8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章 立体几何初步 1 教学目标 了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式;（重点） 01 能用上述公式求棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积; （重点、难点） 02 能运 03 04 2 学科素养 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 数学抽象 直观想象 逻辑推理 用公式求棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积; 数学运算 数据分析 数学建模 3 新课导入 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题. 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 包装盒所占空间的大小跟围几何体的体积密切相关. 前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小． 思考.在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 追问 展开图面积与其表面积有什么关系？ 化归思想 １. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 　棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和，也就是展开图的面积． 棱柱 侧面积等于侧面各个平行四边形的面积和. 表面积等于底面积与侧面积的和. 棱柱 展开图 知识精讲 6 棱锥 棱台 侧面积等于侧面各个三角形的面积和； 表面积等于底面积与侧面积的和. 侧面积等于侧面各个梯形的面积和； 表面积等于底面积与侧面积的和. 棱锥展开图 棱台展开图 7 例1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积． B C A P 解析：因为△PBC是正三角形，其边长为a， 所以 因此，四面体P-ABC的表面积 8 练习.已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． E =4 = ==84 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是： Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长） Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高） 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 10 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 11 　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 12 13 棱台的体积又应该是怎样的呢？ O O’ (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 思考.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？                         15 例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是1.5 m，公共面ABCD是边长为2 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？ A' B' C' D' A B C D P 16 例3.正四棱台的上下底面的边长分别是2,4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. D 17 课堂练习 课本P116 1. 正六棱台的上下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积. 解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm. 因此，正六棱台的表面积为 A D B C F E A' D' B' C' F' E' 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. (1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ 解： (1) 共有64个棱长为1cm的小立方体. (2) 三面是红色的小立方体有8个, 表面积之和是48cm2. 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 解： (3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是32cm2，它们占有的空间是8cm3. 3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 解： 如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有 B C A' B' C' D' A D E F G ∴这个石凳的体积为 将棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′，沿平面 AB′D′截去三棱锥A′- AB′D′后，求该几何体的表面积和体积. 22 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 $$