期中真题必刷压轴63题（16个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷压轴63题（16个考点专练） 考点一 数据的收集、整理、描述与概率的解答大题（共3小题） 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某品牌汽车月份至月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下． 注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率，例如，月份的销售量为万辆，月份的销售量为万辆，那么月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． (1)下列说法正确的是___________． A．月份的销售量为万辆 B．月份至月份销售的月增量的平均数为万辆 C． 月份的销售量最大 D．月份销售的月增长率最大 (2)月份的销售量比月份增加了多少万辆？ (3)月份至月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我市八年级有3000名学生参加网上“爱我中华知识竞赛”活动，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计． 成绩x（分） 频数 频率 10 a 16 0.08 b 0.20 62 c 72 0.36    请根据不完整的表格，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)补全如图所示的频数分布直方图； (3)若将得分转化为等级，规定评为“D”，评为“C”，评为“B”，评为“A”，并按等级“A”、“B”、“C”、“D”将这次调查的结果绘制成扇形统计图，求等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 考点二 图形的旋转压轴题（共3小题） 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．    (1)当时，__________； (2)当时，___________； (3)求证：； (4)如图，过点作于点，_________； (5)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）（问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． (2)在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 考点三 中心对称压轴题（共3小题） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)在图中作出绕点逆时针旋转后的，点、、分别与点对应； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是_____． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； (2)是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 9．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，． (1)画，使它与关于点C成中心对称； (2)平移，使点A的对应点坐标为画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ． 考点四 平行四边形的判定与性质压轴题（共5小题） 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 11．（23-24八年级下·江苏常州·期中）【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，试求的长度． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，    (1)探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，则与相等吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，则与平行六边形的面积之比是 　 　． 考点五 矩形的判定与性质压轴题（共5小题） 15．（23-24八年级下·江苏南京·期中）点E、F分别在正方形的边、AB所在直线上，点M在直线上，且，，直线，垂足分别是E、N． (1)当点E在边上时，如图①，求证：； (2)当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动． (1)当点Q与点B重合时如图②，求的长； (2)在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． (3)在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围． 17．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”． (1)如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）； (2)如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)当时， _______． (2)当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)当旋转到时，求点G到直线CD的距离． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）【问题提出】 学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形． 第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形． 第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明． 考点六 菱形的判定与性质压轴题（共4小题） 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）【方法回顾】 如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点，求证：：    【问题解决】 如图2，菱形的边长为，过点作一条直线交边于点，且，点是上一点，且，过点作，与直线交于点，若，求的长：    【思维拓展】 如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接、，若的面积与的面积之差为，则的值为________．（用含的式子表示）      23．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 考点七 正方形的判定与性质压轴题（共4小题） 24．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 25．（23-24八年级下·江苏常州·期中）在矩形中，，P是边上的一个动点，将沿直线翻折，点B的对应点为E，直线与直线交于点F．    (1)如图①，点F在的延长线上时，判断与的数量关系，并证明； (2)当点E到直线的距离等于3时（边足够长），求的长； (3)若，当点P、E、D在同一条直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到C重合时停止，运动过程中，的最小值为 ___________，点F运动的路程是 ___________． 26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，四边形是正方形，绕点D旋转，，，连接． (1)如图1，线段与线段的关系是______，并说明理由；已知直线与相交于点G． (2)如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； (3)如图3，连接，若，，在旋转的过程中，线段长度的最小值是______． 27．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 考点八 三角形的中位线压轴题（共4小题） 28．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 29．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由． 30．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：    （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长：    ②如图3，若，且，求四边形的面积．    31．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒． (1)当点H与点D重合时，　　； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为　　； ②当时，求出t的值． 考点九 （特殊）平行四边形存在性问题（共4小题） 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中））如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接，设点运动的时间为． (1)的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)当时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，判断线段、与之间的数量关系，并证明你的结论． 34．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； (3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 36．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 考点十 平行四边形折叠类压轴题（共4小题） 37．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 38．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点且，点是线段上一动点（不与端点重合，可以与端点重合），将沿折叠，得到点的对称点为点，连接． (1)若点在边中点时，则的长为______； (2)若为直角三角形时，求的长； (3)若绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．若为等腰三角形时，求的长． 39．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）【实践操作】 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点落在矩形的边上（如图）当点与点重合时，_____ ，当点与点重合时， ______ ； 【深入探究】 （2）若点落在矩形的内部（如图），且点、分别在、边上，的最小值是______ ； 【拓展延伸】 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　   ) A． B． C． D． 考点十一 平行四边形最值类压轴题（共4小题） 41．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是 ． 42．（23-24八年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值．    43．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 44．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，一次函数过点和点，将线段绕点顺时针得到线段，连接，点在线段上，点在线段上，且，当最小值为时，则的值为 ． 考点十二 平行四边形函数类压轴题（共4小题） 45．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是y轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．已知点、，点在一次函数的图像上．若在线段上存在点的和谐，则实数a的取值范围是________． 46．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成探究任务 材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，这样就可以把代入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，点到经过原点的直线的距离的长为8，求点到直线的距离的长； (2)如图3，当时，点在第一象限内，是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 47．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 考点十三 分式的化简求值压轴题（共4小题） 48．（23-24八年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 49．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）已知实数，，，满足，且，则代数式的值等于 ． 50．（23-24八年级下·吉林长春·期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 51．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 考点十四 分式方程应用压轴题（共4小题） 52．（23-24八年级下·河南郑州·期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 53．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 54．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 55．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种绿色袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种绿色袋装食品每袋优惠元出售，乙种绿色袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 考点十五 根据分式方程解情况求参数（共4小题） 56．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 57．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 58．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 59．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 考点十六 分式的新定义问题（共4小题） 60．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 61．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 63．（23-24八年级下·江苏南通·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”. （1）分式与 互为“5阶分式”； （2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值. 22 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴63题（16个考点专练） 考点一 数据的收集、整理、描述与概率的解答大题（共3小题） 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某品牌汽车月份至月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下． 注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率，例如，月份的销售量为万辆，月份的销售量为万辆，那么月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． (1)下列说法正确的是___________． A．月份的销售量为万辆 B．月份至月份销售的月增量的平均数为万辆 C． 月份的销售量最大 D．月份销售的月增长率最大 (2)月份的销售量比月份增加了多少万辆？ (3)月份至月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 【答案】(1)B (2)增加了万辆 (3)不同意这种观点，理由见解析 【分析】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可； （2）设月份销售量为，求出月份的销售量，作差即可； （3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：A中，∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道月份的销售量， ∴无法得到月份的销售量，故本题错误，不合题意； B中，∵， ∴月份至月份销售的月增量的平均数为万辆，故本题正确，符合题意； C中，∵月份的月增量为， ∴月份的销售量小于月份的销售量， 即月份的销售量不是最大，故本题错误，不合题意； D中，∵不知道月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率， ∴不能判断月份销售的月增长率最大，故本题错误，不合题意， 故本题选：B； （2）解：设月份销售量为， 由题意可得：， ∴， ∴增加了万辆； （3）解：不同意这种观点，理由如下： 月增长量为正，即当月销售量比上月增加， 月增长量为负，即当月销售量比上月减少， 月份增长量为，即月份相比月份销售量增加， 月份增长量为，即月份相比月份销售量减少， 即销售量不是持续减少． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我市八年级有3000名学生参加网上“爱我中华知识竞赛”活动，为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计． 成绩x（分） 频数 频率 10 a 16 0.08 b 0.20 62 c 72 0.36    请根据不完整的表格，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)补全如图所示的频数分布直方图； (3)若将得分转化为等级，规定评为“D”，评为“C”，评为“B”，评为“A”，并按等级“A”、“B”、“C”、“D”将这次调查的结果绘制成扇形统计图，求等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数为 【分析】本题考查频数与频率，频数分布直方图，条形统计图，扇形的圆心角： （1）先求出调查的总人数，再根据频数与频率的关系求解即可； （2）根据频数补全频数分布直方图即可； （3）用360度乘以“B”所占的百分比即可． 【详解】（1）调查总人数为 （人）， ， 故答案为： ，，； （2）补全频数分布直方图如下：    （3） 答：等级为“B”的扇形所对应的圆心角度数为． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 考点二 图形的旋转压轴题（共3小题） 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，等边三角形的边长为，是边上一动点（与不重合），是延长线上一点，且，交于．    (1)当时，__________； (2)当时，___________； (3)求证：； (4)如图，过点作于点，_________； (5)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4) (5) 【分析】（）由三线合一即可求解； （）由等边三角形的性质及可得，即得，，再根据角之间的关系可得，即得，得到，进而得到，据此即可求解； （）作交于点，证明即可求证； （）如图，作交于点，由三线合一可得，再根据得，即得，据此即可求解； （）由旋转的性质得，，进而可证明，得到，当时，的值最小，此时的值 最小，则的值最小，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图，作交于点，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4）解：如图，作交于点，    ∵，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：∵将线段绕点顺时针旋转 得线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小，则的值最小， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）（问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． (2)在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)等边 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，所以是等边三角形； （2）知等边三角形的边长为3，求出即可； （3）类比（1），连接，由于，所以可将绕点D逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，求和的面积差即可． 【详解】（1），如图2， 绕点顺时针方向旋转，得到， ，， 为等边三角形． （2）由（1）可知，绕点顺时针方向旋转，得到， ， 四边形的面积等边三角形的面积， ，，且， ，， 在四边形中，， 绕点顺时针方向旋转，得到， ， ， 点共线， ， 则等边的高， ． （3）如图3，连接，由于， 可将绕点D逆时针方向旋转，得到， 连接，延长，作， ，绕点D逆时针方向旋转，得到， 四边形的面积等边三角形的面积三角形的面积， ， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 等边的高 ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换的性质，三角形全等的性质，勾股定理等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 考点三 中心对称压轴题（共3小题） 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)在图中作出绕点逆时针旋转后的，点、、分别与点对应； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与旋转： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）对应点连线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点的坐标为：． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； (2)是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： （3）根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为，所以和的对称中心的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 9．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，． (1)画，使它与关于点C成中心对称； (2)平移，使点A的对应点坐标为画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点即可． （2）根据的坐标变化，利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：，， 向左平移2个单位，再向下平移8个单位， 如图所示：即为所求； （3）解：将绕某一点旋转可得到， 则旋转中心的坐标P的横坐标为：，纵坐标为，即． 故答案为：． 考点四 平行四边形的判定与性质压轴题（共5小题） 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏常州·期中）【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或； (3)，理由见解析； (4)． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性。 （1）利用勾股定理的逆定理证明从而是等腰直角三角形，又因为 是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理可求得，当时，由勾股定理可求得； （3）利用证明得； （4）当时，作交直线于点H，证明四边形是凹四边形，不合题意舍去；当时，构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【详解】（1）解： ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， 因为，，， 是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得： 当时，由勾股定理得： 综上：或． 故答案为：2或4； （3）解：由题意知∶和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴． （4）解：由题意知：是等腰直角三角形，当时，如图，作交直线于点H， ，， ， ，即点H在线段上， ， ， 四边形是凹四边形，不合题意舍去； 当时， 如图， 由（3）同理得 是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 综上：． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，试求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）连接，利用证明，得出，，证出，即可得出结论； （3）过点作于点，根据点为，，三点关于点的勾股点，结合勾股定理，推出，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形是平行四边形，推出，根据勾股定理计算，设，根据，，得出方程求解，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，连接，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为，，三点关于点的勾股点； （3）解：如图，过点作于点，    ∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 【答案】观察发现：，，理由见解析；深入探究，，，理由见解析． 【分析】观察发现：证明，即可求解； 深入探究：如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于点，证明四边形是平行四边形，推出，，在证明推出，即可求解． 【详解】观察发现：结论：，，理由如下： 如图1，设与交于点，    ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴； 深入探究：结论：，，理由：    如图2，延长到，使得，连接，，延长交于点， ∵，都为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，    (1)探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，则与相等吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，则与平行六边形的面积之比是 　 　． 【答案】(1)，证明见解析 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点M，延长交于点N，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点E作的平行线，过点C作的平行线，两条线交于点Q，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：， 证明：连接，如图1，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，延长交于点M，延长交于点N，    ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图3，过点E作的平行线，过点C作的平行线，两条线交于点Q，连接，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键， 考点五 矩形的判定与性质压轴题（共5小题） 15．（23-24八年级下·江苏南京·期中）点E、F分别在正方形的边、AB所在直线上，点M在直线上，且，，直线，垂足分别是E、N． (1)当点E在边上时，如图①，求证：； (2)当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）当点在边上时, 如图①, 过点作于点，先根据证明, 则可得, 再证明四边形是矩形，则可得, 由此可得； （2）当点在的延长线上时，如图②，延长, 过点作的延长线于点,则四边形是矩形，由此可得，再根据证明, 则可得, 由此可得； 当点在的延长线上时，如图③，过点作于点, 则四边形是矩形, 则，再根据证明, 则可得, 由此可得． 【详解】（1）证明: 当点在边上时, 如图①, 过点作于点, ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴, ∴； （2）当点在的延长线上时，如图②， 延长, 过点作的延长线于点, 则四边形是矩形， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ， ， ， ， ； 当点在的延长线上时，如图③， 过点作于点, 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动． (1)当点Q与点B重合时如图②，求的长； (2)在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． (3)在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不变，9 (3) 【分析】（1）延长交于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）过点作于点，延长交于点，利用矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，这样的底与高均为定值，则结论可求； （3）在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；当点与点重合时，的长取得最大值，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论． 【详解】（1）解：当点与点重合时，延长交于点，如图， 四边形为矩形，四边形为正方形，点与点重合， ，， 四边形为矩形， ，，． ，， ， ． ． （2）解：的面积不会发生变化，的面积为9．理由： 过点作于点，延长交于点，如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 四边形为矩形，四边形为正方形， 四边形为矩形， ， ， 的底为，边上的高为， 的面积不会发生变化，的面积为； （3）解：在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为； 当点与点重合时，的长取得最大值． 如图，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． ，，， 四边形为矩形， ，． ， 的长的最大值． 在点由向运动的过程中，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的变化规律，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）动态几何问题是由点动、线动、形动而构成的，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形．有时借助特殊的四边形常常能帮助我们化“动”为“静”． (1)如图1，点P为矩形对角线上一动点，过点P作，分别交于点E、F．若的面积为，的面积为，则与的数量关系是______（填“>”、“<”或“=”）； (2)如图2，在正方形中，E为边上一动点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，交于点G，交于点H，可得四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，再根据矩形的性质可得，即可求解； （2）过点B作分别交于点G，F，证明即可； （3）将点B绕点E顺时针旋转得H，连接，可得是等边三角形，再证明，随着F在上运动，G的运动路径始终与定直线垂直，所以当时，取得最小值，此时，作于I，则四边形是矩形即可求解． 【详解】（1）过点P作，交于点G，交于点H， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，． 过点B作分别交于点G，F． ∴四边形为平行四边形． ∴．所以，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）将点B绕点E顺时针旋转得H，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 随着F在上运动，G的运动路径始终与定直线垂直， ∴当时，取得最小值， 此时，作于I，则四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的法判定和性质等知识点，能够综合运用各个知识点是解题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)当时， _______． (2)当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)当旋转到时，求点G到直线CD的距离． 【答案】(1)8； (2)见解析； (3)1.6或14.4． 【分析】（1）如图：连接,由旋转的性质和已知条件可得，再结合可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答； （2）由旋转可得，即，然后再证可得进而得到，再结合即可证明结论； （3）①如图1，当G在直线上方，过点G作，垂足为H，过点G作，垂足为N， 过点A作，垂足为M；由勾股数可得，运用等面积法可得进而得到；再证可得，最后根据即可解答；②当G在直线下方，同①可得，再根据即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵将矩形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8． （2）解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：①如图1：当G在直线上方，过点G作，垂足为H，过点G作，垂足为N， 过点A作，垂足为M，则四边形是矩形， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图2，当G在直线下方，同理可得：， ∴， 综上，点G到直线CD的距离为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）【问题提出】 学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形． 第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形． 第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC=AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论； （2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，证明结论； （3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论． 【详解】解：（1）证明：如图①，连接BD， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴BC=AD， ∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F， 则∠E=∠F=90°． ∵∠DAB=∠BCD， ∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，AE=CF， ∵∠E=∠F=90°，BE=DF， ∴四边形EBFD是矩形， ∴ED=BF， ∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （3）如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′， 则△ABD′≌△A′BD， ∴∠A=∠A′， 而四边形A′BCD不是平行四边形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 考点六 菱形的判定与性质压轴题（共4小题） 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 【答案】(1)2；5 (2)①详见解析；② (3) (4) 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【详解】（1）解：如图1中，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； （2）①连接 四边形为矩形，    四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q    四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． （3）如图4中，    当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）, ， ∴， ∴， ∴S的最小时，x为； 故答案为： ． （4）解：如图3中，    在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 21．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． 当点P与点A重合时， ；当点E与点A重合时， ； 深入探究 （2）当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在上，射线与射线交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90，45；（2）时的菱形EPFD的边长为；（3）存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是对问题的分类讨论． （1）当点与点重合时，是的中垂线，，当点与点重合时，此时； （2）当点在上，点在上时，是的中垂线，，四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，设菱形的边长为x，则，由勾股定理得：，进而求得； （3）情况一：，设，则，则，求得；情况二，，设，则，则，求得． 【详解】（1）当点与点重合时，如图1， ∴是的中垂线， ∴， 当点与点重合时，如图2， 此时， 故答案为：90，45； （2）当点在上，点在上时，如图3， ∵是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， 当时，设菱形的边长为， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴时的菱形的边长为：； （3）存在， 情况一：如图4，连接， ∵， ∴， 设，则，则， ∵， ∴， ∴， 解得：； 情况二，如图5， ∵， ∴， 设，则，则， 则， ∴， 解得：， 综上，线段的长为：或． 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）【方法回顾】 如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点，求证：：    【问题解决】 如图2，菱形的边长为，过点作一条直线交边于点，且，点是上一点，且，过点作，与直线交于点，若，求的长：    【思维拓展】 如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接、，若的面积与的面积之差为，则的值为________．（用含的式子表示）      【答案】【方法回顾】见解析；【问题解决】；【思维拓展】． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识： 方法回顾：如图1，利用“”证明，则，然后利用得到． 问题解决：证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可． 思维拓展：如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设，，设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：方法回顾：如图1中，   四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， 问题解决：如图2中，   四边形是菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ． ， ． 思维拓展：如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，则，    设，． ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，设， ， ， ， 在中，， ∴， 在中， ∴ ． 23．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 考点七 正方形的判定与性质压轴题（共4小题） 24．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)2 (3)1或3 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）先证明得到，进而证明，即可证明四边形是正方形； （2）如图所示，作，垂足为H，证明，得到，求出，则，即点F到距离为2； （3）分点P在上和点P在得延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是正方形； （2）解：如图所示，作，垂足为H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵点P是中点， ∴， ∴， ∴点F到距离为2； （3）解：①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②点P在延长线上， 如图所示，作，垂足为H， 同理可得， 同理可证明， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，得长为1或3． 25．（23-24八年级下·江苏常州·期中）在矩形中，，P是边上的一个动点，将沿直线翻折，点B的对应点为E，直线与直线交于点F．    (1)如图①，点F在的延长线上时，判断与的数量关系，并证明； (2)当点E到直线的距离等于3时（边足够长），求的长； (3)若，当点P、E、D在同一条直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到C重合时停止，运动过程中，的最小值为 ___________，点F运动的路程是 ___________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)或10 (3)， 【分析】（1）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论； （2）如图2-1所示，当点E在矩形内部时，过点E作分别交于F、G，则四边形是矩形，由题意得，则；由翻折得的性质得，利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理得，，解方程即可；如图2-2所示，当点E在矩形外部时，过点E作于F，由折叠的性质可得，同理得到，，设，则，由勾股定理得，解方程求出，则；再证明，即可求出； （3）如图3-1所示，连接，由三角形三边的关系可知当三点共线时，有最小值，由此求解即可；如图3-2所示，在上取，连接，则四边形是正方形，故当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点从点D运动到点N，此过程中点F的运动路程为；如图3-3所示，当点P从点M运动到点C时，点F从点N运动到图3-3所示的位置，同理可得，，设，则，，在中，由勾股定理得，，求出，则整个运动过程中点F的运动路程为． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由翻折得：． ∴． ∴． （2）解：如图2-1所示，当点E在矩形内部时，过点E作分别交于F、G，则四边形是矩形， ∴，， ∵点E到直线的距离等于3， ∴， ∴； 由翻折得的性质得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；    如图2-2所示，当点E在矩形外部时，过点E作于F， 由折叠的性质可得， ∵点E到直线的距离等于3， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或10；    （3）解：如图3-1所示，连接， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值；    如图3-2所示，在上取，连接，则四边形是正方形， 当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点从点D运动到点N， ∴此过程中点F的运动路程为；    如图3-3所示，当点P从点M运动到点C时，点F从点N运动到图3-3所示的位置， 同理可得，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，整个运动过程中点F的运动路程为．    【点睛】本题是矩形折叠的综合问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，注意（2）有两种情况，难点是（3）中确定点F的运动路径是由D到N再到F． 26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，四边形是正方形，绕点D旋转，，，连接． (1)如图1，线段与线段的关系是______，并说明理由；已知直线与相交于点G． (2)如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； (3)如图3，连接，若，，在旋转的过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】(1)垂直且相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据证明，推出，，据此即可求解； （2）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （3）作交于点H，作于点M，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵，． ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， 设直线与、相交于点G、Ｉ． ∴， ∴，即， ∴，；即线段与线段的关系是垂直且相等， 故答案为：垂直且相等； （2）证明：由（1）知， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴矩形是正方形； （3）解：作交于点H，作于点M， ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴最大时，最小，的最大值． ∴的最小值的最小值． 由（1）可知，是等腰直角三角形， ∴的最小值． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证； ②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明； （2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解． 【详解】（1）①如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴,， ∴， ∵为的中点， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②， 证明：如图，延长交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵落在对角线的延长线上， ∴， ∴， ∴在的延长线上， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， , ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， 设，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴当在上时，如图，此时最大，， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴ 当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形， 此时， 综上所述，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 考点八 三角形的中位线压轴题（共4小题） 28．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【分析】（1）利用证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可； （2）延长、相交于D，类似（1）的方法探究线段、、之间关系即可； （3）延长、相交于F，利用证明，得出，利用平行线的性质，等角对等边以及余角的性质可证明，利用三角形中位线定理求，利用勾股定理求出即可； （4）过D作于N，交的延长线于M，利用等腰直角三角形的判断与性质可得出，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 29．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形为正方形，理由见解析． 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 30．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：    （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长：    ②如图3，若，且，求四边形的面积．    【答案】（1）见解析；（2）①四边形的周长为；②． 【分析】（1）运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （2）①运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；②由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图①，、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （2）①：如图②，、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； ②：如图③，、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 31．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒． (1)当点H与点D重合时，　　； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为　　； ②当时，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①4；②3 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得，，，，，点与点重合时，，有，即得； （2）①当在边上，即时，根据三角形的面积公式即可解答；②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案； （3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，可得到； ②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，故，即得． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 当点与点重合时，， ， ； （2）解：①当在边上，即时，如图：    矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积， ， ②当在边延长线上，即时， 设交于，如图：    在中，，， ，， ， 矩形与菱形重叠部分图形的面积， 综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积， （3）解：①当时，如图： 过点A作，交延长线于点T， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形是矩形， 是的中点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 又是中点，， 与重合，此时，与重合， ； 故答案为：4； ②当时，延长交于，如图：   ， ， 是的中点， 是的中位线， 是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 考点九 （特殊）平行四边形存在性问题（共4小题） 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20 (2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）过点D作交于点E，证出四边形为矩形，得出，，根据勾股定理即可求出． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在上运动，即时，运用求解，和当点P在上运动，即时，运用即可求解； （3）分为①当时，②当时，③当时，④当时，分别画图求解即可计算； 【详解】（1）解：过点D作交于点E， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时， 则， ； 如图2，当点P在上运动，即时， 则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形， ， 此时； ④当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中考常考题． 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中））如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接，设点运动的时间为． (1)的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）； (2)当时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，判断线段、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)存在，点M的坐标为或或 (3)．证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，则可得出答案； （2）求出点，点的坐标，分三种情况，由平行四边形的性质以及点的平移可得出答案； （3）延长至，使，证明，得出，，证明，得出． 【详解】（1）解：由题意知， ， 四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：当时， ， ，四边形为正方形， ，， 由（1）知， ， ， 若为平行四边形的对角线，，， 可得点P向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点D， ∴点向右平移3个单位，向上平移1个单位得到， ∴ 若为平行四边形的对角线，，，同理可求 ， 若为平行四边形的对角线，，，同理可求 ， 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：． 证明：延长至，使， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的平移，平行四边形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 34．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； (3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； （3）解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ； (2)如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （3）有5种情形，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，， ∴， ∴ ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴点E的坐标为，， 如图，过点D作于点L，交于点K，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当点与点G重合时，点与点A重合时，四边形是平行四边形， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点D到x轴的距离为，点G到x轴的距离为， ∴， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时，此时点与G重合，且，则； 当四边形是平行四边形时，此时点与C重合，且， 即线段向右平移8个单位得到线段，则点是点0的对应点，点是点D的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形是平行四边形时，此时点与A重合，，且，即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点，点是点的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形是平行四边形时，且， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点是点的对应点， ∵， ∴，即； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，翻折变换和平移等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 36．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）或或或（任写一个即可） (2)①15；②，理由见解析 （3）或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，，即可求解； （2）①由“”可证，可得； ②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）对折矩形纸片， ，， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）①由（1）可知， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， 故答案为：15； ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点十 平行四边形折叠类压轴题（共4小题） 37．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①，；② (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【详解】（1）解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 38．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点且，点是线段上一动点（不与端点重合，可以与端点重合），将沿折叠，得到点的对称点为点，连接． (1)若点在边中点时，则的长为______； (2)若为直角三角形时，求的长； (3)若绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．若为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）连接，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理，证明,进而勾股定理，即可求解； （2）分，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解； （3）分，时，分别画出图形，结合（2）的结论，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形，，，点在边中点时，则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴ 又 ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当时， ∵ ∴三点共线， ∵ ∴ ∴ 此时， 当，如图所示， ∵ ∴ 又 ∴ ∴四边形是矩形，则在上， ∵折叠， ∴ ∴ 在中，， 综上所述，的长为或 （3）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵ ∴， ∵ ∴不存在的情形 分两种情况讨论， 如图所示，当时，过点作于点， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ 由（2）可得 当时，如图所示， ∴ ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， 由（2）可得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）【实践操作】 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点落在矩形的边上（如图）当点与点重合时，_____ ，当点与点重合时， ______ ； 【深入探究】 （2）若点落在矩形的内部（如图），且点、分别在、边上，的最小值是______ ； 【拓展延伸】 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90；45 （2）2 （3）存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或 【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则平分，即可得出答案； （2）当F与C重合，点P在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，即可得出结果； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 当点与点重合时，是的中垂线， ， 当点与点重合时，如图， 则平分， 此时，， 故答案为：，； （2）若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上，如图， 设，则， 当，，在一直线上时，最小，最小值为， 当最大为时，最小值为， 故答案为：； （3）分情况讨论： 如图，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， 设， 则，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； 如图， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， 设， 则，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； 综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值． 【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G ∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点 ∴BE=2 ∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60° ∵点F是点E关于AC的对称点 ∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上 则CF=CE=2 ∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2 ∴∠BEG=60° ∴在Rt△BEG中，EG=1，BG= ∴FG=1+2=3 ∴在Rt△BFG中，BF==2 根据分析可知，BF=PB+PE ∴△PBE的周长=2 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长． 考点十一 平行四边形最值类压轴题（共4小题） 41．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是 ． 【答案】 【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=， ∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45° 设EF与AD交点为O，O是AD的中点, ∴AO=3 以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小， 即△AOE是直角三角形， ∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=OA=， ∴EF=2OE= 42．（23-24八年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值．    【答案】（1）①；②13；（2）17 【分析】（1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：（1）①由勾股定理得，， ， ， 故答案为：； ②当、、三点共线时，的值最小为； （2）如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，设，则的长即为代数式 的最小值．    过点作交的延长线于点，得矩形， 则，，， 所以， 即的最小值17． 【点睛】本题考查了求代数式的最值，数形结合的思想，勾股定理，在求形如的式子的最小值，关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 43．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的长为1或3； (3) 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到得到； （2）在中，求出，，根据全等三角形的性质得到，求出，设，则，利用勾股定理得到，求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，得是等边三角形， ，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，连接，得垂直平分，求出，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求出，得到，，由此求出，得到值最小． 【详解】（1）证明：把绕点A逆时针旋转，得到， ∴ ∵ ∴， ∴ （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴的长为1或3； （3）如图3-1，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接    ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小， 此时，如图3-2，连接，      ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴ ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∵ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴值最小为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 44．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，一次函数过点和点，将线段绕点顺时针得到线段，连接，点在线段上，点在线段上，且，当最小值为时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质，旋转的性质；过作，使，连接，，由旋转可得，，即可得到，，在证明，得到，推出，当在上时取最小值，最小值，解得，根据距离公式列方程求出，得到，最后把，代入计算即可． 【详解】解：过作，使，连接，， ∵将线段绕点顺时针得到线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时取最小值，最小值， ∴， ∵点和点， ∴， 解得或， ∵由图形可知在第一象限， ∴， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， 故答案为：． 考点十二 平行四边形函数类压轴题（共4小题） 45．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是y轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．已知点、，点在一次函数的图像上．若在线段上存在点的和谐，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，在图2中，、为和谐点，设，为等腰直角三角形，分别利用三角形全等求出两图中的的值即可得出最后结论． 【详解】解：如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于， ， ，， ， ， ， ，， ， 在图2中，、为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换的题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转后线段长度不变，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 46．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成探究任务 材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，这样就可以把代入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，点到经过原点的直线的距离的长为8，求点到直线的距离的长； (2)如图3，当时，点在第一象限内，是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)6 (2)点的坐标为，或 (3) 【分析】（1）利用“型全等”可证明，得出，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）分当，时，当，时，当，时，分别画图讨论即可； （3）设，如图，过作轴于，过作于，利用“型全等”可证明，可求，利用材料二中的方法求出所在直线对应的函数关系式，则当与直线垂直时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， 当时，，解得：，则， ， ， ， ， ， ， ， 即点到直线的距离的长6 ； （2）解：当时，则， 当时，，则， 当时，，解得：，则， ， 当，时，如图，过作轴于， 同理可证， ， ； 当，时，如图，过作轴于， 同理可证， ， ； 当，时，如图，过作轴于，过作轴于， ∴四边形是矩形， ， ∴， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ； 综上，点的坐标为，或； （3）解：设， 如图，过作轴于，过作于， ∵旋转， ， ， ， ， ， 令， ， ∴点在直线上运动， 当与直线垂直时，最小， 设与轴交于轴交于， 当时，， ， 当时，，解得：， ， ， ， ∴设上的高为， 则， ， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，旋转的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键． 47．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或或或 【分析】（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标； （2）先求出，根据，得，则有以下两种情况：①当点P在点A的右侧时，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标；②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，，，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案； （3）先求出点，点，则，，依题意有以下6中情况：①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标；⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出所有满足条件的点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：；； （2）解：在x轴上存在点P，使得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： 是的一个外角， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，如图2所示： ，，， 是的一个外角， ， ， ， ， 点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：对于，当时，，当时，， 点C的坐标为，点D的坐标为， ，， 当为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，如图3所示： ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，如图4所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，如图5所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，如图6所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，如图7所示： ， 四边形是矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； ⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，如图8所示： 四边形为矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为或或或或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 考点十三 分式的化简求值压轴题（共4小题） 48．（23-24八年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】D 【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 即原式的值为2030． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的目的． 49．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）已知实数，，，满足，且，则代数式的值等于 ． 【答案】/ 【分析】根据，可以先将所求式子化简，然后根据，可以得到∶，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解∶∵， ∴，，， ∵， 故答案为∶． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 50．（23-24八年级下·吉林长春·期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵ ∴，即：， ∴ 则： ∴ 故答案为：； （3） 由分母，可设， 则： 对于任意上述等式成立， ∴，解得，， ∴ 又∵，即： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 51．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 考点十四 分式方程应用压轴题（共4小题） 52．（23-24八年级下·河南郑州·期末）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； (2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个； (3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； （2）解：由题意可得， 且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为：或， ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种个，乙种个； 方案二：购买甲种个，乙种个； （3）解：由（2）得， 方案一费用为：（元）， 方案二费用为： （元）， ∵， ∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式． 53．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 54．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 【答案】(1)①90；②105 (2)①50；②；图像见解析 【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； （2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=90， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=105， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度； （2）解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， 解得x=50， 经检验：x=50是分式方程的根， 即：a=50； ②当时，点P(50，150)在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y=3x， 当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ∴， 即函数解析式为， 函数图像如图： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 55．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种绿色袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种绿色袋装食品每袋优惠元出售，乙种绿色袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答； （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答； （3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）依题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解． （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得， ， 解得：. （3）设总利润为W，则 ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋； ②当时，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论． 考点十五 根据分式方程解情况求参数（共4小题） 56．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 57．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和． 【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为， 所以， 解得； 因为， 解得， 因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根， 所以且， 解得且， 所以且， 因为非正整数解， 所以a的值为， 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键． 58．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为整数， ∴是2的倍数，即a是偶数． 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 59．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 考点十六 分式的新定义问题（共4小题） 60．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 61．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 63．（23-24八年级下·江苏南通·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”. （1）分式与 互为“5阶分式”； （2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解. 【详解】（1）依题意，所求分式为A，即：， ∴； （2）∵正数互为倒数 ∴，即 ∴ ∴分式与互为“2阶分式”； （3）由题意得，等式两边同乘 化简得： 即： ∴，即 ∴或0 ∵为正数 ∴. 【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键. 2 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$