进而求出参数的取值范围。 解决一元二次不等式能成立问题，需要熟练掌握二次函数的性质、判别式的应用以及函数最值的求解方法，同时要善于将不等式问题转化为函数问题，通过对函数的分析来解决不等式的相关问题。对于含参数的问题，要注意分类讨论的完整性和准确性 【例题精选】 【例题1】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 . 【相似题2】（24-25高一上·河北保定·期中）已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【相似题3】 （21-22高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广西南宁·二模）已知函数，.若不等式的解集为，则（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$