第四单元 正比例和反比例（知识清单）-2024-2025学年六年级数学下学期期中复习讲练测（北师大版）

第四单元 正比例和反比例（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、生活中存在着大量互相依存的量，如：速度、时间和路程；单价、数量和总价；工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化，这样的两个变量就叫作相关联的量。 2、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为=k（一定）。 3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 4、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。 5、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。 6、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为x·y=k（一定）。 7、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。 02 重点提炼 1、结合具体情境，认识“变化的量”，体会两个变量之间的关系。 2、在具体的情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。 3、通过具体情境认识正比例的意义，并能正确判断成正比例的量。 4、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 5、结合具体的情境，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象。 6、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。 7、利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。 8、通过具体情境认识反比例的意义，并能正确判断成反比例的量。 9、能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。 03 易错集锦 易错点：正比例和反比例的判断。 误区点拨： （1）正、反比例关系的判断发生错误。 （2）首先，要判断两个量是否为相关联的量，即其中的一个量的变化是否会引起另一个量发生变化；其次，如果这两个量的积一定就成反比例关系，如果这两个量的比值一定就成正比 例关系。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一辆汽车，行驶1千米的耗油量一定，第一次行驶60千米，耗油5L；第二次行驶162千米，耗油xL，列比例为（ ），x的值为（ ）。 【答案】5∶60＝x∶162 13.5 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。耗油总量÷行驶的距离＝汽车行驶时每千米的耗油量（一定），耗油量与所行路程的商一定，它们成正比例关系。据此写出关系式；求得x的值即可。 【解答】5∶60＝x∶162 则60x＝162×5 x＝810÷60 x＝13.5 【点评】本题考查了成正比例关系的判断及根据成正比例关系解决问题，需灵活使用合适的解题方法。 2．按要求填写下面的表格。 下表中m和n两个量成正比例。 m 0.8 2 （ ） （ ） n 2 （ ） 4 1.5 1.4 【答案】1.6 0.56 5 【分析】两种相关联的量成反比例关系，那么它们的乘积一定；已知m和n成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解答】0.8∶2＝m∶4 解：2m＝0.8×4 2m＝3.2 m＝3.2÷2 m＝1.6 0.8∶2＝m∶1.4 解：2m＝0.8×1.4 2m＝1.12 m＝1.12÷2 m＝0.56 0.8∶2＝2∶n 解：0.8n＝2×2 0.8n＝4 n＝4÷0.8 n＝5 m 0.8 2 1.6 0.56 n 2 5 4 1.5 1.4 【点评】根据正比例的意义列出相应的正比例方程是解题的关键。 3．已知x，y均不为0，且。 （1）x与y成（ ）比例，x∶y的值是（ ）。 （2）x与y的最小公倍数是（ ）。（填“x”或“y”） 【答案】（1）正 2 （2）x 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。再求出比值； （2）两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数和每一个独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，最小公倍数就是较大的那个数；如果两个数为互质数，两个数的最小公倍数是两个数的乘积。 【解答】（1）8∶x＝4∶y 4x＝8y x∶y＝8∶4＝2（一定），x和y成正比例； x∶y＝2 x与y成正比例，x∶y的值是2。 （2）x∶y＝2， x÷y＝2，x和y成倍数关系，最小公倍数是x。 x与y的最小公倍数是x。 【点评】熟练掌握正比例意义和辨别、反比例意义和辨别，以及最小公倍数的求法。 4．柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 （1）每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（ ）。与成（ ）比例关系。 （2）如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（ ）箱。 【答案】（1）＝300 反 （2）20 【分析】（1）结合表格中的数据发现：每箱核桃的质量×装的箱数＝核桃的总质量（一定），乘积一定，则每箱核桃的质量与装的箱数成反比例关系，用含字母的式子表示数量关系。 （2）已知每箱核桃的质量是15千克，用核桃的总质量除以每箱核桃的质量，即是这批核桃的箱数。 【解答】（1）4×75＝300（千克） 5×60＝300（千克） 6×50＝300（千克） 10×30＝300（千克） ＝300（一定），乘积一定，则与成反比例关系。 填空如下： 每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（＝300）。与成（反）比例关系。 （2）300÷15＝20（箱） 如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（20）箱。 5．下面是某家造纸厂今年6月上旬生产时间与生产量的关系图。请根据图回答问题。 （1）这家造纸厂4天的生产量是（ ）吨；生产640吨纸需要（ ）天。 （2）这家造纸厂的生产量和生产时间成（ ）。（填“正比例”或“反比例”） （3）点（7，560）表示的含义是（ ）。 【答案】（1）320 8 （2）正比例 （3）生产时间为7天的生产量是560吨 【分析】（1）观察图像可知，横轴表示生产时间，竖轴表示生产量。图像上表示4天生产时间的点对应的生产量是320吨；表示640吨生产量的点对应的生产时间是8天。据此解答。 （2）这个图像是正比例图像，则这家造纸厂的生产量和生产时间成正比例。 （3）7表示生产时间，560表示对应的生产量，据此解答。 （1）这家造纸厂4天的生产量是320吨；生产640吨纸需要8天。 （2）这家造纸厂的生产量和生产时间成正比例。 （3）点（7，560）表示的含义是生产时间为7天的生产量是560吨。 【点评】本题考查了正比例的辨认和正比例图像的认识。掌握正比例的意义是解题的关键。 6．一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶的时间和路程如下，把下表填完整。从表中你发现了什么规律？ 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 路程/千米 90 180 270 360 （ ） （ ） （ ） （ ） 分析与解答：随着时间的增加，路程也在（ ），路程与时间的比值（也就是速度）相同，就是比值一定，所以路程和时间（ ）。 【答案】450 540 630 720 增加 成正比例 【分析】根据路程＝速度×时间即可填写表格；接下来根据若两个量的比值一定，则这两个量成正比例即可得到答案。 【解答】 90×5＝450（千米） 90×6＝540（千米） 90×7＝630（千米） 90×8＝720（千米） 从表中我发现：随着时间的增加，路程也增加，路程与时间的比值相同，就是比值一定，所以路程和时间成正比例。 【点评】本题主要考查正比例的知识，解题关键要掌握正比例的定义。 7．看图回答问题。 （1）汽车行驶的路程与时间成（ ）比例。 （2）由图可知，汽车行驶800km需要（ ）小时。 （3）由图可知，汽车6小时能行驶（ ）km。 【答案】（1）正 （2）16 （3）300 【分析】（1）取几个时间点的路程，用对应的路程除以时间，观察商是否一定，商一定就是正比例。 （2）用路程800千米除以速度即得需要的时间。 （3）用速度乘所行驶的时间6小时即是路程。 【解答】（1）100÷2＝50（千米） 200÷4＝50（千米） 300÷6＝50（千米） …… 汽车行驶的路程与时间的商一定，成（正）比例。 （2）800÷50＝16（小时） 汽车行驶800km需要（16）小时 （3）6×50＝300（千米） 汽车6小时能行驶（300）千米。 【点评】判断汽车行驶的路程与时间成正比例还是反比例是解答的关键。看两个相关联的量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 二、判断题 8．把600mL水倒入不同的圆柱形容器，容器中水的高度与容器底面积成反比例。（ ） 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】圆柱的体积V＝Sh＝600（mL），因为水的体积一定，也就是说容器中水的高度与容器底面积的积一定，则容器中水的高度与容器的底面积成反比例。所以原题说法正确。 故答案为：√ 9．一件商品八五折出售，现价和原价成正比例。（ ） 【答案】√ 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；据此解答。 【解答】由分析可得：现价÷原价×100%＝折扣（一定），商一定，则现价与原价成正比例，原题说法正确。 故答案为：√ 10．若，则a与b成反比例。（ ） 【答案】√ 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时减去一个数，等式不变，即ab＝13，根据反比例的意义：当两个相关联的量乘积一定，则成反比例，据此即可判断。 【解答】由分析可知： ab＝11（一定），则a和b的乘积一定，所以a与b成反比例关系，原题说法正确。 故答案为：√ 【点评】本题主要考查反比例的意义，熟练掌握它的辨认方法并灵活运用。 11．乐乐去学校，去时每分走60米，返回时每分走50米，她往返的平均速度一定是55米/分。（ ） 【答案】× 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，时间和速度成反比，据此求出去时和返回用的时间的比是多少；然后根据路程÷时间＝速度，用往返的路程除以往返用的总时间，求出她往返的平均速度是每分钟走多少米即可。 【解答】乐乐去时和返回用的时间的比是：50∶60＝5∶6， 设去时用的时间是5t，则返回用的时间是6t， （60×5t×2）÷（5t＋6t） ＝600t÷11t ＝600÷11 ＝54（米/分） 故答案为：× 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 12．下图可知道时间和路程成反比。（ ）   时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 【答案】× 【分析】据表格中的数据可知，速度一定，而速度＝路程÷速度，所以这两个量成正比例关系。 【解答】＝速度（一定），符合正比例的意义，所以路程与时间成正比例关系，题目描述错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了正比例和反比例的辨识。 三、选择题 13．下面每组中的两个量，成正比例关系的是（    ）。 A．一袋大米50千克，大米的袋数和总质量 B．小明的年龄和身高 C．小丽从家到学校，走了的路程和未走的路程 D．行驶一段路程，行驶的速度和所用的时间 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（或商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。如果既不是比值（或商）一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【解答】A．大米的总质量÷大米的袋数＝一袋大米50千克（一定），商一定，所以大米的袋数和总质量成正比例关系； B．人的身高与年龄的比值、以及乘积都是不一定的，所以小明的年龄与身高有关系，但不成比例； C．走了的路程＋未走的路程＝小丽从家到学校的路程（一定），和一定，所以走了的路程和未走的路程不成比例。 D．行驶的速度×所用的时间＝行驶一段的路程（一定），乘积一定，所以行驶的速度和所用的时间成反比例关系。 故答案为：A 14．下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的是（    ）。 ①正比例的图象是一条直线    ②一个人的年龄和体重既不成正比例也不成反比例 ③圆锥的底面积一定，它的体积和高成反比例 ④从学校去劳动实践基地的路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，正比例图像是一条经过原点的直线；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【解答】①正比例的图象是一条直线，说法正确； ②一个人的年龄和体重既不成正比例也不成反比例，说法正确； ③圆柱的体积÷高＝底面积÷3，圆锥的底面积一定，它的体积和高成正比例，原说法错误； ④已走的路程＋剩下的路程＝总路程，从学校去劳动实践基地的路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例，说法正确。 正确的是①②④。 故答案为：B 15．把一根木料锯成6段要10分钟，若锯成9段要用x分钟，正确的列式是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据题意可知，把一个木料锯成n段，就要锯（n－1）次，用时间除以锯的次数，这题考查正比例的应用，即锯一次的时间一定， 说明时间与次数的比值一定，据此才能列出比例即可求出答案。 【解答】因为把一根木料锯成6段，要锯（6－1）次，若锯成9段，要锯（9－1）次， 锯一次的时间一定，即比值一定，所以正确的列式是。 故答案为：B 16．一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？ 解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（    ）。 A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160） 【答案】B 【分析】根据速度＝路程÷时间，用800÷10即可求出火车的速度，然后根据时间＝路程÷速度，用160÷（800÷10）即可求出行完全程还需要多少小时； 如果列方程解决问题，则设完全程还需要x小时，速度不变，路程和时间成正比例，列比例为：800∶10＝160∶x； 也可以用800÷160求出800千米里面有几个160千米，也就是5个，5个160千米需要花10小时，则用10÷5即可求出160千米需要花多少小时；据此解答。 【解答】根据分析可知，用列算式解答可以是160÷（800÷10）和10÷（800÷160）； 如果用列方程解决问题，设还需要x小时。列方程为：10∶800＝160∶x，也就是＝。 其中解答错误的是：设还需要x小时。10∶800＝160∶x。 故答案为：B 【点评】本题主要考查了灵活解应用题的方法，掌握正比例的应用是解答本题的关键。 17．购买鸡蛋的数量和总价成正比例关系的图像是（    ）。 A．B．C． 【答案】A 【分析】根据正比例的意义：两种相关联的量中相对的两个数的比值一定，就是正比例关系，正比例的图形是一条经过原点的直线，购买鸡蛋的数量和总价成正比例关系，图像是经过原点的直线，据此解答。 【解答】A．，是经过原点的直线，是正比例图形； B．，经过原点，但不是直线，不是正比例图形； C．，经过原点，但不是直线，不是正比例图形。 故答案为：A 【点评】根据正比例图形的特征进行解答。 四、解答题 18．装修工人给某公司会议室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下表所示。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 150 100 75 … （1）判断每块地砖的面积和所需地砖数量是否成反比例？并说明理由。 （2）若每块地砖的面积是0.5平方米，一共需要多少块地砖？ 【答案】（1）成反比例关系；每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系；（2）120块 【分析】（1）根据表格可知，每块地砖的面积×所需地砖数量＝总面积，总面积一定，所以每块地砖的面积和所需地砖数量成反比例； （2）根据总面积÷每块地砖的面积＝所需地砖数量，用60÷0.5即可求出地砖的块数。 【解答】（1）0.2×300＝60 0.3×200＝60 150×0.4＝60 每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定） 所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 答：每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）60÷0.5＝120（块） 答：需要120块地砖。 【点评】本题考查了反比例的认识和应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 19．某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 【答案】（1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系，理由如下： 因为200×36＝300×24＝400×18＝600×12＝7200，即每天生产的零件个数×需要的天数＝零件总个数（一定），所以每天生产的辆数和所需的天数成反比例关系。 （2）800个 【分析】（1）根据表中数据求出每天生产的零件个数和所需的天数的乘积，再进一步判断即可。 （2）求平均每天要生产多少个零件，用总零件个数（200×36）除以时间9天即可。 【解答】（1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系，理由如下： 因为200×36＝300×24＝400×18＝600×12＝7200，即每天生产的零件个数×需要的天数＝零件总个数（一定），所以每天生产的辆数和所需的天数成反比例关系。 （2）200×36÷9 ＝7200÷9 ＝800（个） 答：平均每天要生产800个零件。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量以及利用反比例的意义解决实际问题。 20．一列磁悬浮列车匀速行驶时，行驶的路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 … 路程/千米 7 14 21 … （1）完成上表。 （2）在下图中描出各点，并连接各点。 （3）从表中可得出，路程和时间成（    ）比例，因为（    ）。 （4）看图回答：当列车行驶2.5分时，路程是（    ）千米。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）正比例；路程∶时间＝速度（一定，）所以路程和时间成正比例 （4）17.5 【分析】（1）通过读表可知：1分钟行驶了7千米；2分钟行驶了14千米，3分钟行驶了21千米，时间每增加1分钟路程就增加7千米，时间增加几倍路程就增加几倍。 （2）横轴表示时间，纵轴表示路程，根据统计表中的数据完成统计图。 （3）判断两个相关的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答； （4）根据：速度×时间＝路程计算。 【解答】（1）21＋7＝28，28＋7＝35 时间/分 1 2 3 4 5 … 路程/千米 7 14 21 28 35 … （2）如图，各点在一条直线上。 （3）从表中可得出，7∶1＝7，14∶2＝7，21∶3＝7，28∶4＝7……，路程÷时间＝速度（一定），路程和时间成正比例。 路程和时间成正比例，因为：路程∶时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例。 （4）7×2.5＝17.5（千米） 列车行驶2.5分时，路程是17.5千米。 【点评】本题属于辨识成正比例的量，就看这两个量对应的比值是否一定，以及正比例的图像。 21．购买一种丝带的长度和应付金额如下表。 长度 0 1 2 3 4 5 … 应付金额元 0 4 8 12 16 20 … （1）判断应付金额与长度是否成正比例关系，说明理由。 （2）将应付金额和长度对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）购买7.5米丝带需要（    ）元；76元最多可以购买（    ）长的丝带。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）30；19 【分析】（1）如果两个相关联的量的比值一定，那么这两个相关联的量成正比例关系，据此解答即可； （2）将应付金额和长度对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可； （3）根据1米丝带的价格是4元，用单价×数量＝总价，可求出购买7.5米丝带需要多少元；用总价÷单价＝数量，可求得76元最多可以购买多长的丝带。 【解答】（1）应付金额与长度成正比例关系。 因为（一定），所以应付金额与长度成正比例关系。 （2） （3）（元） （米） 购买7.5米丝带需要30元；76元最多可以购买19长的丝带。 【点评】熟练掌握正比例关系的定义，是解答此题的关键。 22．一辆汽车开往240千米外的目的地，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 时间/时 2 3 4 5 6 … 速度/（千米/时） …… （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用式子表示它与行驶时间和速度之间的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 【答案】填表见详解 （1）240 （2）见详解 （3）见详解 【分析】根据，代入数据计算即可填空。 （1）用速度乘时间分别求出积。 （2）根据可知，乘积表示的是路程，据此解答。 （3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【解答】（千米/时） （千米/时） （千米/时） （千米/时） （千米/时） 时间/时 2 3 4 5 6 速度（千米/时） 120 80 60 48 40 （1）（千米） （千米） （千米） （千米） （千米） 相对应的两个数的乘积都是240。 （2）答：这个乘积表示的意义是两地之间的路程；表示它与行驶时间和速度之间的关系的式子是速度×时间＝路程（一定） （3）答：行驶时间和速度成反比例；因为它们是两个相关联的量，而且乘积一定。 23．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）0.24平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 （2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。 【解答】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米） 因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）解：设所用地砖的面积为x平方米。 500x＝0.2×600 500x＝120 500x÷500＝120÷500 x＝0.24 答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。 24．如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【点评】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元 正比例和反比例（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、生活中存在着大量互相依存的量，如：速度、时间和路程；单价、数量和总价；工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化，这样的两个变量就叫作相关联的量。 2、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为=k（一定）。 3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 4、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。 5、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。 6、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为x·y=k（一定）。 7、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。 02 重点提炼 1、结合具体情境，认识“变化的量”，体会两个变量之间的关系。 2、在具体的情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。 3、通过具体情境认识正比例的意义，并能正确判断成正比例的量。 4、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 5、结合具体的情境，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象。 6、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。 7、利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。 8、通过具体情境认识反比例的意义，并能正确判断成反比例的量。 9、能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。 03 易错集锦 易错点：正比例和反比例的判断。 误区点拨： （1）正、反比例关系的判断发生错误。 （2）首先，要判断两个量是否为相关联的量，即其中的一个量的变化是否会引起另一个量发生变化；其次，如果这两个量的积一定就成反比例关系，如果这两个量的比值一定就成正比 例关系。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一辆汽车，行驶1千米的耗油量一定，第一次行驶60千米，耗油5L；第二次行驶162千米，耗油xL，列比例为（ ），x的值为（ ）。 2．按要求填写下面的表格。 下表中m和n两个量成正比例。 m 0.8 2 （ ） （ ） n 2 （ ） 4 1.5 1.4 3．已知x，y均不为0，且。 （1）x与y成（ ）比例，x∶y的值是（ ）。 （2）x与y的最小公倍数是（ ）。（填“x”或“y”） 4．柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 （1）每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（ ）。与成（ ）比例关系。 （2）如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（ ）箱。 5．下面是某家造纸厂今年6月上旬生产时间与生产量的关系图。请根据图回答问题。 （1）这家造纸厂4天的生产量是（ ）吨；生产640吨纸需要（ ）天。 （2）这家造纸厂的生产量和生产时间成（ ）。（填“正比例”或“反比例”） （3）点（7，560）表示的含义是（ ）。 6．一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶的时间和路程如下，把下表填完整。从表中你发现了什么规律？ 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 路程/千米 90 180 270 360 （ ） （ ） （ ） （ ） 分析与解答：随着时间的增加，路程也在（ ），路程与时间的比值（也就是速度）相同，就是比值一定，所以路程和时间（ ）。 7．看图回答问题。 （1）汽车行驶的路程与时间成（ ）比例。 （2）由图可知，汽车行驶800km需要（ ）小时。 （3）由图可知，汽车6小时能行驶（ ）km。 二、判断题 8．把600mL水倒入不同的圆柱形容器，容器中水的高度与容器底面积成反比例。（ ） 9．一件商品八五折出售，现价和原价成正比例。（ ） 10．若，则a与b成反比例。（ ） 11．乐乐去学校，去时每分走60米，返回时每分走50米，她往返的平均速度一定是55米/分。（ ） 12．下图可知道时间和路程成反比。（ ）   时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 三、选择题 13．下面每组中的两个量，成正比例关系的是（    ）。 A．一袋大米50千克，大米的袋数和总质量 B．小明的年龄和身高 C．小丽从家到学校，走了的路程和未走的路程 D．行驶一段路程，行驶的速度和所用的时间 14．下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的是（    ）。 ①正比例的图象是一条直线    ②一个人的年龄和体重既不成正比例也不成反比例 ③圆锥的底面积一定，它的体积和高成反比例 ④从学校去劳动实践基地的路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 15．把一根木料锯成6段要10分钟，若锯成9段要用x分钟，正确的列式是（    ）。 A． B． C． 16．一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？ 解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（    ）。 A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160） 17．购买鸡蛋的数量和总价成正比例关系的图像是（    ）。 A．B．C． 四、解答题 18．装修工人给某公司会议室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下表所示。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 150 100 75 … （1）判断每块地砖的面积和所需地砖数量是否成反比例？并说明理由。 （2）若每块地砖的面积是0.5平方米，一共需要多少块地砖？ 19．某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 20．一列磁悬浮列车匀速行驶时，行驶的路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 … 路程/千米 7 14 21 … （1）完成上表。 （2）在下图中描出各点，并连接各点。 （3）从表中可得出，路程和时间成（    ）比例，因为（    ）。 （4）看图回答：当列车行驶2.5分时，路程是（    ）千米。 21．购买一种丝带的长度和应付金额如下表。 长度 0 1 2 3 4 5 … 应付金额元 0 4 8 12 16 20 … （1）判断应付金额与长度是否成正比例关系，说明理由。 （2）将应付金额和长度对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）购买7.5米丝带需要（    ）元；76元最多可以购买（    ）长的丝带。 22．一辆汽车开往240千米外的目的地，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 时间/时 2 3 4 5 6 … 速度/（千米/时） …… （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用式子表示它与行驶时间和速度之间的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 23．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 24．如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 学科网（北京）股份有限公司 $$