专题03 平行四边形（16种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题03 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04添一个条件成为平行四边形 题型05利用平行四边形的判定与性质求解、证明 题型06与三角形中位线有关的求解问题 题型07根据矩形的性质求角度、线段长和面积 题型08矩形与折叠问题 题型09添一条件使四边形是矩形 题型10根据矩形的性质与判定求角度、线段长和面积 题型11利用菱形的性质求角度、线段长、面积和证明 题型12根据菱形的性质与判定求线段长和面积 题型13根据正方形的性质求角度、线段长和面积 题型14根据正方形的性质证明 题型15根据正方形的性质与判定证明 题型16（特殊）平行四边形的动点问题 ( 题型01 ) 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，中，平分交于点E，，的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则的周长是（   ） A．20 B．21 C．25 D．27 3.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，的对角线交于点O，若，的周长为29，则的值为 ． 4.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，的平分线交于点E，若，求、的度数． ( 题型0 2 ) 利用平行四边形的性质证明 1.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，的对角线、相交于点，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，，点F是延长线上一点，且，连接交于点E． 求证：． 3．（22-23八年级下·吉林白山·期中）在①；②，这两个条件中任选一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点在上．___________； 求证：．    4．（20-21八年级下·吉林通化·期中）如图，在中，点、分别在直线和上，连交于，交于，且，求证：． ( 题型0 3 ) 判断能否构成平行四边形 1.（22-23八年级下·吉林长春·期中）在下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一组对边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，四边形的对角线和相交于O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（  　） A．， B． C． D． 3．（22-23八年级下·吉林松原·期中）在下列四个选项中，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， ( 题型0 4 ) 添一个条件成为平行四边形 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 3.（20-21八年级下·吉林四平·期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是 ． 4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． ( 题型0 5 ) 利用平行四边形的判定与性质求解‘证明 1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，点P是内的一点，过点P作直线分别平行于，与的边分别交于G、F、H、E．则图中平行四边形的个数为（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 3.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 4.（20-21八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．直接写出四边形的周长______． 5.（24-25八年级上·吉林·期末）四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． ( 题型0 6 ) 与三角形中位线有关的求解问题 1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，是的中线，、分别是、的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．4 3.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 ． 4.（20-21八年级下·吉林延边·期中）如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ ( 题型0 7 ) 利用矩形的性质求角度、线段长和面积 1.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于O，点E，F分别是，的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（20-21八年级下·吉林·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为BC中点．若AC＝8，∠ACB＝30°，则OE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 4.（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，求的长度． ( 题型0 8 ) 矩形与折叠问题 1.（20-21八年级上·吉林长春·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若，，则EC的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 2.（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·吉林·期末）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，若的周长为12，则长方形的周长是 ． 4.（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长． ( 题型0 9 ) 添一条件使四边形是矩形 1.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中相交于点，，当 时，是矩形．    3．（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件 ，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）． 4.（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，，且，是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、，直接写出添加一个什么条件，使四边形是矩形？（不用说明理由） ( 题型 10 ) 根据矩形的性质与判定求角度、线段长和面积 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 2.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 3．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    4.（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：是矩形； (2)求四边形的面积． ( 题型 1 1 ) 利用菱形的性质求角度、线段长、面积和证明 1．（22-23八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3.（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是 ． 4.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； (2)在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． ( 题型 12 ) 根据菱形的性质与判定求线段长和面积 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，平分，若，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 2.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ． 3.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为的菱形． (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 4．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，，且，，． (1)试判定四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． ( 题型 13 ) 根据正方形的性质求角度、线段长和面积 1.（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形，若，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．1 3.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，正方形的边长为4，点Р为对角线上任意一点，E为上一点，且．则的最小值为 ． 4.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图②中，画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中，画一个面积为10的正方形． ( 题型 14 ) 根据正方形的性质证明 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·吉林白城·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿着AE翻折得到，点D的对应点F恰好落在对角线上，连接，若，则 ．    4.（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，四边形是正方形，点N在射线上，连接、、、，使，，． (1)求证：； (2)设． ①当时，______； ②______（用含有a的代数式表示）． ( 题型 15 ) 根据正方形的性质与判定证明 1.（23-24八年级下·吉林白城·期末）如图，点E为正方形的对角线的中点，在中，两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画矩形，使其面积为3． (2)在图②中画正方形． (3)在图③中画，使其面积为10． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，，E是对角线上一动点，连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接 (1)若点E到边的距离为3，则它到边的距离为______； (2)求证：矩形是正方形； (3)线段和线段的数量关系是______，位置关系是______. ( 题型 16 ) （特殊）平行四边形的动点问题 1.（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． (1)直接写出点与点重合时的值． (2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (3)当时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 一、单选题 1．（21-22八年级下·吉林·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 2．（21-22八年级下·吉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，于点E．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·吉林·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 6．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A和点B均在格点上． (1)在图1中画出一个以为边的平行四边形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画一个以为边的菱形，且点E和点F均在格点上； (3)在图3中画一个以为边的矩形，且点G和点H均在格点上． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 9．（23-24八年级下·吉林·期中）图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为6米，为米，求停车位的面积． 10．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04添一个条件成为平行四边形 题型05利用平行四边形的判定与性质求解、证明 题型06与三角形中位线有关的求解问题 题型07根据矩形的性质求角度、线段长和面积 题型08矩形与折叠问题 题型09添一条件使四边形是矩形 题型10根据矩形的性质与判定求角度、线段长和面积 题型11利用菱形的性质求角度、线段长、面积和证明 题型12根据菱形的性质与判定求线段长和面积 题型13根据正方形的性质求角度、线段长和面积 题型14根据正方形的性质证明 题型15根据正方形的性质与判定证明 题型16（特殊）平行四边形的动点问题 ( 题型01 ) 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，中，平分交于点E，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，得到，角平分线得到，再根据平行四边形的对角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故选D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则的周长是（   ） A．20 B．21 C．25 D．27 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的性质．利用平行四边形的对角线互相平分可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的周长， 故选：A． 3.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，的对角线交于点O，若，的周长为29，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的性质得出的值是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，即可得出的值． 【详解】解：平行四边形的对角线、交于一点，， ，，， 的周长为29， ， ． 故答案为：． 4.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，的平分线交于点E，若，求、的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据角平分线的定义得到，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得和的度数． 【详解】解：∵的平分线交于E，， ∴． ∴在平行四边形中：，． ( 题型0 2 ) 利用平行四边形的性质证明 1.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，的对角线、相交于点，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：A.，平行四边形对角相等， 故此选项正确，符合题意； B.，不能判断，故此选项不符合题意； C.，对角线不一定相等，故此选项不符合题意； D.，对角线不一定垂直，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键． 2.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，，点F是延长线上一点，且，连接交于点E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到，再结合可证，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（22-23八年级下·吉林白山·期中）在①；②，这两个条件中任选一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点在上．___________； 求证：．    【答案】选择①，证明见解析；选择②，证明见解析 【分析】选择①：由平行四边形的性质得到，，进而可证，则； 选择②：由平行四边形的性质得到，进而证明，则． 【详解】解：选择①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对角相等且平行，对角线互相平分是解题的关键． 4．（20-21八年级下·吉林通化·期中）如图，在中，点、分别在直线和上，连交于，交于，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E=∠F，利用ASA证明△AFG≌△CEH，由其性质得AG=CH． 【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C， ∴∠E=∠F， 又∵BE=DF，AF=AD+DF，CE=CB+BE， ∴AF=CE， 在△CEH和△AFG中， ， ∴△AFG≌△CEH（ASA）， ∴AG=CH． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． ( 题型0 3 ) 判断能否构成平行四边形 1.（22-23八年级下·吉林长春·期中）在下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一组对边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意； B、有一组对边相等，一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题，故本选项符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，四边形的对角线和相交于O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（  　） A．， B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：A、由，，四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，本选项符合题意； B、，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 3．（22-23八年级下·吉林松原·期中）在下列四个选项中，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．，，一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B．通过，不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C．，，一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D．由，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定条件：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( 题型0 4 ) 添一个条件成为平行四边形 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确． D．∵， ∴， ∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 2．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B． ， ， ， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．根据，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； D． ，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3.（20-21八年级下·吉林四平·期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】利用平行四边形的判定即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴ ，即 ， ∴可添加 ， ∴四边形ADFC为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键． （1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可； （2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可； （3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作； （2）解：如图，四边形即为所求作； （3）解：如图，四边形即为所求作． ( 题型0 5 ) 利用平行四边形的判定与性质求解‘证明 1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，点P是内的一点，过点P作直线分别平行于，与的边分别交于G、F、H、E．则图中平行四边形的个数为（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴图中共有9个平行四边形． 故选：D． 3.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 【答案】13 【分析】由条件可知ABCD，ADBC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC． 【详解】解：由条件可知ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴BC=AD=13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 4.（20-21八年级下·吉林·期末）如图，四边形中，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．直接写出四边形的周长______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据对角线互相垂直的四边形是菱形可得四边形BDFC是菱形，可求BD的长；再根据勾股定理可求AB的长，根据周长的定义可求四边形ABCF的周长． 【详解】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°， ∴BC∥AD， ∴∠CBE=∠DFE， 在△BEC与△FED中， ， ∴△BEC≌△FED， ∴BE=FE， 又∵E是边CD的中点， ∴CE=DE， ∴四边形BDFC是平行四边形； （2）∵BF⊥CD，四边形BDFC是平行四边形， ∴四边形BDFC是菱形， ∵AD=10cm，AF=30cm， ∴DF=30-10=20cm， ∴BD=BC=CF=DF=20cm， ∵在Rt△BAD中， AB=cm， ∴四边形ABCF的周长是30+20×2+=70+（cm）． 故四边形ABCF的周长是（70+）cm． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 5.（24-25八年级上·吉林·期末）四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先求得，再利用平行四边形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ，， ， 平行四边形的面积． 故答案为：44． ( 题型0 6 ) 与三角形中位线有关的求解问题 1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键； 根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以对角线、互相平分， 即O是的中点， 又是的中点， 所以是中位线， 所以， 所以． 故选：B． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，是的中线，、分别是、的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵、分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 3.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】此题考查的是三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故答案为：8． 4.（20-21八年级下·吉林延边·期中）如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ 【答案】（1）见解析；（2）16 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，即可求证； （2）根据三角形中位线定理，可得，从而得到 ，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点， ∴， ∴OE=OG，OF=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点， ∴， ∴ ， ∵的周长为2（AB+BC）=32， ∴ ， ∴ ， 由（1）知：四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH的周长为 ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键． ( 题型0 7 ) 利用矩形的性质求角度、线段长和面积 1.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵ ∴，， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于O，点E，F分别是，的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，中位线性质，根据相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键．先根据中位线性质定理求出，再根据矩形的性质，求出． 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴； 故选：C． 3．（20-21八年级下·吉林·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为BC中点．若AC＝8，∠ACB＝30°，则OE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 【答案】A 【分析】证△AOB是等边三角形，得AB=OA=4，再证OE是△ABC的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC=8， ∴∠ABC=90°，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，AC=BD， ∴OB=OA， ∵∠ACB=30°， ∴∠BAC=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=4， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB=2， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 4.（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，求的长度． 【答案】 【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质，根据矩形的性质得，进而可得，再根据三角形中位线的性质即可求解，熟练掌握矩形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键． 解：四边形是矩形，， ，， ， 点、是，的中点， 是的中位线， ． ( 题型0 8 ) 矩形与折叠问题 1.（20-21八年级上·吉林长春·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若，，则EC的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=10，AB=CD=6， ∴∠B=∠BCD=90°， 由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x． 在Rt△ABF中，， ∴CF=BC-BF=10-8=2， 在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2， ∴（6-x）2=x2+22， ∴x=， ∴EC=． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键． 2.（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·吉林·期末）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，若的周长为12，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查长方形性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、长方形周长等知识，先由长方形性质得到，，再由全等三角形的判定得到，进而得出的周长与的周长均为12，表示出长方形的周长代值求解即可得到答案，熟练掌握长方形性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， 把一张长方形的纸片沿对角线折叠， ，， ，， 在和中， ， 的周长为12， 的周长为12， 长方形的周长是 ． 4.（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形为矩形，得，，，，再结合折叠性质，得，由平行线的性质，得，再进行角的等量代换以及等角对等边，最后根据勾股定理列式，计算即可作答． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，， 沿折叠到，与交于点， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得． 即的长为． ( 题型0 9 ) 添一条件使四边形是矩形 1.（23-24八年级下·吉林·期中）如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键； 根据矩形的判定定理即可解答． 【详解】四边形为平行四边形，， 四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 故答案为：（答案不唯一）． 2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中相交于点，，当 时，是矩形．    【答案】4 【分析】根据矩形的判定与性质即可解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， 要使四边形为矩形，则， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 3．（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件 ，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，添加条件， ∴平行四边形为矩形 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 4.（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，，且，是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接、，直接写出添加一个什么条件，使四边形是矩形？（不用说明理由） 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证出DB＝EC，即可用一组对边平行且相等进行证明； （2）先证四边形DBEA是平行四边形，再添加条件使对角线相等即可． 【详解】（1）证明：∵E是AC中点， ∴AC＝2EC． ∵AC＝2DB， ∴DB＝EC． 又∵DB∥EC， ∴四边形DBCE是平行四边形． （2）解：添加AB＝BC，理由如下： 连接AD、BE，如图， 由（1）可得DB∥AE，DB＝AE， ∴四边形DBEA是平行四边形． ∵BC＝DE，AB＝BC， ∴AB＝DE． ∴四边形DBEA是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键． ( 题型 10 ) 根据矩形的性质与判定求角度、线段长和面积 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，先证明四边形是矩形，可得，从而得到当最小时，取得最小值，当时，线段的值最小，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，取得最小值， ∴由垂线段最短可得，当时，线段的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B 2.（20-21八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO； 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD； ∵S△BCD＝BC•CD＝12，故S阴影＝12． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握矩形的性质是解题的关键．也可利用中心对称解决此题． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 4.（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查等边三角形的性质，矩形的判定，根据等边三角形性质求出，根据平行四边形的性质求出，，求出，根据矩形的判定得出即可； （2）本题考查矩形的性质，勾股定理，求出、根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不符合题意舍去）， ∴的面积是． ( 题型 1 1 ) 利用菱形的性质求角度、线段长、面积和证明 1．（22-23八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的四条边相等结合菱形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边相等是解题的关键． 2.（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线平分一组对角求出，再根据菱形邻角互补求出，由此即可利用周角的定义求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线平分一组对角，菱形邻角互补是解题的关键． 3.（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是 ． 【答案】27 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】在菱形中，有， ∴， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了菱形的性质和计算菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 4.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； (2)在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度作图，掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键． （1）根据菱形性质得到和互相平分，，则四边形是菱形； （2）令成为正方形的一条对角线，且到的距离2即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：平行四边形如图所示： ( 题型 12 ) 根据菱形的性质与判定求线段长和面积 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，平分，若，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定与性质．解题的关键是根据平行四边形的性质得出． 利用平行线的性质可证，，又平分，得，得，得四边形为菱形，再根据菱形的性质求周长即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 平分， ， ， ， 四边形为菱形， 四边形的周长． 故选：． 2.（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·吉林·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为的菱形． (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的面积公式，勾股定理的运用，即可． （1）根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半，即可； （2）根据勾股定理的运用，即可． 【详解】（1）如图所示：菱形即为所求． ∵菱形是面积为 ∴当，或，时，四边形，均为面积为12的菱形． （2）如图2所示即为所求．（答案不唯一） ∵每个小正方形的边长均为 ∴，且；，，； ∴，符合题意； 4．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，，且，，． (1)试判定四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意推出平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可判定四边形是菱形； （2）根据矩形的性质求出，根据菱形的性质求出，解直角三角形求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴ ∴ ∴， ∴菱形的面积． ( 题型 13 ) 根据正方形的性质求角度、线段长和面积 1.（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质；根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 故选：A． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形，若，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用正方形性质及勾股定理得到，再由等边三角形及勾股定理即可得到． 【详解】解：在正方形中，，则， 为等边三角形， ， 为正方形对角线的中点， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查利用正方形及等边三角形性质求线段长，熟练掌握正方形及等边三角形的性质是解决问题的关键． 3.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，正方形的边长为4，点Р为对角线上任意一点，E为上一点，且．则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，连接，交与点F，连接，根据、C关于对称，得出，说明，得出当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当、P、E三点共线时， 最小，且最小值为，根据勾股定理和正方形的性质，求出结果即可． 【详解】解：连接，交与点F，连接， ∵四边形为正方形， ∴、C关于对称， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当、P、E三点共线时，最小，即点P与点F重合时，最小，最小，且最小值为， ∵正方形的边长为4，， ∴，， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 4.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图②中，画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中，画一个面积为10的正方形． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据网格的特点，画出一个两条直角边分别为3和4的直角三角形，此时斜边长为5； （2）根据网格的特点画出一个底为3，高为2的平行四边形即可； （3）根据网格的特点画出一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ，，； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图所示，正方形即为所求． ， 则． 【点睛】本题主要考查了格点作图，勾股定理和网格问题，平行四边形和正方形性质，熟知勾股定理是解题的关键． ( 题型 14 ) 根据正方形的性质证明 1.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，本题的解题关键是知道题中重合的部分的面积是不变的，总是等于正方形面积的．根据正方形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出，即可求出四边形的面积三角形的面积，即可得出答案． 【详解】解：如图： 连接和，则和都过点O， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质得，，证明，得，再根据三角形的内角和定理可得结论．掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 3．（22-23八年级下·吉林白城·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿着AE翻折得到，点D的对应点F恰好落在对角线上，连接，若，则 ．    【答案】 【分析】作，交于点G，由折叠和正方形可知，、是等腰直角三角形，由勾股定理可求出，进而求出． 【详解】解：如图，作，交于点G， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， 解得： ∵， ∴， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键． 4.（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，四边形是正方形，点N在射线上，连接、、、，使，，． (1)求证：； (2)设． ①当时，______； ②______（用含有a的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①70；②． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，用证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质，，再利用余角性质证明，即可由得出结论． （2）①根据，得出，再根据四边形是正方形，得到，即可由求解； ②仿 ①求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， （2）解：①， ∴ 四边形是正方形， ， ∵， ∴， 故答案为：70； ②， ∴ 四边形是正方形， ， ∵， ∴． 故答案为：． ( 题型 15 ) 根据正方形的性质与判定证明 1.（23-24八年级下·吉林白城·期末）如图，点E为正方形的对角线的中点，在中，两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等，角平分线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点于点，于点，证明四边形是正方形，进而证明，得到，即四边形的面积等于正方形的面积，从而求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点于点，于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积是4， ， ， ，， ， 故选：C 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画矩形，使其面积为3． (2)在图②中画正方形． (3)在图③中画，使其面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定作出图形； （3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，四边形即为所求； （2）解：如图②中，四边形即为所求； （3）解：如图③中，四边形即为所求． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，，E是对角线上一动点，连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接 (1)若点E到边的距离为3，则它到边的距离为______； (2)求证：矩形是正方形； (3)线段和线段的数量关系是______，位置关系是______. 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)相等，互相垂直 【分析】此题考查了正方形的性质和判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）作于点Q，则，于点P，根据角平分线的性质即可得答案； （2）证明四边形是矩形．再证明．则，即可证明矩形是正方形； （3）证明，则，，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，作于点Q，则，于点P， ∵四边形是正方形， ． ∵，， ． ∴点E到边的距离为； 故答案为：3； （2）∵， ∴四边形是矩形． ． ∵四边形是矩形， ． ． ∵，由（1）可知，， ． ∴ ∴矩形是正方形； （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，线段和线段的数量关系是相等，位置关系是互相垂直， 故答案为：相等，互相垂直． ( 题型 16 ) （特殊）平行四边形的动点问题 1.（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可； （2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解； （3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可； （4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线与之间的距离是， ∵，平行四边形的面积为， ∴， ∴，即直线与之间的距离是， （2）过点作于，如图所示： ∵直线与之间的距离是， ∴， ∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动， ∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，， ∴四边形的面积 ∴； （3）过点作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得，不符合题意． ∴当PQ⊥BC时，t的值为或； （4）∵平行四边形的面积为， ∴当平分平行四边形的面积时，， 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得． 综上所述，当平分平行四边形的面积时或或． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． (1)直接写出点与点重合时的值． (2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (3)当时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2) (3)2或 (4)4 【分析】（1）由题意可得，即可； （2）根据题意可得，从而得到，即可； （3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，即可解决问题； （4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为5； （2）解：当点Q沿运动时， 由题意得：， ∴， 即的长为； （3）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， 分两种情况： 点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， 同①得：， ∴，解得：， 综上所述，当时，t的值为2或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 当点Q沿运动时， ∵， ∴， 当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 如图，当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为4或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键． （1）在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案； （2）在四边形中，，当时，四边形是平行四边形，列方程解方程即可； （3）由四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中求解的答案，分析看此时能否为菱形，求出，即可得到不可能为菱形． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴当时，四边形是矩形， ∴解得 ∴当时，四边形是矩形； （2）当时，四边形是平行四边形， ∴解得：， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）得， ∴． 过点D作于点R， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∴四边形P不可能是菱形． 一、单选题 1．（21-22八年级下·吉林·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的定义、菱形的判定、正方形的判定分别进行判断即可． 【详解】解：A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项错误，不符合题意； B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； C．四条边相等的四边形是菱形，故选项正确，符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、矩形的定义、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关判定和定义是解题的关键． 2．（21-22八年级下·吉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，于点E．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行四边形的性质．熟练掌握三角形内角和定理，平行四边形的性质是解题的关键． 由题意求，由平行四边形，则，求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平行四边形， ∴， 故选：C． 4．（21-22八年级下·吉林·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点， ∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合， ∴阴影部分的面积等于空白部分的面积， ∴阴影部分的面积＝×矩形的面积， ∵，， ∴AB＝2， ∴阴影部分的面积＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 6．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，正方形的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分，利用正方形的性质和勾股定理可得，，再由勾股定理即可求出的长，由作图得出垂直平分是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A和点B均在格点上． (1)在图1中画出一个以为边的平行四边形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画一个以为边的菱形，且点E和点F均在格点上； (3)在图3中画一个以为边的矩形，且点G和点H均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质： （1）如图所示，取格点C、D，连接，四边形即为所求； （2）如图所示，取格点E、F，连接，四边形即为所求； （3）如图所示，取格点G、H，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形是平行四边形； 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ∴，， 是的中点， ， ， ， ∵即， 四边形是平行四边形． 9．（23-24八年级下·吉林·期中）图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为6米，为米，求停车位的面积． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)平方米 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点作于点，有平行四边形的性质得到，利用平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ， 在中，， （平方米）， 答：停车位的面积为平方米． 10．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 【答案】(1) (2)点G的速度为3或1或1.5； 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等. （1）根据条件证明四边形是平行四边形即可求解； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得：（舍） 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得： ∴； 综上，点G的速度为3或1或1.5； 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$