高二下学期期中真题百题大通关（基础版）（范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

高二下学期期中真题百题大通关（基础版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海静安·期中）若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 2．（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 6．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 7．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 8．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 10．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 12．（23-24高二下·上海·期中）圆上到直线的距离为1的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 二、填空题 14．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 15．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 16．（22-23高二下·上海静安·期中）已知，设直线，，若，则 . 17．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知直线的一个法向量是，则它的斜率为 ． 18．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 19．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 20．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 . 21．（22-23高二下·上海静安·期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是 （结果用角度制表示）． 22．（22-23高二下·上海静安·期中）点到直线的距离为 ． 23．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过，的直线的斜率为 ． 24．（22-23高二下·上海宝山·期中）直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 25．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 26．（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为 . 27．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知直线经过点、，则直线的斜率为 ． 28．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 29．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 30．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 31．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 32．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 33．（23-24高二下·上海·期中）若直线与平行，则 . 34．（23-24高二下·上海·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 ． 35．（23-24高二下·上海·期中）已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 36．（23-24高二上·上海青浦·期中）直线与的夹角大小为 . 37．（23-24高二上·上海奉贤·期中）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ． 38．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线平行，则 . 39．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 40．（22-23高二下·上海徐汇·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 41．（22-23高二下·上海普陀·期中）若，且，则经过的直线的一般方程为 42．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是 ． 43．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 44．（22-23高二下·上海长宁·期中）直线（）必过点 . 45．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角为 . 46．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 47．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 48．（22-23高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线平行的直线方程为 . 49．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 50．（22-23高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 51．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 52．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 53．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 54．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 55．（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 56．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 57．（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 58．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 59．（22-23高二下·上海虹口·期中）椭圆的焦距为 . 60．（22-23高二下·上海黄浦·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 61．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 62．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆的焦点坐标为 . 63．（22-23高二下·上海浦东新·期中）如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 . 64．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 . 65．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆和圆外切，则实数的值为 ． 66．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若椭圆的一个焦点为，则 ． 67．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 68．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 69．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 70．（24-25高二下·上海·期中）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（结果保留一位小数，）．    71．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 72．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 73．（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 74．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 75．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 76．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的渐近线斜率的绝对值是 . 77．（23-24高二下·上海·期中）直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 78．（23-24高二下·上海·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 79．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 80．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 三、解答题 81．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 82．（23-24高二下·上海·期中）设直线与直线的交点为. (1)求两直线的夹角的大小； (2)求过点且平行于的直线的一般式方程； 83．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 84．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 85．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线：与直线：. (1)若与垂直，求实数m的值； (2)若与平行，求实数m的值. 86．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 87．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 88．（23-24高二下·上海·期中）已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 89．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 90．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 91．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知点是椭圆：的一个顶点． (1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积； (2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由． 92．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 93．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 94．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 95．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 96．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 97．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 98．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 99．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且． （i）设直线的方程为，求证：； （ii）求的取值范围． 100．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中真题百题大通关（基础版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海静安·期中）若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 【答案】C 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断. 【详解】因， 则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错； 又，得，C正确； 将代入不成立，故D错误； 又， 若， ， 则在上单调递减， 当时，，则， 若， ， 则在上单调递增， 又时，， 故此时， 因此的顶点只有一个，且为，B错. 故选：C 2．（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线综合、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断. 【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确； 对于A：由整理得，故A正确； 对于B：由整理得，故B正确； 对于D：由整理得，故D错误； 故选：D. 4．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 5．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据充要条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 6．（23-24高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 7．（22-23高二下·上海静安·期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解. 【详解】椭圆，则，所以， 因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为. 故选：D 8．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 9．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 【答案】C 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可. 【详解】对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， 对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， ∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等. 故选：C. 10．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 12．（23-24高二下·上海·期中）圆上到直线的距离为1的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个. 故选：B. 13．（23-24高二下·上海·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确. 故选：D 二、填空题 14．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 15．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 16．（22-23高二下·上海静安·期中）已知，设直线，，若，则 . 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 17．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知直线的一个法向量是，则它的斜率为 ． 【答案】 【知识点】根据直线的法向量求直线方程、求直线的方向向量 【分析】根据直线的法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】设直线的斜率为，则直线的方向向量为， 直线的一个法向量是， ，解得. 直线的斜率为. 故答案为：. 18．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 19．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 20．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 . 【答案】1 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】 根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答. 【详解】 依题意，直线的斜率，又，则，解得， 所以. 故答案为：1 21．（22-23高二下·上海静安·期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是 （结果用角度制表示）． 【答案】105°或165° 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】根据倾斜角与斜率的概念求解. 【详解】直线的斜率1，则直线的倾斜角为45°， 当将直线MN绕原点顺时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为60°＋45°＝105°； 当将直线MN绕原点逆时针旋转60°时，直线MN的倾斜角为180°－(60°－45°)＝165°， 故答案为：105°或165°. 22．（22-23高二下·上海静安·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【知识点】求点到直线的距离 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 23．（22-23高二下·上海黄浦·期中）过，的直线的斜率为 ． 【答案】1 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：1. 24．（22-23高二下·上海宝山·期中）直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】作图分析可知，当原点到直线的距离最大时，，求出的斜率，根据点斜式即可求出直线的方程. 【详解】 由题意知，，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即. 故答案为：. 25．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 . 【答案】 【知识点】点法向式方程 【分析】由直线方程的点法式求解即可. 【详解】∵直线过点，一个法向量为， ∴直线的点法式方程为. 故答案为：. 26．（22-23高二下·上海黄浦·期中）若直线和直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线和直线垂直，则，解得. 故答案为：. 27．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知直线经过点、，则直线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为直线经过点、， 所以. 故答案为： 28．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析 【分析】由已知结合直线的斜率与倾斜角关系即可求解． 【详解】由题意可得，， 故. 故答案为： 29．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 30．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 31．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【详解】 直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 故答案为：. 32．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 33．（23-24高二下·上海·期中）若直线与平行，则 . 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到，解得即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 34．（23-24高二下·上海·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据题意，由直线的一般式可得其斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可得到结果. 【详解】由直线方程可知，其斜率为， 设其倾斜角为，则，所以. 故答案为： 35．（23-24高二下·上海·期中）已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 【答案】 【知识点】根据直线的法向量求直线方程、直线的斜截式方程及辨析 【分析】直线的一个法向量，可得直线的斜率为，结合已知条件利用斜截式即可得出直线方程. 【详解】因为直线的一个法向量是，所以直线的斜率为， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为. 故答案为： 36．（23-24高二上·上海青浦·期中）直线与的夹角大小为 . 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【详解】 根据两条直线的斜率和倾斜角，结合两角差的正切公式求得正确答案. 【分析】直线的斜率为，倾斜角设为，则为钝角. 直线的斜率为，倾斜角设为，则为锐角. 设两条直线的夹角为， 则， 所以夹角大小为. 故答案为： 37．（23-24高二上·上海奉贤·期中）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、复数的坐标表示 【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可. 【详解】复数对应点,复数对应点， 则. 故答案为：. 38．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线平行，则 . 【答案】2 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】法一：两直线平行，则； 法二：两直线平行，，则, 故答案为：. 39．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 【答案】6或－2 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据反射光线上的点关于直线的对称点一定在入射光线上，即可求解. 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则，整理得，解得或. 故答案为：6或－2. 40．（22-23高二下·上海徐汇·期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或    41．（22-23高二下·上海普陀·期中）若，且，则经过的直线的一般方程为 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的方程的概念 【分析】根据、都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程. 【详解】若, 则点在直线上, 点在直线上 即、都在同一直线上 因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为 故答案为: 42．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是 ． 【答案】 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线截距式方程及辨析 【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式． 【详解】因为直线在轴上的截距是，在轴上的截距是， 则直线l的方程是，即， 故答案为：． 43．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可. 【详解】因为直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点， 故答案为：. 44．（22-23高二下·上海长宁·期中）直线（）必过点 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程化为形式求解即可. 【详解】直线方程（）可化为， （）， ∴由，解得， ∴直线（）必过定点. 故答案为：. 45．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角为 . 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】根据夹角公式即可求得正确答案. 【详解】因为直线的斜率为，直线的斜率为， 设这两条直线的夹角大小为，显然两直线不垂直， 则， 由于，所以. 故答案为： 46．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 47．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】 分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 48．（22-23高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据直线平行，设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得直线方程. 【详解】令所求直线为，且在直线上， 所以，即，故所求直线为. 故答案为： 49．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 【答案】或 【知识点】求平行线间的距离、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图， 两平行线间的距离，则，又， 所以直线与两平行线的夹角满足，则， 因为两平行线斜率为，所以倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或． 故答案为：或． 50．（22-23高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数、由两条直线平行求方程 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 故答案为：. 51．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 52．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 53．（23-24高二下·上海·期中）椭圆的离心率为 . 【答案】/0.5 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可. 【详解】椭圆的方程为，则 故答案为：. 54．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 55．（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的几何性质可知，再利用双曲线关系式，就可得，最后根据焦点在轴上，就可以写出双曲线方程. 【详解】根据已知条件双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，可设双曲线标准方程为， 其中，设焦距为，则有， 实轴长，即，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 56．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】由题意，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 57．（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的方程即得. 【详解】因为抛物线的方程为， 所以抛物线的准线方程是. 故答案为：. 58．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 【答案】25 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】利用抛物线的性质，结合三角形面积公式即可解决本题. 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所以. 从而P到直线l的距离也是5，所以的面积为. 故答案为：25 59．（22-23高二下·上海虹口·期中）椭圆的焦距为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以，即， 所以焦距为. 故答案为： 60．（22-23高二下·上海黄浦·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆方程分析运算. 【详解】由题意可得且， 若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 61．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 故答案为：. 62．（22-23高二下·上海长宁·期中）椭圆的焦点坐标为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】通过椭圆的方程可判断焦点在轴上，并由计算即可得出结论. 【详解】椭圆，则，则椭圆的焦点在轴上，，所以焦点坐标为. 故答案为：. 63．（22-23高二下·上海浦东新·期中）如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在y轴上双曲线有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 64．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 . 【答案】6 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线定义求抛物线上点到焦点的距离即可. 【详解】由题设，抛物线准线为，故点A与抛物线焦点的距离为. 故答案为：6 65．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆和圆外切，则实数的值为 ． 【答案】12 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆外切，圆心距等于半径之和，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为：12 66．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若椭圆的一个焦点为，则 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆的性质计算可得. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，， 所以，解得. 故答案为： 67．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 68．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 69．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的顶点坐标 【分析】由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解． 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 70．（24-25高二下·上海·期中）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（结果保留一位小数，）．    【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、点与圆的位置关系求参数 【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得. 【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图，    则，所以， 则圆的标准方程为． 由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）, 所以支柱的高度约为米. 故答案为：． 71．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 【答案】6 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】联立椭圆与直线方程，得到两根之和，根据弦中点得到方程，求出. 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 72．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】双曲线中x、y的取值范围 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 73．（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由弦长求参数 【分析】联立方程组，结合韦达定理和曲线的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 74．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求两圆的交点坐标 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 75．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 76．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的渐近线斜率的绝对值是 . 【答案】/0.5 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的标准方程即可求得双曲线的渐近线方程，则双曲线渐近线斜率的绝对值可得. 【详解】由双曲线方程为，可得双曲线的渐近线方程为， 则双曲线渐近线斜率的绝对值为， 故答案为：. 77．（23-24高二下·上海·期中）直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【知识点】参数方程化为普通方程、直线的参数方程、利用弦长公式求弦长 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 78．（23-24高二下·上海·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、极坐标与直角坐标的互化 【分析】根据公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，结合点线距计算即可求解. 【详解】圆化为直角坐标方程为，圆心坐标为， 直线化为直角坐标方程为， 所以圆心到直线的距离是. 故答案为： 79．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可得，设，由，可得，进而可得，可求椭圆的离心率. 【详解】根据题意可得，设， ，，， 又点在椭圆上， ，∴椭圆的离心率为． 故答案为：. 80．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 【答案】0或 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】联立直线与曲线方程，根据方程根的个数，即可结合分类讨论求解. 【详解】联立与可得， 当时，此时方程为，解得，符合题意， 当，由可得，即， 综上可知：直线与曲线只有一个公共点，或， 故答案为：0或 三、解答题 81．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】已知直线平行求参数、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； （2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 82．（23-24高二下·上海·期中）设直线与直线的交点为. (1)求两直线的夹角的大小； (2)求过点且平行于的直线的一般式方程； 【答案】(1). (2) 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据两直线方程可得其斜率，再由倾斜角之间的基本关系利用两角差的正切公式即可求出两直线的夹角； （2）求出交点坐标，设出平行直线方程代入点即可求出结果. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则斜率为， 直线的倾斜角为，则斜率为， 由，且， 所以可得两直线的夹角，可得； 即，可得， 所以. （2）联立，解得交点， 设所求直线的一般式方程为， 代入点可得， 即所求直线的一般式方程为. 83．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设直线的方程为，代入求出，得到答案； （2）设与直线垂直的直线，表达出与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 84．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【知识点】直线围成图形的面积问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，化简可得. （2）点到直线的距离， ， 则. 85．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线：与直线：. (1)若与垂直，求实数m的值； (2)若与平行，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或2 【知识点】已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】（1）利用直线垂直的充要条件计算即可； （2）利用直线平行的充要条件计算即可. 【详解】（1）由两直线垂直的充要条件可知：； （2）由两直线平行的充要条件可知：且，解方程得或. 86．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 87．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】直线过定点问题、求圆的一般方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 88．（23-24高二下·上海·期中）已知、，若动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若斜率为1的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】设动点坐标，利用向量的坐标运算就可以得轨迹方程； 设动直线l：与椭圆联立方程组，利用韦达定理和弦长公式，就可得到关于的方程，解得即可. 【详解】（1）设，则结合已知条件得：，，, ， . 平方整理得：，即， 的轨迹为的方程为. （2）根据已知条件可设直线l：，将代入方程， 整理得：， 设，，则，解得， 所以有：，， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线l方程为或. 89．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点． (1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； (2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据两点求解直线方程，联立直线与抛物线方程，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据直线是否有斜率，即可根据方程的根即可求解. 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为,即， 联立解方程组,可得， 设,,,，则， ， （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得，直线方程为 90．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 91．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知点是椭圆：的一个顶点． (1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积； (2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)； (2)假命题，理由见解析 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、判断命题的真假 【分析】由题意，结合题目所给信息以及三角形面积公式进行求解即可； 设出，两点的坐标，将转化成，结合，两点均在椭圆上，推出，分别讨论当和这两种情况，进而即可求解． 【详解】（1）因为点是椭圆：的一个顶点， 所以； （2）不妨设，， 若，即，即， 因为，两点均在椭圆上， 所以，整理得， 当时，，对称； 当时，， 因为，，所以， 则存在，此时，不关于轴对称． 综上，命题：“若，则与关于轴对称”为假命题． 92．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析 (2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 【知识点】求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用 【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论； 设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 经过口时最短距离：， 经过口时最短距离：． 因为, 所以经过入口运送较近． （2）设点，已知 ，可得 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 93．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 94．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线的方程求参数 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可证明；（2）设，表示出，，利用抛物线的定义，点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于，的方程，求解即可；（3）设过点作直线的方程为：，，，联立方程，由韦达定理得到，，分别表示出，，化简即可得到答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，化简得，得证； （2）由，可得， 设，则，， 则，故， 即， 又点在抛物线上， 则， 联立，解得， 所以抛物线的方程为 （3）设过点作直线的方程为：，，      联立，得， 则，，， 则，， 所以， 化简得， ， 化简得：， 所以 95．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】椭圆中向量点乘问题、椭圆中焦点三角形的其他问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，利用得，求解，证明是等边三角形； （2）求出点坐标，利用是直角三角形，得到其外接圆圆心为，半径为，然后求解所求椭圆的方程； （3）求出椭圆方程，设直线方程为，,，联立方程，由韦达定理结合条件化简可得结果. 【详解】（1）设，由，， 则，， 因为，所以，解得：， 故，由，， 则，即， 所以，则， 又因为，所以是等边三角形； （2）由(1)知，，故，此时点， 又为直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为， 所以，解得：，，， 所以椭圆的方程为： （3）若，则，， 所以椭圆的方程为： 则，，， ①当直线与轴重合时，则，，所以，不满足题意. ②设直线方程为，,, 则，，， 则 由，化简得：， 则有， 因为， 所以， 因为，，化简得：， 即， 即，则， 所以直线的斜率 96．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用韦达定理求其他值、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得； （2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得； （2）当时，双曲线方程为，此时 又直线的斜率等于2，所以直线方程为， 不妨设，联立直线和双曲线方程， 整理可得， 显然，由韦达定理可得， 即两点的横坐标之和为. 97．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求圆的一般方程、判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 98．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围； （2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值. 【详解】（1）直线与双曲线方程联立得：， 因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上， 所以有：， 因此实数的取值范围为； （2）设，因为线段为直径的圆经过坐标原点， 所以有，即， 由（1）可知：， 则， 即. 99．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且． （i）设直线的方程为，求证：； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意知，求解可得双曲线的方程； （2）（i），联立，可得，由，可证结论； （ii）由（1）可得，利用换元法可求的取值范围，进而讨论当斜率不存在时，的长，可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以双曲线的方程为； （2）（i）设的方程为， 联立，消去化简得，则， ，即且， ， ， 又，所以； （ii）由（1）知当l斜率存在时 ,可得， 令， 则且，或， ， 令， 则在时单调递减， 在时单调递增， 则， 即，， 当斜率不存在时， 设，，， 由， 此时， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 100．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【详解】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$