精品解析：广西壮族自治区崇左市凭祥市高级中学2024-2025学年高一下学期3月素质检测数学试题

广西崇左市普通高中2025年春季学期3月素质检测 高一 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分，每题的四个选项中只有一个选项是符合题意的） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知与的夹角为则（    ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义和运算律，计算向量的模即可. 【详解】由题意，， 则 故选：B. 5. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 6. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用不等式的解集是，得到-2与5是方程的两个根，进而利用韦达定理求出a、b、c三者的关系，再代入中求解. 【详解】由题意可得则，，从而等价于，即，解得． 故选：C 8. 已知函数，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据解析式判断出在R上单调递增，并利用单调性和中间值得到，故. 【详解】在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，则， 所以，即. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分.每题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数的性质令即可求解A，根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解B，根据求出，得到定义域可判断C，利用换元法即可求解D. 【详解】对于A， 令，则，则，故且的图象恒过定点，A正确， 对于B，命题：“”的否定是“” B错误， 对于C， 的定义域为，则定义域为满足， 解得，故定义域为，C错误， 对于D， 令，则， 故， 故，故D正确， 故选：AD 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 已知若则 B. 若，则 C. 则与的夹角正弦值为 D. 在平行四边形ABCD中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示可判断A；利用向量数量积运算律，可计算判断B；利用向量数量积的定义，可计算判断C；利用平行向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由可得，化简可得，所以当是非零向量时，.但题中没有这个前提条件，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为，所以.故C正确； 对于D，如图， 由， 所以，， 则故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数.则下列说法正确的是（    ） A. 的值域为 B. ，则 C. 当且时，有2个零点，则 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出在的值域判断A；由函数值求出值判断B；由零点个数求出参数的范围判断C；利用分段函数单调性单调性求解判断D. 【详解】对于A，，当时，，A错误； 对于B，，解得，B正确； 对于C，有2个零点，即直线与的图象有两个交点， ，当时，单调递减，，函数有一个零点， 函数在时必有一个零点，当时，， 因此，解得，C正确； 对于D，由函数在上单调递减，得，解得，D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，当且仅当取等号， 则的最小值为. 故答案为：2. 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可得到结果. 【详解】由题意得，，因为，所以， 所以，所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 14. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则的值为 _______ 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的周期性，再结合偶函数性质计算求解. 【详解】由，所以周期为4， 当时，，且是定义在上的偶函数， 则. 故答案为：. 四、解答题（共77分，要有关键的解题步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 【答案】（1）；（2）8 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算公式进行求解； （2）利用指数和对数的运算公式求解. 【详解】（1）原式 ； （2）由，，可得，． 所以. 16. （1）计算：的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用二倍角正弦公式及二倍角余弦公式化简，再应用弦化切代入求解. 【详解】（1） （2）因为，所以的终边不在坐标轴上，所以， 所以. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在定义域内单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 18. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． （1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； （3）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）14或22； （3）. 【解析】 【分析】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为根据已知得，，再由周期性及初始点求、，即可得解析式； （2）根据（1）及已知得，结合求解，即可得答案； （3）根据解析式，两座舱高度差绝对值为，结合正弦型函数的性质求取得最大值时的值. 【小问1详解】 设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为 由题意知，，则， 依题意，则， 当时，，可得，故. 【小问2详解】 令，即，整理得， 由，则，所以或，解得或， 所以或时，1号座舱与地面的距离为16米． 【小问3详解】 依题意，， 所以 ， 令，解得， 所以当，取得最大值． 19. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数单调递增区间和对称轴方程； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以. 【小问2详解】 令， 则， 所以的单调递增区间为; 令, 解得, 即的对称轴方程为. 【小问3详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得，或， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西崇左市普通高中2025年春季学期3月素质检测 高一 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分，每题的四个选项中只有一个选项是符合题意的） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知与的夹角为则（    ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分.每题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 命题：“”的否定是“” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 若函数，则 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 已知若则 B. 若，则 C. 则与的夹角正弦值为 D. 在平行四边形ABCD中，则 11. 已知函数.则下列说法正确的是（    ） A. 的值域为 B. ，则 C. 当且时，有2个零点，则 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，则的最小值为________． 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 14. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则的值为 _______ 四、解答题（共77分，要有关键的解题步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，，求ab的值. 16. （1）计算：的值； （2）若，求的值. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 18. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． （1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； （3）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 19. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数单调递增区间和对称轴方程； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $