2024年广东省湛江市霞山区海宁学校九年级中考数学一模试卷

2024年霞山区海宁学校中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）的相反数是（　　） A．﹣2024 B． C． D．以上都不是 2．（3分）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（　　） A．275×102 B．2.75×104 C．2.75×1012 D．27.5×1011 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2a+4＝6a B．a2•a3＝a5 C．（2a）2＝2a2 D．a3÷a3＝a 4．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 5．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．（3分）某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛．比赛中，九位评委给某个选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 7．（3分）如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（　　） A．m B．m C．m D．m 8．（3分）如图，圆A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（4，0），交y轴于点C（0，3），点D是第一象限内圆上的一点，则∠CDO的正弦值是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝BC＝CE，则∠B的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 10．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）函数中自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 　 　 ． 13．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E是CD中点，若AB＝10，则OE＝　 　 ． 14．（3分）某校九年级学生做电路实验，测得电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的数据如表，已知闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当电阻R＝150Ω时，电流I＝　 　 A． I（单位：A） 10 5 2.5 2 R（单位：Ω） 20 40 80 100 15．（3分）如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE的延长线与AC交于点F，则 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算：|2|﹣（4﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣1． 17．（8分）先化简，再求值： ，请从﹣1，0，1，2这四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 18．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，O分别为BC，BD的中点，过点A作AF∥BD交EO的延长线于点F，连结CF交BD于点G． （1）求证：四边形ABOF为平行四边形． （2）若CF⊥BD，且AB＝6，求OG的长． 19．（9分）得益于“互联网+”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，那么运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台？ 20．（9分）2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回，且全部有效、统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整），请根据图中提供信息，解答下列问题： 七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！ 这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ 代码 内容 选项 A 师长意见 B 学习成绩 C 课余生活 D 热点时事 E 朋友交流 （1）此次抽样调查中，共调查了 　 　 名学生； （2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 　 　 度； （3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； （4）已知甲、乙、丙、丁、戊五名学生都最关心“学习成绩”，若从这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 21．（9分）如图，反比例函数y的图象与一次函数图象y＝kx﹣5（k为常数，且k≠0）的图象交于A、B（﹣2，m）两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线AB向上平移n（n＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求n的值． 22．（12分）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE，CD．同学们发现以下结论：BE与CD的数量关系是 　 　 ； 【变式思考】 （2）如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，若AB＝2，AC＝3，则四边形DBCE面积的最大值是 　 　 ； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边向上作等腰直角三角形ADE且AE＝AD，连接BD，用等式表示线段BE，BD，BC之间的数量关系，并证明． 23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C D C D D A 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：的相反数是． 故选：B． 2．解：27500亿＝2750000000000＝2.75×1012． 故选：C． 3．解：A．2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意； B．a2⋅a3＝a5，计算正确，符合题意； C．（2a）2＝4a2，原式错误，不符合题意； D．a3÷a3＝1，原式错误，不符合题意； 故选：B． 4．解：， 由②得：x＞1， ∵不等式组无解， ∴m≤1． 故选：C． 5．解：∵∠BAC为所对的圆周角，∠BOC为所对的圆心角， ∴∠BAC∠BOC100°＝50°． 故选：C． 6．解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化， 中位数一定不发生变化， 故选：D． 7．解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0， 解得：m． 故选：C． 8．解：连接BC，如图， ∵B（4，0），C（0，3）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴BC5， ∴sin∠OBC， ∵∠ODC＝∠OBC， ∴sin∠CDO＝sin∠OBC． 故选：D． 9．解：连接AC，如图所示： ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AC＝CE， ∴AB＝BC＝CE， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°． 故选：D． 10．解：设中间正六边形的中心为D，连接DB． ∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形， ∴AB＝BC＝2，OQ＝3， ∴OA＝OB， ∴OC＝3， ∵DQ＝DB＝2OD， ∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2， ∴M（3，﹣2）， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：由题意得：， 解得：x＞﹣2， ∴函数中自变量x的取值范围是x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 12．解：设事件A为甲、乙两两名志愿者分到同一个社区，将6人分为3组共有15（种），其中甲、乙两名志愿者分到同一个社区的情况有3种， 所以甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为． 故答案为：． 13．解：∵菱形ABCD中，对角线相交于点O， ∴点O是AC的中点，AB＝AD＝10， 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△ADC的中位线， ∴． 故答案为：5． 14．解：设， ∴把I＝10A，R＝20Ω代入， 得， 解得k＝200， ∴， 把R＝150Ω代入， ∴． 故答案为：． 15．解：作DH∥BF交AC于H， ∵DH∥BF，D是△ABC中BC上的中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CH＝HF， ∵DH∥BF，BE是△ABD的中线， ∴AE＝DE， 且， ∴AF＝FH， ∴AF＝FH＝HC， ∴AF：FC＝1：2， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：|2|﹣（4﹣π）0+2sin60°﹣（）﹣1 ＝21+25 ＝215 ＝6． 17．解：原式 ， 根据分式有意义的条件可得x≠1，x≠﹣1， ∴当x＝0时，原式（答案不唯一）． 18．（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD， ∵点E，O分别为BC，BD的中点， ∴OE∥CD∥AB，即OF∥AB， 又∵AF∥BD， ∴四边形ABOF为平行四边形； （2）解：连结OC， 由（1）得，四边形ABOF为平行四边形， ∴AB＝OF＝CD，AB∥OF∥CD， ∴∠OFG＝∠DCG， 在△OFG和△DCG中， ， ∴△OFG≌△DCG（AAS）， ∴OG＝DG， ∵CF⊥BD， ∴CO＝CD， ∵OC为Rt△BCD斜边BD上的中线， ∴OC＝OD， 即△OCD为等边三角形． ∴OD＝CD＝AB＝6， ∴． 19．解：设运送物资使用的无人机x台，无人配送车各y台， 根据题意得， 解得． 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车各20台． 20．解：（1）此次抽样调查中，共调查的学生人数为：12÷4%＝300（名），故答案为：300； （2）B的人数为：300﹣20﹣105﹣12﹣63＝100（人）， 将图1补充完整如下： 图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为：360°126°， 故答案为：126； （3）七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心“学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少（答案不唯一）； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 戊 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） （戊，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） （戊，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） （戊，丙） 丁 （甲，丁） （乙、丁） （丙、丁） （戊，丁） 戊 （甲，戊） （乙，戊） （丙，戊） （丁，戊） 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两人的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两人的概率． 21．解：（1）把A（﹣2，m）代入y， 得m4， 所以B点坐标为（﹣2，﹣4）， 把B（﹣2，﹣4）代入y＝kx﹣5， 得﹣2k﹣5＝﹣4，解得k， 所以一次函数解析式为yx﹣5； （2）将直线AB向上平移n（n＞0）个单位长度得直线解析式为yx﹣5+n， 根据题意得方程组只有一组解， 消去y得x﹣5+n， 整理得x2﹣（n﹣5）x+8＝0， Δ＝（n﹣5）2﹣48＝0， 解得n＝9或n＝1， 即n的值为1或9． 22．解：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， 故答案为：BE＝CD； （2）如图2，连接BE、CD交于点F，设CD与AE交于点G， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴AB＝AD，AE＝AC， ∵∠BAD+∠DAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD， ∵∠ACD+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠EGF， ∴∠AEB+∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∴BE⊥CD， ∴S四边形DBCE＝S△DBE+S△EBCBE×DFBE×CFCD2， ∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大，由三边关系可知，CD≤AD+AC， 即当CD＝AD+AC＝2+3＝5时，四边形DBCE面积最大， 四边形DBCE面积最大值52， 故答案为：； （3）BD＝2BC﹣BE． 证明：如图3，过点D作DH⊥AC于点H， 则∠AHD＝90°， ∵△ADE是等腰直角三角形且AE＝AD， ∴∠DAE＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ACE＝∠DHA， ∵∠AEC+∠EAC＝∠EAC+∠DAH＝90°， ∴∠AEC＝∠DAH， 在△AEC和△DAH中， ， ∴△AEC≌△DAH（AAS）， ∴AC＝DH，CE＝AH， ∴BC＝DH， ∵∠ACB+∠DHA＝180°， ∴BC∥DH， ∴四边形BCHD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形BCHD是矩形， ∴CH＝BD， ∵CH＝AC+AH， ∴BD＝BC+CE＝BC+BC﹣BE＝2BC﹣BE． 23．解：（1）点A（1，0）关于x＝﹣1的对称点B（﹣3，0）， 设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+3）， 该抛物线又过C（0，3），则有：3＝﹣3a，解得a＝﹣1， 即y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）； （2）在对称轴上存在一点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．理由如下： 设P（﹣1，t）， ∵A（1，0），C（0，3）， ∴AP2＝（1+1）2+t2＝4+t2，CP2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，AC2＝12+32＝10， ∵△APC为等腰三角形， ∴有AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三种情况， ①当AP＝CP时，则有AP2＝CP2，即4+t2＝t2﹣6t+10， 解得t＝1， 此时P（﹣1，1）； ②当AP＝AC时，则有AP2＝AC2，即4+t2＝10， 解得t， 此时P（﹣1，）或（﹣1，）； ③当CP＝AC时，则有CP2＝AC2，即t2﹣6t+10＝10， 解得t＝0或t＝6， 此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）， 设直线AC解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线AC解析式为y＝﹣3x+3， 当x＝﹣1时y＝6，则P（﹣1，6）在直线AC上， 综上，在对称轴上存在一点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$