精品解析：广东省深圳市南山区第二外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的图像的顶点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键．依据题意，由二次函数为，其顶点为，从而可以判断得解． 【详解】解：由题意，二次函数为， 顶点为． 故选：D． 3. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 本题中已知中的角、，利用即可解答． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故选：C． 4. 如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 先证明，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 5. 如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 6. 小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米 A. 4.3 B. 4.1 C. 4 D. 3.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理可得（米），最后根据，利用关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米， 在中，， ∴设米，则米， 米， ， ， ， 解得：， 米， 米， ∴秋千顶与地面距离为4.3米， 故选：A． 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，根据所给二次函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及抛物线上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， ∴，故A选项不符合题意； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，则 ∴，故B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴时的函数值与时的函数值相等， 由函数图象可知，时函数值小于零， ∴时函数值也小于零，即，故C选项符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴即，故D选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，利用反比例函数的性质得OA=OB，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，利用正切的定义得到，再证明Rt△OCM∽Rt△OAN，利用相似的性质得，然后根据k的几何意义即可求k的值． 【详解】解：连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图， ∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点， ∴点A、点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∵CA=CB， ∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，tan∠CAO=， ∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°， ∴∠COM=∠OAN， ∴Rt△OCM∽Rt△OAN， ∴， 而， ∴S△CMO=6， ∵|k|=6，而k＜0， ∴k=-12． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象与几何图形结合，注意掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数表达式是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将函数的图象向左平移3个单位长度后， 所得函数的表达式为再将所得函数图象向下平移5个单位长度后， 得到的图象的函数表达式是， 将展开： ， ， ， 即． 故答案为：或． 11. 在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，已知，点P是对角线上的一个动点，，连接，，当周长最小时，点P的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、求一次函数的解析式以及交点问题等知识，如图连接，，分别交于、，利用菱形的性质分别求出直线解析式和直线解析式，从而求出点的坐标，解题的关键是正确找到点位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标． 【详解】解：如图连接，分别交于G、P， 由菱形性质可知A、C关于直线对称，G为的中点，，， 此时最短，即周长最小， ， ， ， ， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， ，， ， 同理可求出直线解析式为， 联立得，， 解得， ， 点P的坐标为． 故答案为：． 12. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， （米）， 在中，． ， （米）， （米）． 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算； （2）整理后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 整理得，即， 解得：，． 15. 2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； （2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； （3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 【答案】（1）40，15 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值； （2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得； （3）将三位男同学分别记为，一位女同学记为，先画出树状图，从而可得从四位同学（三男一女）中任选两位同学的所有等可能的结果，再找出选中两男的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：参加这次调查的学生人数为（人）， 则， 所以， 故答案为：40，15． 【小问2详解】 解：， 即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：将三位男同学分别记为，一位女同学记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，从四位同学（三男一女）中任选两位同学共有12种等可能的结果，其中，选中两男的结果有6种， 所以选中两男的概率为， 答：选中两男的概率为． 16. 如图，四边形是矩形，连接对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）解：如图所示，即为的垂直平分线． （2）证明：∵为的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴∠AEF=∠CFE， ∴． ∴， ∴． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点即可； （2）由（1）易得，，，进而可证，则问题得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键． 17. 抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. （1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； （2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值． （1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可； （2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可． 【小问1详解】 解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每日获的利润为元， 由题意可得： ， 整理得：， ， 当时，最大，最大值为720， 当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元． 18. 遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱AP垂直于地面AB，DQ，DG，CF分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，CE，CF为伞体支架，且，测量得到， 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 太阳光线与地面的夹角度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． （1）如图1，当中午12：00太阳光线与地面垂直时，地面影子AB的长约为______． （2）如图2，请你求出下午14：00时伞体在地面上留下的影子BK的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 【答案】（1）3.9 （2）下午时的伞体在地面上留下的影子的长约为 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质和等腰三角形的性质，以及利用三角函数求线段长，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先证明四边形是矩形和三角形是等腰三角形，再根据三角函数求解即可； （2）过点K作于点H，先证明四边形是矩形，再根据三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：垂直于地面，当中午太阳光线与地面垂直， 四边形是矩形， ， ， 三角形是等腰三角形， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点K作于点H， 根据题意可知，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳， 四边形是矩形， ，， 由（1）得， ， 在中，， 下午时的伞体在地面上留下的影子的长约为． 19. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． 【独立思考】 （1）求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】 （2）勤学小组突发奇想，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E在线段上时，连接，交于点K．①四边形的形状是______，直接写出结果 ②请判断线段与线段的数量关系______，并加以证明； 【问题解决】 （3）善思小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，如图3，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，则线段的长______．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵在等腰中，，在等腰中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． （2）①矩形； ②，证明如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． （3） 【解析】 【分析】（1）先证出，再证出，，则可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可得证； （2）①先根据旋转的性质可得点在上，则可得，再根据矩形的判定即可得； ②连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据勾股定理即可得； （3）设与交于点，先证出垂直平分，再根据等腰直角三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）略 （2）解：①∵在等腰和等腰中，，， ∴，，，， ∵点在线段上，且， ∴点在上， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． ②略 （3）解：如图，设与交于点， ∵平行四边形为菱形，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【解析】 【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式; (2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论； （3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可. 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+． 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为； （3）设点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC==|m|，QO=． △QOC为等腰三角形分三种情况： ①当OC=QC时，3=|m|， 解得：m=±， 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）； ②当OC=QO时，3=， 解得：m=3或m=0（舍去）， 此时点Q的坐标为（3，0）； ③当QC=QO时，有|m|=， 解得：m=， 此时点Q的坐标为（，﹣）． 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 二次函数的图像的顶点的坐标为（） A. B. C. D. 3. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，于，若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 5. 如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米 A. 4.3 B. 4.1 C. 4 D. 3.8 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知二次函数，则______． 10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数表达式是___________． 11. 在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，已知，点P是对角线上的一个动点，，连接，，当周长最小时，点P的坐标为_____． 12. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； （2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； （3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 16. 如图，四边形是矩形，连接对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 17. 抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. （1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； （2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 18. 遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱AP垂直于地面AB，DQ，DG，CF分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，CE，CF为伞体支架，且，测量得到， 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 太阳光线与地面的夹角度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． （1）如图1，当中午12：00太阳光线与地面垂直时，地面影子AB的长约为______． （2）如图2，请你求出下午14：00时伞体在地面上留下的影子BK的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 19. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在等腰中，，点E在上（且不与点A、C重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． 【独立思考】 （1）求证：是等腰直角三角形； 【实践探究】 （2）勤学小组突发奇想，将绕点C逆时针旋转，如图2，当点E在线段上时，连接，交于点K．①四边形的形状是______，直接写出结果 ②请判断线段与线段的数量关系______，并加以证明； 【问题解决】 （3）善思小组受此启发，将绕点C继续逆时针旋转，如图3，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，则线段的长______．请你思考此问题，直接写出结果． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $