专题01 二元一次方程组（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题02 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） · 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 · 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） · 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） · 题型七 同解方程组问题（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） · 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） · 题型十 解三元一次方程组 · 题型十一 三元一次方程组的应用 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） 1．（23-24七年级下·山东日照·期中）已知方程是关于的二元一次方程， ． 2．（23-24七年级下·山东东营·阶段练习）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ） A． B．或1 C．1 D．2 3．（20-21七年级下·山东菏泽·期中）已知方程组是二元一次方程组，则（    ） A．1或 B．2或 C． D．2 4．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列选项中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22七年级下·山东威海·阶段练习）下列四组数值中，不是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·山东临沂·期末）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 9．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（　　） A． B． C． D． 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） 10．（22-23七年级下·山东潍坊·期末）已知方程组的一个解为，求m，n的值． 11．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．9 B． C． D．3 12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 是方程 的解，则 ( 的值为 ． 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） 14．（23-24七年级上·山东滨州·期末）解方程组： (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·山东济南·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 16．（23-24七年级下·山东济宁·期中）解方程组： (1) (2) 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） 17．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 18．（21-22七年级下·江西新余·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②－①得，∴③． ③×14得④． ①－④得，从而得． ∴原方程组的解是 (1)请运用上述方法解方程组． (2)请直接写出方程组的解是______ (3)猜测关于x，y的方程组的解，并加以验证． 19．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） 20．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在解方程组时，小刚正确解得，小莹因把c写错而解得，求的值． 21．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）已知方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解是；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解．若按正确的a，b计算，求原方程组的解． 22．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看． 题型七 同解方程组问题（难点） 23．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 25．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） 27．（23-24八年级上·山东青岛·期末）为丰富同学们的课余活动，学校成立了篮球课外小组，计划到某体育用品专卖店购买一批篮球．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元． (1)求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？ (2)学校在该专卖店购买A、B两种型号篮球共300个，经协商，专卖店给出如下优惠：A种篮球每个降价8元，B种篮球打9折，计算下来，学校共付费16740元，学校购买A、B两种篮球各多少个？ 28．（23-24八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ 29．（23-24七年级上·山东青岛·期末）2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 30．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 31．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 题型十 解三元一次方程组 32．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 33．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 34．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）用合适的方法解方程组： (1) (2) (3) (4) 题型十一 三元一次方程组的应用 35．（23-24七年级下·山东日照·期中）根据已知条件解决下列问题 (1)在等式，当时，；当时，；当时，．求，，的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值； ②求的平方根． 36．（22-23七年级下·山东·期中）【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ 37．（21-22七年级下·山东烟台·期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值． (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． $$专题02 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） · 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 · 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） · 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） · 题型七 同解方程组问题（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） · 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） · 题型十 解三元一次方程组 · 题型十一 三元一次方程组的应用 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） 1．（23-24七年级下·山东日照·期中）已知方程是关于的二元一次方程， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程，即可进行解答． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东东营·阶段练习）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（    ） A． B．或1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程得到，求解即可． 【详解】∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得， 故选：A． 3．（20-21七年级下·山东菏泽·期中）已知方程组是二元一次方程组，则（    ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，理解并掌握二元一次方程组满足的条件：1、组成方程组的每个方程都是整式方程，2、方程组共含有两个未知数，3、每个方程都是一次方程是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山东德州·期中）若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可求出的值． 【详解】∵方程是二元一次方程组， ∴， 解得：． 故选：A． 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列选项中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把四个选项中的x、y的值代入原方程看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，符合题意； B、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； C、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； D、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 7．（21-22七年级下·山东威海·阶段练习）下列四组数值中，不是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四个选项分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解． 【详解】解：A. 把代入，，左边，右边，左边右边，故符合题意， B. 把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意，     C.把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意，     D.把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二次一次方程解的定义是解此题的关键． 8．（22-23七年级下·山东临沂·期末）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入下列选项看是否使等式成立，即可判断． 【详解】解：把分别代入方程： 代入得，A选项不成立； 代入得，B选项不成立； 代入得，C选项不成立； 代入得，D选项成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，，解题关键要掌握二元一次方程组的解的定义． 9．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； B、把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； C、把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； D、把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：B． 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） 10．（22-23七年级下·山东潍坊·期末）已知方程组的一个解为，求m，n的值． 【答案】的值分别是， 【分析】将x，y的值代入原方程组得到关于m，n的二元一次方程组，然后求解此方程组即可得到m，n的值． 【详解】解：∵是方程组的一个解 ∴ 解这个方程组得， 答：m，n的值分别是，． 【点睛】此题考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的方法．能够将x，y的值代入原方程组得到关于m，n的二元一次方程组是解题的关键． 11．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．9 B． C． D．3 【答案】D 【分析】将代入得出二元一次方程组，两方程相减求出，再根据算术平方根的定义得出答案． 【详解】解：将代入二元一次方程组中， 得到：， ①②得：， ∴的算术平方根为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，加减法的应用，算术平方根的概念，解题的关键是熟练掌握加减法的应用． 12．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式即可得到答案. 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ ①＋②得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴， 故选：C 13．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 是方程 的解，则 ( 的值为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，把x，y的值代入方程组，求出和的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组中， 得，， 得，， 则， 故答案为：45． 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） 14．（23-24七年级上·山东滨州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． （2）解：原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 15．（23-24八年级上·山东济南·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为． 16．（23-24七年级下·山东济宁·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）化简后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ． ∴； （2） 化简，得 ， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴． 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） 17．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可． 【详解】解：设，， 方程组变形得：， 整理得：， 得：，即， 把代入得：， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18．（21-22七年级下·江西新余·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②－①得，∴③． ③×14得④． ①－④得，从而得． ∴原方程组的解是 (1)请运用上述方法解方程组． (2)请直接写出方程组的解是______ (3)猜测关于x，y的方程组的解，并加以验证． 【答案】(1) (2) (3)检验见解析 【分析】（1）先把两个方程相减得到 再利用加减法解方程即可； （2）先把两个方程相减得到 再利用加减法解方程即可； （3）先把两个方程相减得到 再利用加减法解方程即可；再把方程的解代入方程组中的两个方程进行检验即可． 【详解】（1）解： ②-①得： 即 所以： ①-③得： ∴方程组的解为： （2） ②-①得： 即 ③， ①-③得： ∴ ∴方程组的解为： （3） ①-②得： ③， ①-③得： ∴方程组的解为： 把代入①，左边右边， 把代入②，左边右边， 所以是方程组的解． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“根据方程组的系数特点选择合适的解法步骤”是解本题的关键． 19．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可； （2）利用整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：由①得：， 将③代入②得：， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理得， ， 把①代入②得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） 20．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在解方程组时，小刚正确解得，小莹因把c写错而解得，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，正确解方程组是解题关键．根据题意，得到关于、、的方程，求解再代入计算求值即可． 【详解】解：由题意得：， 由②得：， 由得：， 将代入①得：， 解得：， ． 21．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）已知方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解是；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解．若按正确的a，b计算，求原方程组的解． 【答案】 【分析】把甲的结果代入方程②求出的值，把乙的结果代入方程①求出的值，然后可确定出方程组，利用加减消元法解方程组即可得答案． 【详解】解：由题意，把代入方程得：，解得， 把代入方程得：，解得， 则方程组为， 由得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 22．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组 ，小明得出的答案是，小文得出的答案是 ．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，你能把小明、小文他们做的那道题写出来吗？试试看． 【答案】小明、小文他们做的那道题为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解． 【详解】解：由题意知： ， 又∵小文做错的原因是他把c看错了， ∴与a、b无关． 故， ∴ 解得：． ∴小明、小文他们做的那道题为 ． 题型七 同解方程组问题（难点） 23．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同， 解方程组可得：， 将代入可得：， 解得：， 将代入可得，原式， 即的值． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 25．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：， 由得③， ∴， 由得，解得， 将代入③得，解得， ∴， 将代入①得， 解得． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） 27．（23-24八年级上·山东青岛·期末）为丰富同学们的课余活动，学校成立了篮球课外小组，计划到某体育用品专卖店购买一批篮球．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元． (1)求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？ (2)学校在该专卖店购买A、B两种型号篮球共300个，经协商，专卖店给出如下优惠：A种篮球每个降价8元，B种篮球打9折，计算下来，学校共付费16740元，学校购买A、B两种篮球各多少个？ 【答案】(1)购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元 (2)学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用； （1）设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，根据题意列出方程组求解即可得； （2）购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个，根据A型篮球与B型篮球的优惠政策求出单价，然后列方程，解方程求解即可得． 【详解】（1）解：设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，由题意可得： ， 解得， 答：购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元； （2）解：设购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个． 28．（23-24八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元 (2)一共需要4600元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元． 由题意得，， 解得：， 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元． （2）解：元 答：一共需要4600元． 29．（23-24七年级上·山东青岛·期末）2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 【答案】(1)该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱 (2)该商场可获得利润2400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合该商家用13800元购进甲、乙两种水果共500箱，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每箱甲种水果的销售利润×销售数量（购进数量）+每箱乙种水果的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论． 【详解】（1）解：设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱， 根据题意得： ， 解得：． 答：该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该商场可获得利润2400元． 30．（23-24八年级上·山东青岛·期末）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 【答案】规定时间是12天，生产任务是4800床棉被 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组；设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的，每天生产480床棉被，刚好提前两天完成任务，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据题意得： ， 解得：， 答：规定时间是12天，生产任务是4800床棉被． 31．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨 (2)见解析 (3)租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，理解题意，列方程是解决问题的关键． （1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨” 列出方程求解即可； （2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案； （3）根据（2）所求，分别计算出三种方案的运费即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得， 解得，经检验，方程组的解符合题意． 答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨． （2）由（1），得， ∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或， ∴有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车2辆； 方案二：A型车5辆，B型车5辆； 方案三：A型车1辆，B型车8辆． （3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次， ∴方案一需租金：（元）； 方案二需租金：（元）； 方案三需租金：（元）． ∵ ∴最省钱的租车方案是方案三 答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元． 题型十 解三元一次方程组 32．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组， （1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． （2）先利用代入消元法得到，然后利用加减消元法求解即可； 利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 【详解】（1）解： 整理得， 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为； （2）解： 由①得， 将④代入②，③得， 整理得， 得， 解得， 将代入⑤得， 解得， 将，代入④得， ∴原方程组的解为． 33．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． （1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：（1） 原方程组可变为：， 得：， 解得： 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 34．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）用合适的方法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组， （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （3）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （4）方程组利用加减消元法求解即可． 利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 【详解】（1） 由①得③ 将③代入②得： 将代入③得： 所以原方程组的解为：； （2）原方程组可化为： 得：③ 得：④ 得：，解得： 将代入①中得： 所以原方程组的解为：； （3）方程组整理得：， 得：，即， 把代入①得：， 则不等式组的解集为； （4） 得：④ 得： 将代入③得： 将，代入②得： ． 题型十一 三元一次方程组的应用 35．（23-24七年级下·山东日照·期中）根据已知条件解决下列问题 (1)在等式，当时，；当时，；当时，．求，，的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分． ①求，的值； ②求的平方根． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，无理数的估算，实数的运算： （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）①先估算出，，据此即可求出a、b的值；②根据①所求代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，即，的整数部分为1， ∴的小数部分为，即； ②∵，， ∴ ． 36．（22-23七年级下·山东·期中）【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ 【答案】（1），；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元 【分析】（1）得，再求出即可；得，再求出即可； （2）设铅笔的单价为a元，橡皮的单价为b元，日记本的单价为c元，根据买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元列出方程组，求出即可得出答案． 【详解】解：（1） 得， ∴ 得， ∴； （2）设铅笔的单价为a元，橡皮的单价为b元，日记本的单价为c元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的应用，解题的关键是注意整体思想的应用． 37．（21-22七年级下·山东烟台·期中）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值． (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3)-24 【分析】（1）直接由两式相加和两式相减即可求解； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，列方程组，求得，再根据购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需钱为5m+5n+5p=5(m+n+p),整体代入求解即可； （3）根据新定义列出方程组为，求得，再由新定义得，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：， 由①-②可得：， 由可得：； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由2×①-②可得， ∴． 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由3×①-2×②可得：， 即． 【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，整体思想，新定义问题，熟练掌握加减消元法解方程组、整体思想的应用、对新定义的理解与应用是解题词的关键． $$