2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数中平行四边形存在性问题专题训练

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练 二次函数中平行四边形存在性问题专题训练 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标． 2．如图1，抛物线与轴交于、，与轴交于，，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)、为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值； (3)如图2，过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，试探究直线是否经过某一定点，若是，求该点坐标；若不是，说明理由． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点． (1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标； (4)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，连接、．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标和长度的最大值； (3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点M是新抛物线上一点，点N是新抛物线对称轴上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来． 5．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 7．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)若点M在抛物线上，在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点分别在抛物线上，且点在轴的同侧，若以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 9．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式． (2)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． (3)已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，且，G是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)若M为第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若P是抛物线上的一个动点，Q是x轴上的一个动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、A，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为．    (1)求此抛物线和直线的解析式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在线段上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求出点的坐标，并求出面积的最大值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 14．如图1，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线与直线交于点E，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数中平行四边形存在性问题专题训练》参考答案 1．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，设 则点即可得到，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：；当或为对角线时，列方程求出值解题． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设直线AB的解析式为， 则，解得， ∴直线的表达式为： 设则点 ∴， 解得： 则点或 （3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则， ∴点对应的点， 设点， 点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得： 或， 解得：或， 即点或； 综上， 或或． 2．(1)对称轴为直线； (2)m值为或或或 (3)直线是经过一定点，该定点坐标为 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，利用对称性和三角形的面积公式求得点C坐标，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式分别求解即可； （3）设，，则直线的解析式为，由直线经过定点则，再由直线经过点，与抛物线交于点可得直线的解析式为，进而可求得，再利用待定系数法求得 直线解析式为，进而可知当时，，即直线必过定点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，则， ∵的面积为6， ∴，则， ∴， 将和代入中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，设，，有三种情况： 当为对角线时，则：， ∴， 将F坐标代入抛物线解析中，得， 解得：； 当为对角线时，则， ∴， 将F坐标代入抛物线解析中，得： ， 解得； 当为对角线时，则， ∴， 将F坐标代入抛物线解析中，得， 解得，； 综上，满足条件得m值为或或或； （3）解：设，， 设直线的解析式为， 由得， ∴，，则，， ∴直线的解析式为， ∵直线经过定点， ∴，则， ∵直线经过点，与抛物线交于点， ∴，则， ∴直线的解析式为， 由得，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 即， 当时，， ∴直线必过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 3．(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为 (4)点N的坐标为或或． 【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解； （2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可． （4）分，和为的对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，则， 解得； 当时，， ∴． ∵抛物线经过点，，代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）证明：已知抛物线， 当时，则， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 如图，设抛物线的对称轴与直线交于点E， 连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． ∵， ∴当点P与点E重合时，， ∴此时最小． ∵直线， 当时，， ∴， ∴当的周长最小时，点P的坐标为． （4）解：当为的对角线时，如图 ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 当为的对角线时，如图， 此时，， 当为对角线时，如图， 过点作轴于点， ∵，∴，， ∵， ∴， ∴，即点的纵坐标为2， ∴， 解得解得，，， ∴点N的坐标为或， 综上，点N的坐标为或或． 【点睛】本题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是解答本题的关键． 4．(1) (2)，最大值为 (3)或或 【分析】（1）将，代入，求出a和b的值，即可得出抛物线表达式； （2）过点P作轴于点E，交于点E，过点A作，交y轴于点F，求出，用待定系数法求出直线的函数表达式为，进而得出直线的函数表达式为，则，通过证明，得出，推出当取最大值时，长度取最大值，设，则，得出，即可得出当时，取最大值2，代入求解即可； （3）根据题意得出，根据抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，推出抛物线向右平移2个单位长度向下平移2个单位长度得到，即可得出的函数表达式和的对称轴，再进行分类讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时． 【详解】（1）解：将，代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：过点P作轴于点E，交于点E，过点A作，交y轴于点F， 把代入得：， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 当取最大值时，长度取最大值， 设，则， ∴， ∴当时，取最大值2，此时， ∴，解得：， 综上：，最大值为．    （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线， ∴， ∴， ∴抛物线向右平移2个单位长度向下平移2个单位长度得到， ∵， ∴， ∴的对称轴为直线， 设，， ①当为对角线时， ，解得：， ∴； ②当为对角线时， ，解得：， ∴， ③当为对角线时， ，解得：， ∴， 综上：或或．    【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键． 5．(1) (2)当时，最大，且最大值为 (3)，， 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 6．(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、坐标的平移以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，解决最值问题；（2）分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 7．(1) (2)3 (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出是直角三角形，进一步得出结果； （3）先求出抛物线对称轴，在求出点D的坐标，设，分为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线和边两种情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：存在，点N的坐标为： 、， 抛物线的对称轴为， 点D和点C关于抛物线对称轴对称，， ， 设， 当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，则四边形为平行四边形， ，解得：， 此时，； 当为以A、D、M、N为顶点的平行四边形的边时，则四边形为平行四边形或四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时： ， 解得：， 此时，； 当四边形为平行四边形时， ， 解得：， 此时，点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或或，使得A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 8．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式，根据平移的性质得出抛物线的函数表达式； （2）令，得出，，由平移可得，，设点的纵坐标为，当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点，点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形，据此，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得． 抛物线的函数表达式为， 将抛物线向右平移2个单位得到抛物线， 抛物线的函数表达式为．    （2）令，则，解得，， ，，由平移可得，， ， 点在轴的同侧， 为平行四边形的边， ，． 设点的纵坐标为， 以点为顶点的四边形是面积为4的平行四边形， ，， 当点都在轴的上方时，点只能在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 当点都在轴的下方时，点在点的左侧，由题可得将点向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点， ，则， 解得，， ，． 点在点的左侧，不存在面积为4的平行四边形， 综上，点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查特殊四边形的存在性问题，平移的性质，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识，注意分类讨论． 9．(1) (2) (3)或． 【分析】（1）将点A，点B坐标，利用对称性可求抛物线的对称轴； （2）先求出直线解析式，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标； （3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：点，点， 直线解析式为， 当时，， 点， 点位于的中点， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立方程组可得：， 解得：或（舍去）， 点，； （3）解：若为边， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， 点与点重合， ，， ，， ， ； 若为对角线， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 设点，则点， ， ， ， （舍去），， ； 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 10．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式． （2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标． （3）根据题意可得，以的关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得 ， 把代入，得 ，解得， 抛物线得解析式为； （2）解：由（1）得：， 如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，   轴， ， ， 即， ， 设D点的坐标为 ，则 ， ，， ∴ 解得（舍去），， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：如图，    ∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设 ， ， 解得 ， 点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大． 11．(1) (2)； (3)存在，或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和中线定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为，， ∵，且点B在x的正半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线经过点B， ∴， 解得：（舍去），， ∴抛物线解析式为； （2）连接，过点M作平行于y轴，交于点D，    设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴，点， ， ∴， ∵， ∴当时，． （3）有两个位置满足条件，此时P为或． 设点，点， 由抛物线的表达式知，点， 而点A、C的坐标分别为、， ①当是边时， 点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点G，同样，点P（Q）向右平移2个单位向下平移4个单位得到点Q（P）， 故或， 解得或1（舍去1）， 故点P的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点公式得：，解得（舍去）； 综上，点P的坐标为或． 12．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)存在， (3)点坐标为，面积的最大值是 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想思想解决问题是本题的关键． （1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解； （2）先求出点坐标和点坐标，则，点在轴下方，四边形为平行四边形，则； （3）如图，作轴交直线于点，设，则，可由，得到的表达式，利用二次函数性质可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ， ， 抛物线的解析式为， 直线经过、两点， ， 解得 ， 直线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， 如图，点在轴下方，四边形为平行四边形，则，    设，则， ， ， 解得：，舍去， ； （3）解：如图，作轴交直线于点，    设，则， ， ， 当时，面积的最大值是， 此时点坐标为 13．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 14．(1) (2)存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或． (3)最大值，D的坐标为 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点； （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，证明，得到，即，即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ 把，代入抛物线解析式得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 设，， 分三种情况考虑： ①当与为对角线时，由，， 得：， 解得：（舍去）， ∴； ②当与为对角线时， 得：， 解得：（舍去）， ∴； ③当与为对角线时， 得：， 解得：，， ∴或； 综上，存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或． （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值， 此时点D的坐标为． 15．(1) (2)； 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； （2）如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$