精品解析：广东省东莞市南城区宏远、丰泰、御花苑2024—2025学年下学期九年级第一次模拟考试 数学试卷

2024—2025学年度第二学期初三第一次模拟考试 数学试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，且，则的值为（ ） A. 5或1 B. 或 C. 5或 D. 或1 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 4. 将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如果关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一组数据5，4，，6，7的平均数为5，则这组数据的方差为 ________． 12. 若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是_____． 13. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 14. 已知，则代数式的值为___________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，，平分，，，． （1）求证； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 18. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下： ①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下： 南校 92 100 86 89 73 98 54 95 98 85 北校 100 100 94 83 74 86 75 100 73 75 ②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 人数 部门 　50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 　南校 　1 　0 1 3 5 　北校 　0 　0 　4 2 4 （说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分分为良好，60～79分为合格，60分以下为不合格） ③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数 中位数 众数 方差 南校 87 90.5 　 　　 179.4 北校 86 　 　 　 　 121.6 ④得出结论． 结合上述统计全过程，回答下列问题： （1）补全③中的表格． （2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数． （3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 20. 某果农在销瓯柑时，经市场调查发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）． （1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价； （2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值； （3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值． 21. 综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 23. 【问题背景】 已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若，，，则 ； 【迁移应用】 如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接． ①请求出的值及的度数，并说明理由． ②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长． 【创新应用】 如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期初三第一次模拟考试 数学试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，且，则的值为（ ） A. 5或1 B. 或 C. 5或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，得到，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 2. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】第二个图形、第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由题意可得：8合为． 故选B． 4. 将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，利用三角形的外角求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 5. 若，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得到，利用幂的乘方逆运算法则将变形为，最后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 把代入，原式． 6. 有4根细木棒，它们的长度分别是、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法，三角形的三边关系．利用树形图列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3、5、7；3、7、9；5、7、9，共3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 7. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识及计算是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 8. 二次函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式可得对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最小值2，然后根据图象和性质判断即可． 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 【详解】解：二次函数为， 对称轴是直线， 又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，函数有最小值， 当时，， ，故选项符合题意； 当时，， ，故选项B不符合题意； 当时，， ，故选项C不符合题意； 当时，， ，故选项D不符合题意； 故选：A． 9. 如果关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】 解：去分母得： 解得． 当分母，即时方程无解， ． 时方程无解． 故选∶ A． 10. 如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为N． ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， 即，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一组数据5，4，，6，7的平均数为5，则这组数据的方差为 ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算．先利用平均数为5求得，再利用方差公式代入数据计算即可． 【详解】解：一组数据5，4，，6，7的平均数为5， ， 解得， 根据题意． 故答案为：2． 12. 若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，先求出一元一次不等式组的解集，再根据原不等式组有4个整数解得． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组的解集只有4个整数解， ∴， 故答案为：． 13. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，，即， 解得：，且 故答案为：且． 14. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即可；⑤证明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，证出∠BFG=∠C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断⑤；③当∠C=30°时，∠ADF=2∠CDF；③不正确；即可得出答案． 【详解】解：①∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∵AE⊥BC， ∴∠C+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠C，①正确； ②作GM⊥AB交AB于M，如图所示： ∵BD平分∠ABC，AE⊥BC， ∴GM=GE， ∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正确； ④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD， ∴∠AGD=∠ADG， ∴AG=AD， ∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC， ∴AD=DF， ∴AG=DF， ∵AE⊥BC， ∴AG∥DF， ∴四边形AGFD是平行四边形， 又∵AG=AD， ∴四边形AGFD是菱形；④正确； ⑤∵四边形AGFD是菱形； ∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB， ∴∠AGB=∠FGB， 在△ABG和△FBG中， ， ∴△ABG≌△FBG（AAS）， ∴∠BAE=∠BFG， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BFG=∠C， ∴GF∥CH， ∵GH∥BC， ∴四边形GFCH是平行四边形， ∴GF=CH， ∴CH=DF，⑤正确； ③∵四边形AGFD是菱形 ∴∠ADF=2∠ADB， 当∠C=30°，∠CDF=60°， 则∠ADF=120°， ∴当∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正确； 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算，握特殊角的三角函数值，负整数指数幂性质，零指数幂性质，二次根式性质，实数的混合运算法则是关键．根据60°的正弦值，负整数幂，零次幂，二次根式性质化简，而后合并即可． 【详解】原式 17. 如图，在四边形中，，平分，，，． （1）求证； （2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， 平分， ， ， ， 即； （2） 如图，即为所求． 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可证明，可得，即可得出结论． （2）作线段的垂直平分线，交于点，以线段的长为半径画圆，即可得所求的；连接，根据角的等量代换证得，则，即可得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则是直径，作线段的垂直平分线即可确定圆心；以线段的长为半径画圆，即可得所求的． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段垂直平分线和三角形的外接圆，勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 18. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）（30+30）米； （2）20米． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； 【小问2详解】 过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下： ①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下： 南校 92 100 86 89 73 98 54 95 98 85 北校 100 100 94 83 74 86 75 100 73 75 ②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 人数 部门 　50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 　南校 　1 　0 1 3 5 　北校 　0 　0 　4 2 4 （说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分分为良好，60～79分为合格，60分以下为不合格） ③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数 中位数 众数 方差 南校 87 90.5 　 　　 179.4 北校 86 　 　 　 　 121.6 ④得出结论． 结合上述统计全过程，回答下列问题： （1）补全③中的表格． （2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数． （3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】（1）98，84.5，100； （2）估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为120人； （3）我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下： ①南校区的九年级学生在英语单词测试中，平均数较高，表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好； ②南校区的九年级学生在英语单词测试中，中位数较高，表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依据已知条件即可补全③中的表格； （2）依据 ×300，即可得到北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；（3）依据每个校区的英语测试的成绩的平均数以及中位线的高低，即可得到哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好． 【详解】（1）由题可得，南校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的众数为98， 北校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩为：73、74、75、75、83、86、94、100、100、100， ∴北校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的中位数为：84.5；而众数为100； 故答案为98，84.5，100； （2）北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为：×300=120（人）． （3）略 【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键． 20. 某果农在销瓯柑时，经市场调查发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）． （1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价； （2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值； （3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值． 【答案】（1）10元/千克 （2）（，且x为正整数）最大值是242元，最小值为170元 （3）106　107　108 【解析】 【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答； （2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案； （3）由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a值． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得． 答：该日瓯柑的单价是10元/千克； 【小问2详解】 解：根据题意得， 由题意得，且x为正整数， ∵， ∴时，w有最大值是242元， ∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下， ∴时，w有最小值是元； 则w关于x的函数表达式为： （，且x为正整数）； 【小问3详解】 解：由题意得， ∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数， ∴由二次函数的对称性可知，x的取值为9，10，11，12，13 当或13时，； 当或12时，， 当时，． ∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350， ∴当或107或108时符合题意． 答：所有符合题意的a值为：106，107，108． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． 21. 综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 【答案】 （1）画出函数图象，如下： （2）； （3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题： （1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为． 点、在该图象上 ，解得， 与之间的函数表达式为． （3）当时，即， 解得：， 则 ∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 【问题背景】 已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若，，，则 ； 【迁移应用】 如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接． ①请求出的值及的度数，并说明理由． ②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长． 【创新应用】 如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围． 【答案】问题背景： ①； ② 3； 迁移应用： ①，，理由： ，， ， ， ， ，， ； ， ， ， ， ； ②点经过的路径长为； 创新应用： 【解析】 【分析】【问题背景】①如图2中，根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到．； ②根据相似三角形的性质即可得到结论； 【迁移应用】①根据相似三角形的性质得到，，求得；根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； ②同①得：根据相似三角形的性质得到，得到，当点D与B重合时，点E与C重合，的中点记为；当点D与C重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示：则点的运动轨迹为，是△的中位线，根据三角形中位线定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【创新应用】如图5中，过点A作于点，过点作于点，连接．通过计算证明，求出，，可得结论． 【详解】解：【问题背景】 ①如图2中，△△， ， ， ， ， △△． 故答案为：； ②， ， ， ； 故答案为：3； 【迁移应用】①略 ②同①得：， ， ， ， ，即， 当点与重合时，点与重合，的中点记为； 当点与重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图4所示： 则点的运动轨迹为，是△的中位线， ， ，， △△， ， 即，， ， ，即点经过的路径长为； 【创新应用】如图5中，过点A作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $