精品解析：河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷

河南省高一考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第二册第六章至第七章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两个不共线的向量，且向量，同向，则的最小值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 7. 某渔船由地出发向南航行了2n mile到达地，然后由地向东航行了2n mile到达地，再从地向北偏东航行了n mile到达地，则地与地之间的距离为（ ） A. n mile B. n mile C. n mile D. n mile 8. 已知圆的半径为4，弦，D为圆上一动点，则的最小值为（ ） A. -12 B. -8 C. -6 D. -4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 定义：是与向量，，在同一平面内，且与绕其起点逆时针旋转同向的向量，（为，的夹角）.规定：若或，则.设，，均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标.设，且，则__________. 14. 已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为__________，的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）求在上的投影向量的坐标. 16. 已知非零向量，满足. （1）若，，求与的夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求； （2）若的外接圆的面积为，求及的面积. 18. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 19. 已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且. （1）求； （2）若，求的最小值； （3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省高一考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第二册第六章至第七章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的加法及减法运算求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【详解】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理易得. 【详解】因，，由正弦定理，. 故选：A. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参. 【详解】因为，， 所以. 又，所以， 解得或. 故选：C. 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与和、差角的正弦公式将题设等式化成，再根据三角形的内角范围推得，借助于倍角公式计算即得. 【详解】由和正弦定理， 得， 整理得. 因为，所以. 又，所以或， 由可得，此时， 而由 可得，显然不成立，故. 故选：D. 6. 已知，是两个不共线的向量，且向量，同向，则的最小值为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量同向可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由向量，同向，得，且，，则， 因此，当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 7. 某渔船由地出发向南航行了2n mile到达地，然后由地向东航行了2n mile到达地，再从地向北偏东航行了n mile到达地，则地与地之间的距离为（ ） A. n mile B. n mile C. n mile D. n mile 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出示意图，求出相关边长和夹角，利用余弦定理计算即得. 【详解】如图，由题意得，n mile，则， ，易得n mile， 在中，由余弦定理可得： n mile. 故选：A. 8. 已知圆的半径为4，弦，D为圆上一动点，则的最小值为（ ） A. -12 B. -8 C. -6 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合圆的性质，判断当与重合时，取得最小值，再根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图，作圆的直径，过作的延长线，垂足为. 而可以看作在上的投影向量与的数量积， 由圆的性质知，当与重合时，取得最小值. 因 ，可得，则， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的实部为25 B. 若，则的虚部为 C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理来判断角的取值的个数决定三角形的解的个数，也可利用大边对大角来确定角的情况，也可利用余弦定理来判断解的个数. 【详解】对于选项A，由， 因为，所以只能为锐角，故有唯一解； 对于选项B，由， 所以或，所以有两解； 对于选项C，因为，所以，显然不符合三角形内角和为，所以无解； 对于选项D，，，，符合边长的关系，且有唯一解. 故选：AD. 11. 定义：是与向量，，在同一平面内，且与绕其起点逆时针旋转同向的向量，（为，的夹角）.规定：若或，则.设，，均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据的计算公式，即可结合选项逐一求解ABD，据反例即可求解C. 【详解】由题可知，，，则，A正确. ，B正确. 取，，，则，从而， 而，，C不正确. ，则或，即或， 由题可知，所以当时，满足，故D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数相等得出，再应用模长公式计算即可. 【详解】由题意得得所以. 故答案为：. 13. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标.设，且，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】先计算出，再根据向量在坐标系中的坐标的定义， 利用向量数量积的运算律建立方程求解即得. 【详解】由题意，， 由，可得， 则， 即，解得或. 故答案为：3或. 14. 已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为__________，的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据锐角三角形结合已知条件计算求解角的范围；应用正弦定理及两角和差公式结合角的范围求出值域即可. 【详解】由题意得得， 则. 由，得， ，即的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的相等满足的坐标关系即可求解， （2）根据投影向量的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设，由题意得，， 由可得得 故点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 所以在上的投影向量的坐标为. 16. 已知非零向量，满足. （1）若，，求与的夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据，结合，即可根据分式不等式的求解得解. 【小问1详解】 设，的夹角为，由得， 得， 得，即与的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得，得. 因为，所以. 易得，则 得，即的取值范围为. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求； （2）若的外接圆的面积为，求及的面积. 【答案】（1）或. （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，再根据角的范围求出角； （2）先求出三角形外接圆半径，利用正弦定理求出边，再由余弦定理求得边，代入三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 则， 因为，所以或. 【小问2详解】 设的外接圆的半径为，由，解得. 由正弦定理，，得. 因为，所以，由（1）可得. 由余弦定理，，得， 解得. 故的面积为. 18. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由图， ； . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 19. 已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且. （1）求； （2）若，求的最小值； （3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心. 【答案】（1） （2）4 （3） 设，，，，. 在和中，由正弦定理得，， 可得. 在中，由正弦定理得. 又由，得， 则， 得. 因为，所以，即. 由，可得 在中，， 在和中，由正弦定理得， 得， 故， 即 化简得，即， 则是的角平分线，故是的内心. 【解析】 【分析】（1）（方法一）利用三角降幂公式与和差化积公式，以及和差的余弦公式即可求得；（方法二）由正、余弦定理与和角公式化简题设条件，推得，求出的值即得； （2）由三角形面积相等推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得； （3）设，，，，，利用正弦定理，结合题设条件，经推理化简得到即可证明结论. 【小问1详解】 （方法一）由题意得， 得 ， 则. 由，得， 即 整理得. 由，得， 因，则. （方法二）由正余弦定理得， 得.因， 两式相加，可得，因， 则， 得 . 因为钝角三角形，则，得，因，则. 【小问2详解】 由（1）结论和题意得. 由，可得 ， 化简得，即. 因为， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $