集合讲义（5个考点）-2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题1.1集合】 一：考纲要求 1. 集合的含义与表示 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 掌握集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 熟悉常用数集及记法，如自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集。 理解集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图），并能根据不同情况选择合适的方法表示集合。 2. 集合间的基本关系 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，会判断两个集合之间的包含关系。 了解全集与空集的含义，知道空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 若有限集中有个元素，要掌握的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。 3. 集合的基本运算 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集。 能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算，借助图形进行分析和求解。 在高考中，集合通常以选择题或填空题的形式出现，主要考查对集合概念的理解、集合间关系的判断以及集合的基本运算。同时，也可能与其他知识相结合，如函数、不等式等，综合考查学生的数学素养和解题能力。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 集合的概念与表示：明确集合含义，掌握元素的确定性、互异性、无序性，理解元素与集合的属于关系，熟悉常用数集符号，能熟练运用列举法、描述法、图示法表示集合。 集合间的基本关系：理解集合的包含与相等关系，能识别子集、真子集，牢记空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，清楚有限集的子集、真子集等的数量关系。 集合的基本运算：掌握交集、并集、补集的含义，会求两个集合的交集、并集以及给定集合在全集中的补集，能借助 Venn 图进行分析与求解。 2024年： 全国甲卷：理科第2题，分值5分。题目考查集合的基本运算，通过对集合中元素的分析，运用交集、补集等运算规则来求解。 2023年： 全国乙卷：理科第10题，分值5分。这是一道集合、数列、三角函数的综合题，深入考查集合的概念、三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解。 2022年： 全国甲卷：文科第1题，分值5分。考查区间交集运算，属于集合运算中的基础题型，通过对给定区间的分析，确定交集的范围。 新高考Ⅰ卷：第1题，分值5分。考查集合的基础运算，涉及交集、并集、补集等运算概念，要求考生对集合的基本运算规则有清晰的理解和掌握。 题型与分值：集合相关题目在高考中通常以选择题为主，偶尔也会出现在填空题中，分值一般为5分。如2024年全国甲卷理科第2题、2022年全国甲卷文科第1题等，都是以选择题形式考查集合运算，占5分。 考查内容：重点考查集合的交、并、补等基本运算，以及集合间的关系判断。比如2024年全国甲卷理科第2题考查集合的基本运算，通过对集合中元素的分析，运用交集、补集等运算规则来求解；2022年新高考Ⅰ卷第1题，考查集合的基础运算，涉及交集、并集、补集等运算概念。集合常与函数、不等式、数列等知识综合出题，考查学生的综合运用能力。如2023年全国乙卷理科第10题，是集合与数列、三角函数的综合题，考查集合概念、三角函数周期性等。 命题趋势：集合是每年高考必考内容，考查内容、频率、题型、难度均相对稳定。题目注重对集合基本概念、运算规则的考查，同时强调学生对知识的综合运用和转化能力，以及数学思维和核心素养的体现，如逻辑推理、数学运算等。 总体来说，高考数学集合部分的考查较为基础和稳定，但会通过与其他知识的综合来增加一定的难度和区分度，要求学生扎实掌握集合的基础知识，并能灵活运用到综合问题的解决中。 三：考点梳理 【题型一：集合的基本概念】 【知识讲解】 1.集合的定义 集合是由确定的、不同的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素。例如，“所有小于10的正整数”组成一个集合，1、2、3、4、5、6、7、8、9就是这个集合的元素。 2.集合中元素的特性 确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否属于这个集合是明确的，要么属于该集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。例如，“个子高的同学”不能构成一个集合，因为“个子高”没有明确的标准，不具有确定性。 互异性：集合中的元素是互不相同的。如果一个集合中有多个相同的元素，那么只能算作一个元素。例如，集合{1, 2, 2, 3}实际上就是{1, 2, 3}。 无序性：集合中的元素没有固定的顺序。例如，集合{1, 2, 3}与{3, 2, 1}是同一个集合。 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，这种方法适用于元素较少的集合。 描述法：用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。一般形式为{x | x满足的条件}。例如，{x | x是大于5的整数}，表示所有大于5的整数组成的集合。 图示法：常用的有韦恩图，用封闭的曲线表示集合，直观地展示集合之间的关系。 4.集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合。例如，{1, 2, 3}是有限集。 无限集：含有无限个元素的集合。例如，所有的自然数组成的集合N = {0, 1, 2, 3, …}是无限集。 空集：不含任何元素的集合，记作∅。例如，方程$x^2 + 1 = 0$在实数范围内的解集就是空集。 例题精选 【例题1】（2022·河北·模拟预测）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可利用列举法求解. 【详解】设， 故，故有6个元素， 故选：C 【例题2】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】由集合的新定义计算即可. 【详解】由题设知， 所有元素之和为， 故选：A. 【例题3】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 【相似题2】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 【相似题3】（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 【题型二：集合间的基本关系】 【知识讲解】 集合间的基本关系 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作。例如，集合A = {1, 2}，集合B = {1, 2, 3}，则。 真子集：如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么称集合A是集合B的真子集，记作。例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的真子集。 相等集合：如果两个集合A和B的元素完全相同，那么称这两个集合相等，记作。例如，集合A = {x | }，集合B = {1, 2}，通过求解方程可知。 例题精选 【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C．A D．B 【答案】D 【分析】利用元素与集合，集合间的基本关系判定选项即可. 【详解】因为集合中元素都属于， 且是的真子集． 故选：D． 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几集合中的元素化简集合，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围. 【详解】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 【例题3】（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故选项D正确，选项A、B、C错误. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 【相似题2】（2024·山东聊城·一模）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出集合、后借助集合间的关系计算即可得. 【详解】由，可得，故， 由，可得，故， 由，则有. 故选：C. 【相似题3】（2023·山东聊城·三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得可得答案. 【详解】若对于，都有，则， 由已知可得. 故选：B. 【题型三：集合的基本运算】 【知识讲解】 交集 1. 定义：由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的交集，记作，读作 “A 交 B”。 2. Venn 图表示：在 Venn 图中，交集就是表示集合 A 与集合 B 的两个区域重叠的部分。 3. 运算性质： · ，任何集合与其自身的交集就是它本身。 · ，任何集合与空集的交集都是空集。 · 若，则。 并集 1. 定义：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记作，读作 “A 并 B”。 2. Venn 图表示：在 Venn 图中，并集就是表示集合 A 与集合 B 的两个区域所覆盖的全部范围。 3. 运算性质： · ，任何集合与其自身的并集就是它本身。 · ，任何集合与空集的并集是该集合本身。 · 若，则。 补集 1. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。例如在研究实数范围内的问题时，全集（全体实数集）。 3. 补集定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作。 4. Venn 图表示：在 Venn 图中，补集是全集 U 中除去表示集合 A 的区域后剩下的部分。 4. 运算性质： · ，集合 A 与它的补集的并集是全集。 · ，集合 A 与它的补集的交集是空集。 · ，对集合 A 的补集再求补集就得到集合 A 本身。 例题精选 【例题1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，，则. 故选：A 【例题2】（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设分和分析求解即可. 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 【例题3】（2025·安徽合肥·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁鞍山·二模）设全集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、并集、补集的定义求解. 【详解】因为全集，，所以， 所以. 故选：B. 【相似题2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得集合，再用交集运算求解. 【详解】由解得，，所以， 所以， 故选：B. 【相似题3】（2025·江苏宿迁·二模）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、并集、补集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以或，A选项错误； ，B选项正确； 或， 或，C选项错误. ， ，D选项错误. 故选：B 【题型四：Venn图的应用】 【知识讲解】 Venn 图表示集合关系 1. 子集关系：如果集合是集合的子集，即，那么表示集合的封闭区域完全包含在表示集合的封闭区域内部。比如，，在 Venn 图中，代表集合的区域在代表集合的区域之中。 2. 交集关系：集合与集合的交集，在 Venn 图中就是表示集合与集合的两个封闭区域重叠的部分。 3. 并集关系：集合与集合的并集，在 Venn 图中是表示集合与集合的两个封闭区域所覆盖的全部范围，即把两个区域合并在一起（重复部分只算一次）。 4. 补集关系：对于集合，其在全集中的补集，在 Venn 图中是全集所对应的整个区域中，除去表示集合的封闭区域后剩下的部分。 利用 Venn 图解题的一般思路 1. 分析题目条件：仔细阅读题目，明确已知的集合关系和所给的数据信息，确定哪些集合需要在 Venn 图中表示。 2. 绘制 Venn 图框架：先画出表示全集的图形，再根据集合间的包含、相交等关系，逐步画出各个集合对应的封闭区域。例如，如果已知，，那么先画一个大的区域表示全集，在内画一个区域表示，在内画两个有重叠部分的区域分别表示和。 3. 填充元素或数量：将题目中给出的集合元素或相关数量信息，填入 Venn 图的对应区域。如果已知集合中有 3 个元素，中有 1 个元素，就把这 1 个元素填在与重叠的区域，另外 2 个只属于的元素填在不与重叠的区域。 4. 借助图形推理计算：通过观察 Venn 图，利用集合运算的性质和逻辑关系进行推理和计算。比如要求的元素个数，就把、区域内的元素个数相加（注意重叠部分只算一次）；若求，则在全集对应的区域内，去掉所覆盖的区域，剩下区域对应的元素或数量就是结果。 【例题精选】 【例题1】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 【例题2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 【例题3】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 【相似题2】多选题（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 【题型五：集合的新定义问题】 【例题精选】 【例题1】（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 【例题2】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合新定义可知，求得，进而根据补集的定义求解即可. 【详解】结合新定义可知，又， 所以． 故选：A 【例题3】（2022·陕西西安·一模）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】C 【分析】根据集合新定义求解即可. 【详解】根据题意，因为，， 所以. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（22-23高三上·广西贵港·阶段练习）定义差集且，已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据差集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以． 故选：B 【相似题2】多选题（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】A选项，根据题意得到且中元素不能出现在中，故；B选项，与是相同的，所以；C选项，推出；D选项，表达出，结合，，得到，故. 【详解】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同的，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误. 故选：AB 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2020·浙江·高考真题）已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏泰州·一模）已知集合均为全集的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 15．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（     ）. A． B． C． D． 16．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A A A A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 D D C C C A D ABC 1．B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 4．C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5．D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 6．A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 7．A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 8．A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 9．A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 10．A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 11．D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 12．D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 13．C 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 14．C 【分析】根据所给关系，结合补集的性质求解. 【详解】因为，则， 根据补集的性质，即， 于是, 故选：C 15．C 【分析】根据得，利用即可得到结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 16．A 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 17．D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 18．ABC 【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可. 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题1.1集合】 一：考纲要求 1. 集合的含义与表示 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 掌握集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 熟悉常用数集及记法，如自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集。 理解集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图），并能根据不同情况选择合适的方法表示集合。 2. 集合间的基本关系 理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，会判断两个集合之间的包含关系。 了解全集与空集的含义，知道空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 若有限集中有个元素，要掌握的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。 3. 集合的基本运算 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集。 能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算，借助图形进行分析和求解。 在高考中，集合通常以选择题或填空题的形式出现，主要考查对集合概念的理解、集合间关系的判断以及集合的基本运算。同时，也可能与其他知识相结合，如函数、不等式等，综合考查学生的数学素养和解题能力。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 集合的概念与表示：明确集合含义，掌握元素的确定性、互异性、无序性，理解元素与集合的属于关系，熟悉常用数集符号，能熟练运用列举法、描述法、图示法表示集合。 集合间的基本关系：理解集合的包含与相等关系，能识别子集、真子集，牢记空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，清楚有限集的子集、真子集等的数量关系。 集合的基本运算：掌握交集、并集、补集的含义，会求两个集合的交集、并集以及给定集合在全集中的补集，能借助 Venn 图进行分析与求解。 2024年： 全国甲卷：理科第2题，分值5分。题目考查集合的基本运算，通过对集合中元素的分析，运用交集、补集等运算规则来求解。 2023年： 全国乙卷：理科第10题，分值5分。这是一道集合、数列、三角函数的综合题，深入考查集合的概念、三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解。 2022年： 全国甲卷：文科第1题，分值5分。考查区间交集运算，属于集合运算中的基础题型，通过对给定区间的分析，确定交集的范围。 新高考Ⅰ卷：第1题，分值5分。考查集合的基础运算，涉及交集、并集、补集等运算概念，要求考生对集合的基本运算规则有清晰的理解和掌握。 题型与分值：集合相关题目在高考中通常以选择题为主，偶尔也会出现在填空题中，分值一般为5分。如2024年全国甲卷理科第2题、2022年全国甲卷文科第1题等，都是以选择题形式考查集合运算，占5分。 考查内容：重点考查集合的交、并、补等基本运算，以及集合间的关系判断。比如2024年全国甲卷理科第2题考查集合的基本运算，通过对集合中元素的分析，运用交集、补集等运算规则来求解；2022年新高考Ⅰ卷第1题，考查集合的基础运算，涉及交集、并集、补集等运算概念。集合常与函数、不等式、数列等知识综合出题，考查学生的综合运用能力。如2023年全国乙卷理科第10题，是集合与数列、三角函数的综合题，考查集合概念、三角函数周期性等。 命题趋势：集合是每年高考必考内容，考查内容、频率、题型、难度均相对稳定。题目注重对集合基本概念、运算规则的考查，同时强调学生对知识的综合运用和转化能力，以及数学思维和核心素养的体现，如逻辑推理、数学运算等。 总体来说，高考数学集合部分的考查较为基础和稳定，但会通过与其他知识的综合来增加一定的难度和区分度，要求学生扎实掌握集合的基础知识，并能灵活运用到综合问题的解决中。 三：考点梳理 【题型一：集合的基本概念】 【知识讲解】 1.集合的定义 集合是由确定的、不同的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素。例如，“所有小于10的正整数”组成一个集合，1、2、3、4、5、6、7、8、9就是这个集合的元素。 2.集合中元素的特性 确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否属于这个集合是明确的，要么属于该集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。例如，“个子高的同学”不能构成一个集合，因为“个子高”没有明确的标准，不具有确定性。 互异性：集合中的元素是互不相同的。如果一个集合中有多个相同的元素，那么只能算作一个元素。例如，集合{1, 2, 2, 3}实际上就是{1, 2, 3}。 无序性：集合中的元素没有固定的顺序。例如，集合{1, 2, 3}与{3, 2, 1}是同一个集合。 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，这种方法适用于元素较少的集合。 描述法：用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。一般形式为{x | x满足的条件}。例如，{x | x是大于5的整数}，表示所有大于5的整数组成的集合。 图示法：常用的有韦恩图，用封闭的曲线表示集合，直观地展示集合之间的关系。 4.集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合。例如，{1, 2, 3}是有限集。 无限集：含有无限个元素的集合。例如，所有的自然数组成的集合N = {0, 1, 2, 3, …}是无限集。 空集：不含任何元素的集合，记作∅。例如，方程$x^2 + 1 = 0$在实数范围内的解集就是空集。 例题精选 【例题1】（2022·河北·模拟预测）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例题2】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【例题3】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【题型二：集合间的基本关系】 【知识讲解】 集合间的基本关系 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作。例如，集合A = {1, 2}，集合B = {1, 2, 3}，则。 真子集：如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么称集合A是集合B的真子集，记作。例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的真子集。 相等集合：如果两个集合A和B的元素完全相同，那么称这两个集合相等，记作。例如，集合A = {x | }，集合B = {1, 2}，通过求解方程可知。 例题精选 【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C．A D．B 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【相似题2】（2024·山东聊城·一模）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2023·山东聊城·三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型三：集合的基本运算】 【知识讲解】 交集 1. 定义：由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的交集，记作，读作 “A 交 B”。 2. Venn 图表示：在 Venn 图中，交集就是表示集合 A 与集合 B 的两个区域重叠的部分。 3. 运算性质： · ，任何集合与其自身的交集就是它本身。 · ，任何集合与空集的交集都是空集。 · 若，则。 并集 1. 定义：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记作，读作 “A 并 B”。 2. Venn 图表示：在 Venn 图中，并集就是表示集合 A 与集合 B 的两个区域所覆盖的全部范围。 3. 运算性质： · ，任何集合与其自身的并集就是它本身。 · ，任何集合与空集的并集是该集合本身。 · 若，则。 补集 1. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。例如在研究实数范围内的问题时，全集（全体实数集）。 3. 补集定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作。 4. Venn 图表示：在 Venn 图中，补集是全集 U 中除去表示集合 A 的区域后剩下的部分。 4. 运算性质： · ，集合 A 与它的补集的并集是全集。 · ，集合 A 与它的补集的交集是空集。 · ，对集合 A 的补集再求补集就得到集合 A 本身。 例题精选 【例题1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·安徽合肥·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁鞍山·二模）设全集，若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·江苏宿迁·二模）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型四：Venn图的应用】 【知识讲解】 Venn 图表示集合关系 1. 子集关系：如果集合是集合的子集，即，那么表示集合的封闭区域完全包含在表示集合的封闭区域内部。比如，，在 Venn 图中，代表集合的区域在代表集合的区域之中。 2. 交集关系：集合与集合的交集，在 Venn 图中就是表示集合与集合的两个封闭区域重叠的部分。 3. 并集关系：集合与集合的并集，在 Venn 图中是表示集合与集合的两个封闭区域所覆盖的全部范围，即把两个区域合并在一起（重复部分只算一次）。 4. 补集关系：对于集合，其在全集中的补集，在 Venn 图中是全集所对应的整个区域中，除去表示集合的封闭区域后剩下的部分。 利用 Venn 图解题的一般思路 1. 分析题目条件：仔细阅读题目，明确已知的集合关系和所给的数据信息，确定哪些集合需要在 Venn 图中表示。 2. 绘制 Venn 图框架：先画出表示全集的图形，再根据集合间的包含、相交等关系，逐步画出各个集合对应的封闭区域。例如，如果已知，，那么先画一个大的区域表示全集，在内画一个区域表示，在内画两个有重叠部分的区域分别表示和。 3. 填充元素或数量：将题目中给出的集合元素或相关数量信息，填入 Venn 图的对应区域。如果已知集合中有 3 个元素，中有 1 个元素，就把这 1 个元素填在与重叠的区域，另外 2 个只属于的元素填在不与重叠的区域。 4. 借助图形推理计算：通过观察 Venn 图，利用集合运算的性质和逻辑关系进行推理和计算。比如要求的元素个数，就把、区域内的元素个数相加（注意重叠部分只算一次）；若求，则在全集对应的区域内，去掉所覆盖的区域，剩下区域对应的元素或数量就是结果。 【例题精选】 【例题1】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【相似题2】多选题（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型五：集合的新定义问题】 【例题精选】 【例题1】（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【例题2】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2022·陕西西安·一模）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 相似练习 【相似题1】（22-23高三上·广西贵港·阶段练习）定义差集且，已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2020·浙江·高考真题）已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏泰州·一模）已知集合均为全集的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 15．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（     ）. A． B． C． D． 16．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2024·江苏南通·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$