专题03 平方根与立方根讲义+练习2024-2025学年人教版（2024）七年级数学下册期中复习

专题03 平方根与立方根 1．算术平方根 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）规定：0的算术平方根是0． （4）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． 2．平方根 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根． （2）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 3．立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 4．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． （3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 考点01 求平方根、立方根 1．一个正数的算术平方根是它的正的平方根，注意它们的联系和区别． 2．求带根号的数的平方根或算术平方根时，要先化简，这是特别容易错的地方． 3．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；正数的平方根有两个，它们互为相反数． 4．平方根是它本身的数只有0．立方根是它本身的数是0，1，-1． 【典例1】　（2025•锡山区校级模拟）实数4的平方根是　　 A． B． C．4 D． 【答案】 【分析】根据平方根的定义可知4的平方根有两个，为． 【解答】解：， 的平方根为， 故选：． 【典例2】　（2024秋•贵港期末）3的算术平方根是　　 A．3 B． C．9 D． 【答案】 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，即可得出答案． 【解答】解：3的算术平方根是． 故选：． 【典例3】　（2024秋•青羊区校级期末）的立方根是 　　，3的算术平方根是 　　． 【答案】；． 【分析】根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【解答】解：， 的立方根是； ， 的算术平方根是； 故答案为：；． 考点02 平方根、立方根性质的运用 1．正数有两个平方根，它们互为相反数，即相加为0． 2．知道一个正数的平方根或算术平方根求原来的正数，只需要将平方根或算术平方根平方就行． 3．知道一个数的立方根求原来的数，只需求立方根的立方就行． 【典例4】　（2024秋•沈阳校级期末），则的平方根是　　 A． B． C． D． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， 所以，， ， 的平方根是． 故选：． 【典例5】　（2024秋•延庆区期末）已知，则 　　． 【答案】2． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：2． 【典例6】　（2024春•西城区校级期中）已知，则 　　． 【答案】． 【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出，，代入求值即可． 【解答】解：， ，， 解得，， ． 故答案为：． 考点03 小数点的移动规律 1．对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位．反之也成立．注：a的小数点是两位两位移动的． 2．对于来说，若被开方数a的小数点向左（或向右）移动三位，则的小数点向左（或向右）移动一位，反之也成立．注：a的小数点是三位三位移动的． 【典例7】　（2023秋•湖州期末）（1）观察发现： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 1 100 表格中　　，　　； （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　　移动 　　位； （3）规律运用： ①已知，则 　　； ②已知，，则　　． 【答案】（1）0.1，10； （2）右，1； （3）22.4，50． 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【解答】解：（1），， 故答案为：0.1，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， 故答案为：22.4，50． 【典例8】　（2017春•嘉祥县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），， ，， 由此可见，被开方数的小数点每向右移动　两　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位； （2）已知，，则　　，　　； （3），， 小数点变化的规律是：　　． （4）已知，，则　　，　　． 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1），， ，， 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位； （2）已知，，则，； （3），， 小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左移三位，其立方根的小数点向右（左移动一位； （4）已知，，则，． 故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左移三位，其立方根的小数点向右（左移动一位；（4）21.54； 【典例9】　（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：，， 发现规律：被开方数的小数点每向右移动 　2　位，其算术平方根的小数点向 　　移动 　　位； （2）应用：已知，则　　，　　； （3）拓展：已知，，计算和的值． 【答案】（1）2，右，1； （2）0.2236，22.36； （3），． 【分析】（1）观察规律即可得出答案； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案； （3）由代入计算即可得出答案，由根据（1）中的规律代入计算即可得答案． 【解答】解：（1）观察各式：，， 发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位； 故答案为：2，右，1； （2）应用：已知，则，； 故答案为：0.2236，22.36； （3）， ． 考点04 运用平方根、立方根的知识解方程 1．利用直接开平方法解一元二次方程的依据就是平方根的定义，有时要将某个式子看作一个整体． 2．只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解． 3．整体思想是数学中常用的思想方法． 【典例10】　（2025春•鼓楼区校级月考）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）利用立方根的概念解方程即可； （2）根据平方根的概念解方程即可 【解答】解：（1）移项可得：， ， ； （2）， 两边都除以4可得： ， ， 或． 【典例11】　（2024春•望奎县期中）解方程 （1） （2） 【分析】（1）根据解方程的方法和平方根的定义可以解答本题； （2）根据解方程的方法和立方根的定义可以解答本题． 【解答】解：（1）， ， ， ， 或， 解得或； （2）， ， ， ． 【典例12】　（2024春•莎车县期中）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方根与立方根 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•定安县期末）36的平方根是　　 A．6 B． C． D．18 2．（2024秋•卫辉市期末）下列各数中没有平方根的是　　 A． B． C． D．0 3．（2024秋•象州县期末）若实数、、满足，则的算术平方根是　　 A．3 B． C． D．4 4．（2024秋•常德期末）下列说法正确的是　　 A．的平方根是 B．的值小于6 C．的算术平方根是3 D． 5．（2025•济南模拟）9的算术平方根为　　 A． B．3 C． D． 6．（2024秋•杭州期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•莱州市期末）下列结论中，正确的是　　 A．的平方根是 B． C． D．的算术平方根是 8．（2024秋•栖霞市期末）下列说法正确的是　　 A．的立方根是0.4 B．的平方根是 C．0.01的立方根是0.000001 D．625的算术平方根是25 9．（2024秋•栾城区期末）下列说法正确的有　　 ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（2024秋•通州区期末）8的立方根是　　 A．2 B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•桂林期末）　　． 12．（2024秋•沅江市期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 　　． 13．（2024秋•栖霞市期末）若是25的平方根，是的算术平方根，则的值为　　． 14．（2024秋•宁夏期末）一个数的平方是9，这个数是 　　． 15．（2024秋•洪雅县期末）若，则的算术平方根是　　． 16．（2024秋•中牟县期末）有一个数值转换器，原理如图：当输入的时，输出的等于　 　 17．（2024秋•泉港区期末）若一个正方形的面积为5，则它的边长为 　　． 18．（2025•四川模拟）　 　． 19．（2025•朝阳区校级开学）的立方根是 　　． 20．（2024秋•福山区期末）已知实数，满足关系式，求的立方根　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•大名县期末）已知的平方根是，的立方根为． （1）求与的值； （2）求的算术平方根． 22．（2024秋•宜兴市期末）求下列各式中的 （1）； （2）． 23．（2024秋•襄都区期末）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． （1）求的值． （2）求的算术平方根． 24．（2024秋•渭城区期末）已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 25．（2024秋•邗江区期末）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的立方根． 26．（2024秋•桓台县期末）某正数的两个平方根分别是和，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D． C B B C D B A 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：， 的平方根是， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根判断即可． 【解答】解：、原式，不合题意； 、原式，不合题意； 、负数没有平方根，符合题意； 、0的平方根是0，不合题意， 故选：． 3．【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，，， ，，， ， 的算术平方根是4， 的算术平方根为4． 故选：． 4．【答案】 【分析】利用平方根，算术平方根的定义，无理数的估算计算即可． 【解答】解：．的平方根是，故选项错误，不符合题意； ．， ，故选项错误，不符合题意； ．的算术平方根是3，正确，符合题意； ．，故选项错误，不符合题意； 故选：． 5．【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：9的算术平方根是3． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据运算法则及定义逐一计算判断即可． 【解答】解：、计算结果是9，选项计算错误，不符合题意； 、，选项计算正确，符合题意； 、计算结果是2，选项计算错误，不符合题意； 、， ，选项计算错误，不符合题意． 故选：． 7．【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根及立方根逐项计算即可． 【解答】解：，即3的平方根是，故错误； ，故错误； ，故正确； 的算术平方根是，而不是，故错误． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据立方根，平方根及算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】解：的立方根是，则不符合题意， 没有平方根，则不符合题意， 0.01的立方根是，则不符合题意， 625的算术平方根是25，则符合题意， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案． 【解答】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即4是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：． 10．【答案】 【分析】根据立方根的概念即可求出答案． 【解答】解：， 的立方根是2， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】根据平方根定义，进行求解即可． 【解答】解：根据平方根定义可知：． 故答案为：． 12．【答案】4． 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：4． 13．【答案】125或． 【分析】根据平方根与算式平方根的定义求出，的值，注意的值有两个，需要分类讨论． 【解答】解：是25的平方根， 的值为5或． 是的算术平方根，， 的值为3． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为：125或． 故答案为：125或． 14． 【分析】根据求出这个数即可． 【解答】解：， 这个数是， 故答案为：． 15．【答案】． 【分析】根据非负数的性质得到，，再求解即可． 【解答】解：由条件可知， ，， ，， ， 的算术平方根是． 故答案为：． 16．【分析】根据算术平方根的意义，可得算术平方根． 【解答】解：，，，， ， 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：一个正方形的面积为5， 它的边长为：． 故答案为：． 18．【分析】注意，计算时要加括号． 【解答】解：； 故答案为：11． 19． 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：的立方根是． 故答案为：． 20．【答案】3． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，，， ，，， ， 的立方根是3， 的立方根为3． 故答案为：3． 三、解答题（共6小题） 21． 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义即可求出、的值； （2）求出的值，再根据算术平方根的定义求出结果即可． 【解答】解：（1）的平方根是， ， 解得， 又的立方根为． ， 解得， 答：，； （2）当，时， ， 的算术平方根为． 22．【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）根据平方根的概念解方程即可； （2）根据立方根的概念解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ， 或； （2）， ， ， ． 23．【答案】（1）49． （2）． 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值；根据算术平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义求出的值，即可容易解答此题． 【解答】解：（1）一个正数的两个不相等的平方根分别是和，正数的两个不相等的平方根互为相反数， ， 解答， ， ． （2）， ， 解得． 的立方根是， ， 解得， ， 的算术平方根为． 24．【答案】3． 【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再计算，最后根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：的平方根是， ， 的立方根是， ， ， 的算术平方根是3， 的算术平方根是3． 25．【答案】（1）49． （2）． 【分析】（1）先根据一个正数的两个平方根互为相反数可列等式求的值，再求出的值． （2）先求出的值，再用立方根的定义求值． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， ， ． （2）由（1）可知， ， 的立方根为． 26． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得的值，根据的立方根是，可以求得的值， （2）根据（1）可以求得的值，从而得到算术平方根． 【解答】解：（1）某正数的两个平方根分别是和，的立方根是， ，， 解得，，； （2），， ， 的算术平方根是4， 的算术平方根是4． 学科网（北京）股份有限公司 $$