精品解析：陕西省咸阳市2025年高考模拟检测(二)数学试题

咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若是虚数单位，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足（，），则（ ） A. B. C. D. 8. 2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（ ） A. 294 B. 297 C. 298 D. 300 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为 B. 若，，，则的最小值为 C. 若，，则 D. 若，，，则的最小值为 10. 已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的半径为2 B. 满足的点M有1个 C. 的最大值为 D. 若点P在x轴上，则满足的点P有两个 11. 若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. ， B. C. ，使得，，成等比数列 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为__________. 13. 已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. （1）求角C； （2）已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 16. 为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. （1）估算成绩的中位数； （2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； （3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 17. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱AC，的中点，. （1）求证：平面平面ABF； （2）若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证为定值； （3）求内切圆的面积的最大值. 19. 已知，. （1）当时，求函数在的最小值； （2）若函数为增函数，求实数的取值范围； （3）若时，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市2025年高考模拟检测（二）数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域求得集合，然后得到，由集合子集个数公式求得结果. 【详解】∵，即，∴， ∴，一共有3个元素， ∴的子集个数为. 故选：C. 2. 若是虚数单位，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数化为一般形式，然后利用复数的模长公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定. 【详解】：，. 故选：D 4. 已知，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解. 【详解】令，，易知是减函数， 因为，又在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，， 则函数的最大值是， 故选：C. 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，依次求出，得到函数的解析式，代值计算即可. 【详解】由图易知，函数的最小正周期满足：，得到， 又，所以，解得， 又函数图象经过点，则有，解得， 所以，则， 故选：D. 7. 已知数列满足（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为， 则， 故选：B. 8. 2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（ ） A. 294 B. 297 C. 298 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法可求用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数. 【详解】用2025，66，2，0，2，5这6个数的全排列为，又0排在首位有排法， 又有2个2，它位之间的排序有种排法， 当2，0，2，5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有， 所以用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为. 故答案为：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为 B. 若，，，则的最小值为 C. 若，，则 D. 若，，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，以及1的妙用求解可判断ABC；换元可得，利用二次函数的最值求解可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号，则的最大值为，故A错误； 对于B因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，的最小值为，故B正确； 对于C，因为，，则， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为，，，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的半径为2 B. 满足的点M有1个 C. 的最大值为 D. 若点P在x轴上，则满足的点P有两个 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得． 因为点在圆上，所以，则， 因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点， 所以，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：AC. 11. 若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. ， B. C. ，使得，，成等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，B和D，利用和，，即可求解；对于C，利用，，，，，猜想，再利用数学归纳法证明猜想成立，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，因为，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 又，所以，故选项B正确， 对于选项C，假设，使得，，成等比数列，则有，即， 前几项：，，，，， 则，，， 猜想，当时，猜想成立， 假设时，猜想成立，即成立， 则时，则， 所以，对于任意的，都有成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，， ， 则 ， 所以选项D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，可求体积. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，的中点为，由，得到，再由，得到，得出，根据，求得，结合双曲线的定义，得到，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】解：如图所示，设双曲线的右焦点为，的中点为，连接， 因为，且为的中点，所以， 又因为，可得，即，所以， 则为等腰三角形，所以， 因为，所以，可得， 由双曲线的定义，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知方程结合其两根，进行变式，求得，利用该式再将不等式变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解. 【详解】因为分别是方程的两个根， 即.两式相减，则， 则不等式，可变为， 两边同时除以得，， 令，则在上恒成立. 整理可得，在上恒成立， 令， 则， ①当，即时，在上恒成立， 则在上单调递增， 又，则在上恒成立， ②当，即时，当时，， 则在上单调递减，则，不符合题意. 综上：，所以的最小值为1， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. （1）求角C； （2）已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，可求； （2）由题意可得，两边平方可求得. 【小问1详解】 因为，所以由余弦定理可得， 整理得，所以，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以，又， 两边平方得，又，，， 所以， 所以. 16. 为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. （1）估算成绩的中位数； （2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； （3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，求得，再由中位数的求法，即可求解； （2）根据题设有，再二项分布的概率公式及期望的计算公式，即可求解； （3）由题可知的可能取值为，再求出相应取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由图知，解得， 设中位数为，则，解得. 【小问2详解】 由题知成绩在内的概率为，， 的可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . 【小问3详解】 因为，则抽取的人中，有个成绩在，个在， 由题知的可能取值为， 又，，， 所以的数学期望为. 17. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱AC，的中点，. （1）求证：平面平面ABF； （2）若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 由四边形是正方形，所以 ， 由于，，故， 所以，即， 由题得平面，又平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）①平面的点法式方程为，平面的一般式方程为；② 【解析】 【分析】（1）根据已知及线面垂直的性质有、，进而有平面，再由线面垂直的性质得，最后由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，进而可求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 因为平面过定点， 所以平面的点法式方程为， 即平面的一般式方程为； ②设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证为定值； （3）求内切圆的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 由题意可知， ①当直线斜率不存在时，即直线方程为，∴， 即； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：，，，假设， 则联立方程组整理得， ∴,, ,, ∴ ， 综上所述：是定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距求得，由离心率求得，然后得到，写出椭圆方程； （2）讨论斜率是否存在，先得到斜率不存在时的值，然后讨论斜率存在时，设直线方程和交点坐标，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到点的横坐标与参数的关系，由焦点弦长公式求得线段，代入化简得到的值，从而得证； （3）由三角形的面积公式，将求内切圆面积最大值转化为求焦点三角形面积最大值，由（2）中的结论，讨论直线斜率不存在时焦点三角形的面积；直线斜率存在时通过根与系数的关系列出表示，由放缩法求得焦点三角形面积，从而得到焦点三角形面积的最大值，即得到圆的面积的最大值. 【小问1详解】 由题意知，则，，则，∴， ∴椭圆C的方程：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的周长， 设的内切圆的半径为，则， ∴当面积最大时，的内切圆的半径最大，即内切圆面积最大. ， 由（2）可知，①当直线斜率不存在时，， ②当直线斜率存在且不为0时， ， 令， ∴， 综上所述：，当直线斜率不存在时取得最大值， 此时圆的半径，圆的面积. 【点睛】方法点睛，由三角形面积与内切圆半径的关系，将求圆的面积的最大值转变为求焦点三角形面积的最大值，在用韦达定理表示出三角形面积的表达式后需借助放缩法来求得范围，然后得到结论. 19. 已知，. （1）当时，求函数在的最小值； （2）若函数为增函数，求实数的取值范围； （3）若时，，，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 因为时，，即，得到， 令，则， 令，则， 所以，即， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）对求导，利用基本不等式及导数与函数单调性间的关系，可得在上单调递增，即可求解； （2）对求导，根据题设有恒成，求出的最小值，即可求解； （3）令，根据条件得到，令，可得，然后累加可证得结论. 【小问1详解】 当时，，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在上恒成立，当且仅当时取等号，则在上单调递增， 所以函数在的最小值为. 【小问2详解】 因为，则， 因为函数为增函数，则恒成立， 由（1），当且仅当，即时取等号， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $