专题02 二元一次方程组（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题02 二元一次方程组（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） · 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 · 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） · 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） · 题型七 同解方程组问题（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） · 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） · 题型十 三元一次方程组的应用 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） 1．（22-23七年级下·贵州·阶段练习）若是关于的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 2．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 4．（20-21七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各组是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2023七年级下·浙江·专题练习）以下的各组数值是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 8．（2022八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（　　） A． B． C． D． 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） 9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若是方程的一个解，则代数式的值是（    ） A．3 B． C． D． 11．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则常数○和★的值分别为（  ） A．8和2 B．12和2 C．12和 D．8和 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知方程组的解满足，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．5 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 15．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）解方程组：． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组： (1)； (2)； (3)． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） 18．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 19．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人解关于的方程组，甲因看错，解得，乙将其中一个方程的写成了它的相反数，解得，求的值． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 22．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为；求的值． 题型七 同解方程组问题（难点） 23．（2024七年级下·浙江·专题练习）若与有相同的解，求a、b的值． 24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 25．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于，的二元一次方程组的解还满足，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 26．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 27．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的方程组只有唯一的一组解，则 ． 29．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） 30．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 31．（23-24七年级下·浙江·期中）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 32．（22-23八年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 33．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）某中学用1000元资金为全校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共350个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个） 普通医用口罩 0.8 2 N95口罩 4 8 (1)该校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？ (2)销售完这350个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？ 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）今年“国庆”期间，某大型超市先后两次购进同一种商品共件，两次的进价分别是元/件和元/件，总共投入资金元． (1)该超市两次分别购进这种商品多少件？ (2)当超市销售该种商品件后，出现滞销，于是将剩余商品打九折后全部售完，共获利元．求该超市打折前，给这种商品的定价多少元？ 35．（21-22七年级下·浙江温州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 35 50 雪容融 30 40 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 题型十 三元一次方程组的应用 36．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 37．（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下： （1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人； （2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40． 求这次智力竞赛的平均成绩． 38．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由① ②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ $$专题02 二元一次方程组（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） · 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 · 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） · 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） · 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） · 题型七 同解方程组问题（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） · 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） · 题型十 三元一次方程组的应用 题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数（易错） 1．（22-23七年级下·贵州·阶段练习）若是关于的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【答案】C 【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 4．（20-21七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 题型二 判断是否是二元一次方程（组）的解 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各组是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中，的值代入原方程，取使得方程左边=方程右边的选项，即可得出结论． 【详解】解：当时，方程左边，方程右边，， 方程左边=方程右边， 是二元一次方程的解，选项符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，了解方程组的解的意义是解题关键． 将代入各选项求解． 【详解】解：把代入，A选项符合题意． 不能和组成二元一次方程组，B选项不符合题意． 把代入，，C选项不符合题意． 把代入得，D选项不符合题意． 故选：A． 7．（2023七年级下·浙江·专题练习）以下的各组数值是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据所给的条件分别代入方程组的每一项，使原方程组成立的就是本题的答案． 【详解】解：A、把代入原方程组，方程组不成立， ∴本选项不符合题意； B、把代入原方程组，方程组成立， ∴本选项符合题意； C、把代入原方程组得，方程组不成立， ∴本选项不符合题意； D、把代入原方程组得，方程组不成立， ∴本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，在解题时根据已知条件代入原二元一次方程组是本题的关键． 8．（2022八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； B.是二元一次方程组，但是方程组的解不是，故该选项不符合题意； C.是二元一次方程组，但是方程组的解不是，故该选项不符合题意； D.是二元一次方程组，且方程组的解是，故该选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解并掌握一元二次方程组的定义是解题的关键 题型三 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值（重点） 9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得： 将代入方程得， ， 解得：， 即． 故选：D． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若是方程的一个解，则代数式的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键． 由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴， ∴， 故选：A． 11．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则常数○和★的值分别为（  ） A．8和2 B．12和2 C．12和 D．8和 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解．把解代入方程组中求解即可． 【详解】解：将的代入， 解得：，即★的值为， 将和代入得， 故选：D． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知方程组的解满足，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组，通过方程组，得到，即可解答．正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得到， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：A． 题型四 选用合适的方法解二元一次方程组（高频） 13．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据解二元一次方程的方法—代入消元法解答即可； （2）根据解二元一次方程的方法—加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 原不等式组的解集为； （2）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原不等式组的解集为． 14．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的消元思想是解题的关键． （1）把①代入②得：，将y的值代入①即可求出x的值； （2）可消去y求出x的值，将x的值代入①即可求出y的值． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原不等式组得解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴， ∴原不等式组得解为． 15．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解此题即可； （2）利用加减消元法解此题即可； （3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题． 【详解】（1）解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得： ， 所以原方程组的解是． （2）解： ，得： ， ，得： ， 解得：， 将代入①得： ， 解得：， 所以原方程组的解是． （3）解： 整理①，得： ， 将②代入③，得： ， 解得：， 将④代入③，得： ， 解得：， ，得： ， 解得：， 将代入⑤，得： ， 所以原方程组的解是． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可； （2）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可 【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得 故原方程组的解为 题型五 二元一次方程组的特殊解法（难点） 18．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 19．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是 (1)上述解题方法体现的数学思想是______； A．整体思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请你直接写出方程组的解是______． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，读懂题意，根据题中方法，利用加减消元法求解即可得到答案． （1）根据材料中解法，即可得到答案； （2）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，采用的是整体思想， 故选：A； （2）解：， 由②①，得，即③， ③，得④， ②④得． 从而可得， ∴原方程组的解是； （3）解：， 由②①，得③， ③，得④， ②④得，解得． 从而可得， ∴原方程组的解是． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（难点） 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人解关于的方程组，甲因看错，解得，乙将其中一个方程的写成了它的相反数，解得，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将代入得：，即可得出的值，将代入得：，即可得出的值，从而得解． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 乙将其中一个方程的写成了它的相反数，解得， 将代入得：， 解得：， 综上所述：． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，正确理解定义是解题的关键． 把，代入方程即可得到一个关于，的方程组，即可求得，的值，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程，得到：， 解得：． 故，，． 22．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为；求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次方程，将代入方程②，可求出值， 将 代入方程①，可求出值，再将其代入中，即可求出结论，将甲、乙得出的解代入未看错的方程中，求出的值是解题的关键． 【详解】解：将代入方程②得： 解得： 将代入方程①得： 解得： ． 题型七 同解方程组问题（难点） 23．（2024七年级下·浙江·专题练习）若与有相同的解，求a、b的值． 【答案】的值为，的值为3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，先由只含，的两个方程组成方程组，解出，．再把，代入方程和，组成关于，的方程组，解之得到，的值． 【详解】解：关于、的方程组与有相同的解， ∴方程与方程的解相同， 联立两方程得：，解得， 将代入方程与方程 得， 解得． 的值为，的值为3． 24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可． 【详解】（1）由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴， ∴． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 25．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于，的二元一次方程组的解还满足，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法．由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 26．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：B． 27．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 28．（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的方程组只有唯一的一组解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．由方程组只有唯一的一组解，得到，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组， ∴，即， 把代入方程组得：， ， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 题型九 实际问题与二元一次方程组（重点） 30．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？ 【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套 【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套， 由题意得： ， 解得：， 答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 31．（23-24七年级下·浙江·期中）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 【答案】(1)型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人 (2)租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人． （2）解：设租用型辆，型辆， 可得：， 因为，为正整数，所以方程的解为：，， 方案一：型1辆，型8辆，费用：元； 方案二：型5辆，型5辆，费用：元； 方案三：型9辆，型2辆，费用：元； 所以租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元． 32．（22-23八年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 33．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）某中学用1000元资金为全校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共350个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个） 普通医用口罩 0.8 2 N95口罩 4 8 (1)该校在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？ (2)销售完这350个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？ 【答案】(1)购进普通医用口罩300个，N95口罩50个 (2)560元 【分析】（1）设该校在大型药店购进普通医用口罩x个，口罩y个，依据题意可得方程组，解方程组即可求； （2）根据总利润销量（售价进价）进行计算即可得． 【详解】（1）解：设该校在大型药店购进普通医用口罩个，N95口罩个， 依题意，得：， 解得：． 答：该校在大型药店购进普通医用口罩300个，N95口罩50个． （2）解：（元） 答：销售完这300个普通医用口罩、口罩，该大型药店共获得利润560元． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，理解题意设未知数列出方程是解此题的关键． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）今年“国庆”期间，某大型超市先后两次购进同一种商品共件，两次的进价分别是元/件和元/件，总共投入资金元． (1)该超市两次分别购进这种商品多少件？ (2)当超市销售该种商品件后，出现滞销，于是将剩余商品打九折后全部售完，共获利元．求该超市打折前，给这种商品的定价多少元？ 【答案】(1)该超市第一次购进这种商品件，第二次购进这种商品件 (2)该超市打折前，给这种商品的定价为元 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次方程的应用， （1）设该超市第一次购进这种商品件，第二次购进这种商品件，根据“某大型超市先后两次购进同一种商品共件，两次的进价分别是元/件和元/件，总共投入资金元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该超市打折前，给这种商品的定价为元，根据共获利元．列出一元一次方程，解方程即可； 解题的关键：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组，（2）找准等量关系，列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进这种商品件，第二次购进这种商品件， 根据题意得：， 解得：， 答：该超市第一次购进这种商品件，第二次购进这种商品件； （2）设该超市打折前，给这种商品的定价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：该超市打折前，给这种商品的定价为元． 35．（21-22七年级下·浙江温州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 35 50 雪容融 30 40 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【答案】(1)20个，30个 (2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个 【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可． 【详解】（1）解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个， 有题意得 解得 答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个； （2）由表格得， 设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个， ∴35a+30b=600 ∴ ∵a，b为正整数 ∴可得， ∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键． 题型十 三元一次方程组的应用 36．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 37．（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下： （1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人； （2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40． 求这次智力竞赛的平均成绩． 【答案】49分 【分析】考查三元一次方程组的应用 ，先算出答对第1题，第2题，第3题的人数，等量关系为：答对第1题的人数答对第2题的人数；答对第2题的人数答对第3题的人数；答对第1题的人数答对第3题的人数，把相关数值代入即可求解；进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩． 【详解】解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为，，． ， 解得，，． 题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人 参赛总人数为：人， 平均得分为：分， 答：这次竞赛的平均得分为49分． 38．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由① ②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． $$