上海市高二下学期期中真题百题大通关（基础版）（范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

高二下学期期中真题百题大通关（基础版） （范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 3．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 4．（23-24高二下·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 5．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·上海闵行·期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·上海·期中）已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 8．（23-24高二下·上海·期中）可以表示为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·上海普陀·期中）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 10．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 11．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 12．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 13．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 14．（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 15．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆的离心率 16．（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 17．（22-23高二下·上海虹口·期中）椭圆的焦距为 . 18．（22-23高二下·上海黄浦·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 20．（23-24高二下·上海·期中） . 21．（23-24高二下·上海·期中）若与a的等差中项为18，则实数a的值为 ． 22．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列，则 ． 23．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 . 24．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）的通项公式是，则是该数列中的第 项. 25．（22-23高二下·上海普陀·期中）与的等差中项是 . 26．（22-23高二下·上海青浦·期中）两数1与4的等比中项为 27．（22-23高二下·上海青浦·期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 28．（22-23高二下·上海闵行·期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则 ． 29．（22-23高二下·上海嘉定·期中）数列是首项为，公比为m的无穷等比数列，且 ，则 ． 30．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则 ． 31．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 32．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 . 33．（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的公比为，且，则 ． 34．（23-24高二下·上海·期中）给定数列，则对所有最大值为 ． 35．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知数列的通项公式为，则 . 36．（22-23高二下·上海闵行·期中）若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为 ． 37．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则 ． 38．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 39．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为 . 40．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 41．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 42．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 43．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 44．（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 45．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 46．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 47．（23-24高二下·上海·期中）函数，若，则 ． 48．（23-24高二下·上海·期中）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为 ． 49．（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 50．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的驻点为 ． 51．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 52．（23-24高二下·上海·期中）设函数，则 . 53．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 54．（23-24高二下·上海·期中）已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则 ． 55．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 56．（23-24高二下·上海·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 57．（23-24高二下·上海·期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣.  若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种 58．（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 59．（23-24高二下·上海·期中）10件产品中有8件合格，2件次品，一次取两件产品，其中有次品的概率是 ． 60．（23-24高二下·上海·期中）正整数24有 个不同的正因数． 61．（23-24高二下·上海·期中） ． 62．（22-23高二下·上海长宁·期末）乘积的展开式中共有 项. 63．（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，所有的系数之和为 64．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知（，2，…，2024），则数列中的最大项的值为 ．（用组合数表示） 65．（22-23高二下·上海松江·期中）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是 . 66．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 67．（23-24高二下·上海·期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 ． 68．（23-24高二下·上海·期中）某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ． 69．（22-23高二下·上海宝山·期中）袋子中有9个大小､材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第三次摸到白球的概率为 . 70．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 三、解答题 71．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 72．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 73．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值； 74．（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线：上的点到直线：的最小距离． 75．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 76．（21-22高二下·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与圆相切，求实数的值． 77．（21-22高二下·上海黄浦·期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，. (1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离； (2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率. 78．（21-22高二下·上海浦东新·期中）过抛物线的焦点的直线l与抛物线相交于A、B两点，且向量是直线l的一个法向量． (1)求直线l的方程及抛物线准线方程； (2)求线段AB的长． 79．（21-22高二下·上海金山·期中）已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆锥曲线的焦点 (1)若 ， 求曲线 的方程; (2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程； 80．（23-24高二下·上海·期中）已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 81．（22-23高二下·上海闵行·期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 82．（22-23高二下·上海闵行·期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形． (1)求的值； (2)求出的表达式． 83．（22-23高二下·上海黄浦·期中）在数列中，，，其中为给定的正整数. (1)若为等比数列，，求； (2)若为等差数列，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 84．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值： (2)求在区间上的最大值. 85．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 86．（23-24高二下·上海·期中）已知函数为常数. (1)若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点; (2)若在上是增函数，求实数的取值范围. 87．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 88．（23-24高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 89．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 90．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值． 91．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 92．（23-24高二下·上海·期中）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个同学从卡箱中随机抽取张卡片，其中抽到“龙”卡获得分，抽到其他卡均获得分. (1)求学生甲最终获得分的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的概率． 93．（23-24高二下·上海闵行·期中）一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗． (1)求恰有1颗是草莓味的概率； (2)记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程． 94．（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 95．（23-24高二下·上海·期中）2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示： 1 2 3 8  9 1  2  3  3  4  5  5  5  6  6  7  8  8  8  9  9  9 0  1  2  2  2  3  4 (1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数； (2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率． 96．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 97．（23-24高二下·上海·期中）掷两次质地均匀的骰子 (1)若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率. (2)设事件第一次的点数为4，事件两次点数和为6，事件两次点数和为7，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？ 98．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 99．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 100．（21-22高二下·上海徐汇·期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. (1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； (2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中真题百题大通关（基础版） （范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据充要条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 3．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解. 【详解】椭圆，则，所以， 因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为. 故选：D 4．（23-24高二下·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列中项的关系式，即可求解. 【详解】. 故选：C 5．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等比中项的应用 【分析】由等差数列及等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】设，，，四个实数所成等差数列的公差为， 则由题意可得， 又为正实数，故. 故选：A 6．（22-23高二下·上海闵行·期中）无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无穷等比数列各项的和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由，得到、的关系，再结合的范围即可求解. 【详解】设公比为，，因为，所以，则， 因为， 所以，其中，， 当时，，且 所以，则 故选：D 7．（23-24高二下·上海·期中）已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数新定义 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】对于，，不存在“巧值点”； 对于，，令可得或，有“巧值点”； 对于，，令， 因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”； 对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”. 故选：A 8．（23-24高二下·上海·期中）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数公式判断即可. 【详解】，， ，. 故选：D 9．（22-23高二下·上海普陀·期中）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将5封信投入3个邮筒，每封信有3种选择， 故共有种不同的投法. 故选：B. 二、填空题 10．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 11．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 12．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 【答案】/0.5 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可. 【详解】椭圆的方程为，则 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 14．（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的几何性质可知，再利用双曲线关系式，就可得，最后根据焦点在轴上，就可以写出双曲线方程. 【详解】根据已知条件双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，可设双曲线标准方程为， 其中，设焦距为，则有， 实轴长，即，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 15．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆的离心率 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆方程直接求离心率即可. 【详解】由椭圆方程知：，则. 故答案为： 16．（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的方程即得. 【详解】因为抛物线的方程为， 所以抛物线的准线方程是. 故答案为：. 17．（22-23高二下·上海虹口·期中）椭圆的焦距为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以，即， 所以焦距为. 故答案为： 18．（22-23高二下·上海黄浦·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆方程分析运算. 【详解】由题意可得且， 若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 19．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 20．（23-24高二下·上海·期中） . 【答案】/ 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】按无穷等比数列的各项和公式直接求值. 【详解】因为：数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以： . 故答案为： 21．（23-24高二下·上海·期中）若与a的等差中项为18，则实数a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】由已知得， 得. 故答案为：. 22．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意，由等差数列的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则，即. 故答案为： 23．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 . 【答案】-2 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的定义及性质计算即可. 【详解】设的公比为，由题意可知，则由得. 故答案为：-2 24．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知数列（，）的通项公式是，则是该数列中的第 项. 【答案】9 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】利用通项公式的概念求解的值. 【详解】根据题意，得， 解得，所以是该数列中的第9项. 故答案为：9 25．（22-23高二下·上海普陀·期中）与的等差中项是 . 【答案】-5 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】设等差中项为，则， 故答案为：-5 26．（22-23高二下·上海青浦·期中）两数1与4的等比中项为 【答案】 【知识点】确定等比中项 【分析】根据等比中项的概念进行计算. 【详解】1与4的等比中项为. 故答案为：. 27．（22-23高二下·上海青浦·期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式 【详解】设等差数列的公差为，由题意，. 故答案为： 28．（22-23高二下·上海闵行·期中）设等比数列的前项和，为正整数，若，，则 ． 【答案】48 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则有， 又因为， 故答案为：48. 29．（22-23高二下·上海嘉定·期中）数列是首项为，公比为m的无穷等比数列，且 ，则 ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、数列的极限 【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案. 【详解】因为数列是首项为 ，公比为m的无穷等比数列，且， 由，可得化简得 ， 即 解得或(舍去)，则 故答案为： 30．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 31．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为： 32．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知利用等差数列通项公式与前项和公式得到关于的不等式，结合得解. 【详解】等差数列中，由，所以， 设等差数列的公差为，则得， 所以， 所以，，， 所以，得，得， 又，所以. 故答案为：. 33．（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的公比为，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】等比中项的应用、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】先根据等比数列的性质求，再根据通项公式求. 【详解】由已知得，又， 所以， 则. 故答案为：. 34．（23-24高二下·上海·期中）给定数列，则对所有最大值为 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得或，即， 又函数的图像开口向下， 所以数列的前3项为负数，当时，数列中的项均为负数， 在的前提下，的最大值是， 其中， 所以 故答案为： 35．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知数列的通项公式为，则 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的前项和代入运算求解． 【详解】 故答案为：． 36．（22-23高二下·上海闵行·期中）若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、数列新定义、根据数列的单调性求参数 【分析】根据数列的单调性以及函数的单调性求解. 【详解】由题意可得，, ， 即， 即对恒成立， 由于函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 故答案为: . 37．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则 ． 【答案】 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列满足， 所以数列为等差数列， 所以，又因为，， 所以，解得， 故答案为：. 38．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 39．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】利用导数运算法则求解即得. 【详解】由导数的运算法则可得. 故答案为： 40．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 41．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 【答案】； 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】求导，根据导数为0即可求解. 【详解】，令，解得， 故答案为： 42．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】1 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】由导数的定义、基本初等函数的导数法则即可运算求解. 【详解】若，则，. 故答案为：1. 43．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、导数的加减法 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 44．（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直接计算得到，，然后使用切线的定义即可. 【详解】由，知. 所以，，故所求切线是经过点且斜率为的直线，即. 故答案为：. 45．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由导数四则运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 46．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，解一元二次不等式即可得解. 【详解】，令，解得， 从而的减区间是. 故答案为：. 47．（23-24高二下·上海·期中）函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、导数的运算法则 【分析】根据导数的奇偶性，代入求值即可. 【详解】. 因为， 所以为奇函数， 所以. 故答案为：. 48．（23-24高二下·上海·期中）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的几何意义，结合物理相关知识即可得解. 【详解】因为，所以， 则该质点在时的瞬时速度为. 故答案为：. 49．（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 50．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的驻点为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】根据驻点的定义，即可求解. 【详解】，由，得或， 所以函数的驻点为. 故答案为： 51．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 【答案】 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】求得，根据驻点定义，直接计算即可. 【详解】，则，令，解得，即的驻点为. 故答案为：. 52．（23-24高二下·上海·期中）设函数，则 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 53．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 【答案】1 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据给定条件，结合组合数的性质列式计算即得. 【详解】由，得或，解得或（舍）， 经检验符合. 故答案为：1 54．（23-24高二下·上海·期中）已知有5个男生和个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则 ． 【答案】3 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】由分步乘法计数原理列式，再由组合数公式求解. 【详解】由题，，， 故答案为：3. 55．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【答案】14 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出. 【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 56．（23-24高二下·上海·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 【答案】480 【知识点】不相邻排列问题 【分析】思路一：不相邻问题采取插空法即可求解；思路二：先求出所有可能的排列数，再减去2位老人相邻的排列数，即可得到答案. 【详解】方法一：先将4名志愿者排列好，有种排法，再将两个老人进行插空有种排法， 所以满足题意的不同的排法共有种； 方法二：6个人如果自由排列，则排法有种； 而如果2位老人相邻，则相当于先将2位老人排列，再整体视为1人与其它4人共5人进行排列，故排法有种； 所以满足条件的排法有种. 故答案为：. 57．（23-24高二下·上海·期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣.  若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种 【答案】64 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】直接使用乘法原理即可得到答案. 【详解】由于一共有四项运动，故甲、乙、丙各自有4种选择，而他们的选择互相之间没有任何限制条件，所以总共的选法数是. 故答案为： 58．（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，易知符合题意，即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 故答案为：6 59．（23-24高二下·上海·期中）10件产品中有8件合格，2件次品，一次取两件产品，其中有次品的概率是 ． 【答案】 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】由古典概型概率计算公式、对立事件概率关系以及组合数即可得解. 【详解】一次取两件产品，其中有次品的概率是. 故答案为：. 60．（23-24高二下·上海·期中）正整数24有 个不同的正因数． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】首先将分解质因数，再根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为， 第一步，可以取，，，共种， 第二步，可以取，，共种， 所以正整数的不同正因数的个数为． 故答案为： 61．（23-24高二下·上海·期中） ． 【答案】0 【知识点】二项式的系数和 【分析】利用二项式定理展开式合并即可. 【详解】 . 故答案为：0 62．（22-23高二下·上海长宁·期末）乘积的展开式中共有 项. 【答案】24 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由中取一项共3种不同取法，从中取一项有2种不同取法，从中取一项共4种不同取法， 由分步乘法计数原理知，该展开式共3×2×4＝24(项) 故答案为：24． 63．（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，所有的系数之和为 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，即可得出答案. 【详解】令， 即可得出二项式展开式中，所有项的系数之和为. 故答案为：. 64．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知（，2，…，2024），则数列中的最大项的值为 ．（用组合数表示） 【答案】和 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】由题意得：数列是由展开式的二项式系数组成， 根据二项式系数的性质，最大项为和， 故答案为：和. 65．（22-23高二下·上海松江·期中）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是 . 【答案】0.8/ 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式求解. 【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则 ， 则， 故答案为：0.8 66．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知， ，则 ． 【答案】/0.75 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得， 而，得， 而，解得， 故答案为：. 67．（23-24高二下·上海·期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 ． 【答案】/0.75 【知识点】计算条件概率 【分析】记小李鼻炎发作为事件，小李感冒为事件，利用条件概率公式计算可得. 【详解】记小李鼻炎发作为事件，小李感冒为事件， 依题意，， 所以，即小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是. 故答案为： 68．（23-24高二下·上海·期中）某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由事件表示“乙获得比赛胜利”， 可得 事件表示“比赛进行了七局”，可得， 所以. 故答案为：. 69．（22-23高二下·上海宝山·期中）袋子中有9个大小､材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第三次摸到白球的概率为 . 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、有放回与无放回问题的概率、条件概率性质的应用 【分析】分四种情况，求出相应的概率相加后得到答案. 【详解】前两次均摸到白球，第三次也摸到白球的概率为， 前两次均摸到红球，第三次摸到白球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到白球，第三次摸到白球的概率为， 第一次摸到白球，第二次摸到红球，第三次摸到白球的概率为， 所以第三次摸到白球的概率为. 故答案为： 70．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解． 【详解】记感染新冠病毒为事件，标本为阳性为事件， 则，， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为． 故答案为：． 三、解答题 71．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【知识点】求抛物线的切线方程 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 72．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； (2)答案见解析 【知识点】求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，确定的值，即可求得答案； （2）联立直线方程和双曲线方程，结合所得方程的二次项系数以及判别式，即可得结论. 【详解】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 73．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值； 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程，讨论二次项系数，为时，方程有一解，不为时，利用求解即可. 【详解】联立， 当即时，方程是一元一次方程，有唯一解； 当时，方程为一元二次方程，方程有唯一解时， ， 解得， 故直线与曲线只有一个公共点时，的值为 74．（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线：上的点到直线：的最小距离． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答. 【详解】设抛物线上的点，则点P到直线， 即的距离，当且仅当时取等号， 所以所求最小距离为. 75．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）由题设可得，即可得写出抛物线标准方程； （2）由已知有直线为，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求，点线距离公式求O到直线的距离，进而求的面积. 【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）知：，则直线为，即， 联立抛物线可得：，则，， 所以， 又O到直线的距离， 所以. 76．（21-22高二下·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与圆相切，求实数的值． 【答案】． 【知识点】参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆的参数方程转化为直角坐标方程，将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆的参数方程为为参数），化为普通方程． 直线的极坐标方程为，即，所以直角坐标方程． 因为直线与圆相切，所以， 解得． 77．（21-22高二下·上海黄浦·期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，. (1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离； (2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据的关系以及题意可知，，，直线的方程为，再根据点到直线的距离公式即可求出； （2）根据题意可知，直线的斜率，，再根据两直线垂直，斜率之积为，再根据齐次式求离心率的方法即可求出． 【详解】（1）由题意，，，则，，直线的方程为. 所以，点到的距离为. （2）由题意，，，其中，，则直线的斜率. 双曲线的一条渐近线，其斜率为. 因为直线与直线垂直，所以. 代入可得，，又因为，所以， 两边同除以，可得，解得. 又因为，所以. 78．（21-22高二下·上海浦东新·期中）过抛物线的焦点的直线l与抛物线相交于A、B两点，且向量是直线l的一个法向量． (1)求直线l的方程及抛物线准线方程； (2)求线段AB的长． 【答案】(1)准线方程为，直线方程为； (2)5． 【知识点】点法向式方程、根据韦达定理求参数、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由抛物线方程得焦参数值，从而得焦点坐标，准线方程，由直线方程的点法式写出方程并整理可得； （2）直线方程与抛物线方程联立方程组，消去得的二次方程，由韦达定理得，然后由焦半径公式得弦长． 【详解】（1）抛物线方程为，即，，因此焦点为，准线方程为， 因为向量是直线l的一个法向量，所以直线方程为， 即； （2）设． 由得，则， 所以． 79．（21-22高二下·上海金山·期中）已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆锥曲线的焦点 (1)若 ， 求曲线 的方程; (2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程； 【答案】(1)和 (2)， 【知识点】根据韦达定理求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出曲线方程； （2）设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元，根据及结合图象得到，再利用韦达定理得到，即可得解； 【详解】（1）解：因为，，所以，解得， 所以曲线的方程为和； （2）解：曲线的渐近线为，设直线 则 又由数形结合知，所以 设点，，， 则 所以，， 所以，即点的轨迹为，； 80．（23-24高二下·上海·期中）已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 81．（22-23高二下·上海闵行·期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 【答案】(1)， (2)该公司从第8年开始盈利，理由见解析. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、数列-产值增长 【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式求解即可. （2）根据题意得到当时，总利润，时，，再分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由题知：， 当，，解得， 所以. . （2）当时， 总利润. 因为， 为增函数， 且，， 所以当时，，当时，， 因为， ， 所以时，，即前6年未盈利. 当时，， 令，解得，所以该公司从第8年开始盈利. 82．（22-23高二下·上海闵行·期中）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形． (1)求的值； (2)求出的表达式． 【答案】(1)61 (2) 【知识点】根据规律填写数列中的某项、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据题意直接分析求解； （2）利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意可得：， 则，， 依此类推可得，可得， ，可得. （2）由（1）可得：， 当时，则 ， 显然当时，符合上式， 所以. 83．（22-23高二下·上海黄浦·期中）在数列中，，，其中为给定的正整数. (1)若为等比数列，，求； (2)若为等差数列，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)；不存在正整数使得，理由见解析. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等比数列中任意两项之间的关系，求出公比，然后再利用等比数列的通项公式求解即可； （2）利用等差数列中任意两项之间的关系，求出公差，然后再求出首项，利用等差数列的求和公式表示出，令，求解m的值，判断即可． 【详解】（1）解︰因为为等比数列，时，，， 则等比数列的公比为q，则， 所以. （2）若为等差数列，设公差为d， 则，解得， 又，所以， ， ， 所以 ， 令，解得或， 又因为m为正整数，故不存在正整数m，使得． 84．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值： (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据极值点求参数 【分析】（1）由已知可得和是的两个零点，再使用韦达定理即可求出； （2）先判断在和上递增，在上递减，再求极值与区间端点函数值即可. 【详解】（1）由已知可得和是的两个零点. 所以，，解得，. 经检验符合题意. （2）由（1）的结果知. 则， 由或，由； 所以在和上递增，在上递减， 又因为. 所以在上的最大值是. 85．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，所以在点处的切线方程为，即； （2）函数定义域为， 且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 86．（23-24高二下·上海·期中）已知函数为常数. (1)若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点; (2)若在上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)；是的极小值点 (2)实数的取值范围为 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）先根据函数在处有极值求出的值，将值代入原函数求导进行判断函数在左右的导函数正负号即可得到结果； （2）在上是增函数，转化成在恒成立，进而分离参数转化成在恒成立进行求解即可得到结果. 【详解】（1）的定义域为， 则； 由题意，在处有极值，即， 即； ∴； ∴， ∴当时，，为增函数； 当时，，为减函数； ∴是的极小值点. （2）∵在上是增函数， ∴在恒成立，即有， 在恒成立，只需求； ， ， ； ， ∴的取值范围为. 87．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先求出，得出，再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；再计算端点处的函数值，，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【详解】（1）由可得. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为，且， 所以，即，解得， 所以． （2）由（1）知， 则. 令得或， 所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 88．（23-24高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 【答案】(1) (2)，实际意义见解析 【知识点】导数（导函数）概念辨析、简单复合函数的导数 【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解； （2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可. 【详解】（1）因为， 令，则可以看作和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 . （2）由（1）得， 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 89．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合，直接写出切线方程即可； （2）根据的正负，判断的单调性，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，故可得，，， 所以在点处的切线方程为：，即. （2），，令，解得， 故当，，单调递减；当，，单调递增； 又，故的最小值为. 90．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】导数的加减法、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间； （2）求出极值和端点值，比较后即可确定最值． 【详解】（1）的定义域为，且， 令得， 所以函数的递减区间． （2）因为， 令得或， 所以递增区间为，， 当变化时，，变化状态如下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在上的最大值为，最小值为． 91．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是1. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案； （2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值. 【详解】（1）由已知可得，所以， 则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为. 又，所以函数在点处的切线的方程为. （2）当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 又，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1. 92．（23-24高二下·上海·期中）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个同学从卡箱中随机抽取张卡片，其中抽到“龙”卡获得分，抽到其他卡均获得分. (1)求学生甲最终获得分的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）依题意学生甲需抽中张“龙”卡和张其他卡，利用组合数公式计算可得； （2）学生乙需要抽中张“龙”卡和张其他卡，即可求出学生乙的不同的抽法种数，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）学生甲最终获得分，则需抽中张“龙”卡和张其他卡， 则不同的抽法种数为种. （2）学生乙最终获得分，则需要抽中张“龙”卡和张其他卡，不同的抽法种数为种， 而从张卡片中抽取张卡片一共有种取法， 所以学生乙最终获得分的概率. 93．（23-24高二下·上海闵行·期中）一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗． (1)求恰有1颗是草莓味的概率； (2)记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】组合数的性质及应用、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据所有可能的情况数与满足条件的情况数计算即可； （2）根据组合数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意，草莓味的有4颗，牛奶味的有6颗， 从10颗巧克力的礼盒中随机取出2颗，所有可能的情况有种， 其中恰有1颗是草莓味的情况有种，故恰有1颗是草莓味的概率为 （2）由题意，，则有或， 解得或 94．（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)19683 (2)118098 (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解； （2）求导得，令即可求解； （3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，令，可得， . （2）令， 从而， 同样在上式中令，可得. （3）的展开式通项为， 从而的展开式中系数绝对值通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 也就是，解得，经检验符合题意， 所以此时，对应的项为. 95．（23-24高二下·上海·期中）2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示： 1 2 3 8  9 1  2  3  3  4  5  5  5  6  6  7  8  8  8  9  9  9 0  1  2  2  2  3  4 (1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数； (2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率． 【答案】(1)3位；第75百分位数是30 (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率. 【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员； 因为，所以第75百分位数是第20位， 由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30； （2）11名球员没有年龄不小于30的概率, 所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率. 96．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)19682 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解； （2）利用赋值法，令求得所有项的系数和，再令得到，即可得出答案. 【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为， 又，则令得：，解得：， 所以的值为. （2）由（1）得：， 令得：， 令得：， 则. 97．（23-24高二下·上海·期中）掷两次质地均匀的骰子 (1)若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率. (2)设事件第一次的点数为4，事件两次点数和为6，事件两次点数和为7，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？ 【答案】(1) (2)事件和事件不独立，事件和事件独立. 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由对立事件概率关系、条件概率公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式分别求出，结合独立乘法公式进行验算即可. 【详解】（1）每一次点数是偶数或奇数的概率都是， 若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率是， 其中代表两次都是偶数的概率，代表至少有一次是偶数的概率. （2）第一次的点数可能为：1，2，3，4，5，6， 所以对于事件而言，它发生的概率为， 记两枚骰子的点数组成的有序数组为，则共有种可能， 其中两次点数和为6的有：，共有5种可能， 其中两次点数和为7的有：，共有6种可能， 所以， 事件和事件同时发生对应的有序数组为：，共有1种可能， 事件和事件同时发生对应的有序数组为：，共有1种可能， 所以， 而， 所以事件和事件不独立，事件和事件独立. 98．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 99．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得; (3)根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则， 依题意，，，． 由全概率公式， 为求，设“飞机被第i人击中”，，，， 将数据代入计算得 （2） 于是 ． （3）． 100．（21-22高二下·上海徐汇·期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. (1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； (2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 【答案】(1)； (2)甲车间，乙车间，丙车间． 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解； （2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可. 【详解】（1）第3次才抽到合格品的概率. （2）设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥. 由题意可知，，，， ，，. 由全概率公式可得，. 则该次品来自甲车间的概率 ， 该次品来自乙车间的概率 ， 该次品来自丙车间的概率 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$