专题26 空间向量与立体几何的综合应用（8大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题26 空间向量与立体几何的综合应用 【题型归纳目录】 题型一：空间共线向量定理的应用及线性表示 题型二：空间向量的数量积、模长、夹角、投影向量问题 题型三：三点共线、多点共面问题 题型四：利用空间向量证明平行与垂直问题 题型五：求两异面直线所成角 题型六：求直线与平面所成角 题型七：求平面与平面所成角 题型八：求点面距、线面距、面面距 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）空间向量的线性运算 （2）空间向量基本定理及其应用 （3）向量法证明平行、垂直 （4）向量法求空间角 （5）空间距离 2024年I卷第17题，15分 2024年II卷第17题，15分 2023年I卷第18题，12分 2023年II卷第20题，12分 2022年I卷第19题，12分 2022年II卷第20题，12分 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. （3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． （4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 一、空间向量的数量积运算 1、两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，..，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作. 2、数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，. 3、空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）. 二、空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； . （2）设，，则. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则, 或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式. （4）向量在向量上的射影为. （5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）. （6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则. （7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直. （10）空间角公式. ①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则. ②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则. ③二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中. （11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则. 【典型例题】 题型一：空间共线向量定理的应用及线性表示 【典例1-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 题型二：空间向量的数量积、模长、夹角、投影向量问题 【典例2-1】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【典例2-2】（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【变式2-1】（2025·高三·河南周口·开学考试）若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式2-3】（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2025·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2-7】已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【变式2-8】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 题型三：三点共线、多点共面问题 【典例3-1】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【典例3-2】已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【变式3-1】已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-2】已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-3】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型四：利用空间向量证明平行与垂直问题 【典例4-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【典例4-2】（多选题）（2025·山东青岛·一模）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 【变式4-1】（多选题）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若存在，使得，则 C．若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D．若与内任意直线所成的角均相等，则 【变式4-2】（多选题）（2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面 【变式4-3】（多选题）在正方体中，分别为的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 题型五：求两异面直线所成角 【典例5-1】《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【典例5-2】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式5-1】正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【变式5-2】（2025·高三·天津滨海新·期中）在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 . 【变式5-3】如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 题型六：求直线与平面所成角 【典例6-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例6-2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【变式6-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【变式6-2】（2022年新高考北京数学高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 题型七：求平面与平面所成角 【典例7-1】（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【典例7-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式7-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【变式7-2】（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【变式7-3】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【变式7-4】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【变式7-5】（2022年新高考天津数学高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式7-6】（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【变式7-7】（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 题型八：求点面距、线面距、面面距 【典例8-1】（2024年天津高考数学真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【典例8-2】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【变式8-1】如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 的中点， ， (1)求证：平面 ； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离； 【变式8-2】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 【强化测试】 1．如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A． B．1 C．10 D．11 7．下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，若共面，则等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 9．（多选题）（2025·宁夏吴忠·一模）在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 10．（多选题）（2025·河北保定·一模）在正方体中，下列四个选项中正确的有（    ） A．直线平面 B．每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C．平面平面 D．直线平面 11．（多选题）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 12．（多选题）在正四棱柱中，为的中点，则（    ） A．∥平面 B．∥平面 C．平面 D．平面 13．（多选题）如图正方体分别是的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 14．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为 . 15．空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 . 16．在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 17．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 18．（2025·高三·河南驻马店·开学考试）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：； (2)已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 20．（2025·高三·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                  图1                                    图2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 21．（2025·江西南昌·一模）如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 22．（2025·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 23．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 24．如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 25．（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 26．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 27．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 28．（2025·高三·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． (1)求证：是棱的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 29．（2025·河南安阳·一模）如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 30．（2025·四川·一模）在直三棱柱中，，为平面与平面的交线，为直线上一点． (1)若，求的面积； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 31．（2025·高三·河北·开学考试）在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 32．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 33．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 34．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 35．如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 空间向量与立体几何的综合应用 【题型归纳目录】 题型一：空间共线向量定理的应用及线性表示 题型二：空间向量的数量积、模长、夹角、投影向量问题 题型三：三点共线、多点共面问题 题型四：利用空间向量证明平行与垂直问题 题型五：求两异面直线所成角 题型六：求直线与平面所成角 题型七：求平面与平面所成角 题型八：求点面距、线面距、面面距 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）空间向量的线性运算 （2）空间向量基本定理及其应用 （3）向量法证明平行、垂直 （4）向量法求空间角 （5）空间距离 2024年I卷第17题，15分 2024年II卷第17题，15分 2023年I卷第18题，12分 2023年II卷第20题，12分 2022年I卷第19题，12分 2022年II卷第20题，12分 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. （3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． （4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 一、空间向量的数量积运算 1、两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，..，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作. 2、数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，. 3、空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）. 二、空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； . （2）设，，则. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则, 或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式. （4）向量在向量上的射影为. （5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）. （6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则. （7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直. （10）空间角公式. ①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则. ②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则. ③二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中. （11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则. 【典型例题】 题型一：空间共线向量定理的应用及线性表示 【典例1-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 【典例1-2】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三棱柱中，. 故选：B 【变式1-1】在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 所以 . 故选：D. 【变式1-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 题型二：空间向量的数量积、模长、夹角、投影向量问题 【典例2-1】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】由题设，， 所以. 故选：D 【典例2-2】（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【解析】，，则， ，， ， 故选：A 【变式2-1】（2025·高三·河南周口·开学考试）若，，是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，，共面， 则，所以， 即，解得，，， 所以，若，，是空间的一组基底，则． 故选：B． 【变式2-2】设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 【变式2-3】（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为， 故选：B. 【变式2-4】已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 【变式2-5】（2025·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，不妨取 则 因， 故 ，则. 故选：A. 【变式2-6】已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 【变式2-7】已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 【变式2-8】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 题型三：三点共线、多点共面问题 【典例3-1】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 【典例3-2】已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 【变式3-1】已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 【变式3-2】已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 【变式3-3】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平行六面体的特征可得， 则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 【变式3-4】（2025·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 题型四：利用空间向量证明平行与垂直问题 【典例4-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 【典例4-2】（多选题）（2025·山东青岛·一模）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】AD 【解析】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 设底面边长为2， 则， 所以，所以， A. 当时，，，，所以，故A正确； B. 当时，，，，所以不成立，故B错误； C.，，故C错误； D. 因为，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 使得平面，所以，所以，，符合，故D正确； 故选：AD. 【变式4-1】（多选题）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若存在，使得，则 C．若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D．若与内任意直线所成的角均相等，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，若，则或，A错； 对于B选项，若存在，使得，则，B对； 对于C选项，到的距离应为到内任意直线的距离的最小值，C错； 对于D选项，设直线与平面所成角为，则， 因为为直线与平面内任意直线所成角的最小值， 且直线与平面内任意直线所成角的最大值为， 因为与内任意直线所成的角均相等，则，即，D对. 故选：BD. 【变式4-2】（多选题）（2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面 【答案】AB 【解析】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点P，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点P，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 【变式4-3】（多选题）在正方体中，分别为的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，， ． 设平面的法向量为， 则，令取． 因为，所以，所以平面，B正确． 因为，所以不与平行，所以不与平面垂直，A错误． 因为，且平面 所以平面正确． 因为，所以不与平面平行，D错误． 故选：BC. 题型五：求两异面直线所成角 【典例5-1】《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意，设，则， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以，， 设直线与所成角为， 则. 故答案为： 【典例5-2】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】因为在直三棱柱中，， 所以两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 所以，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式5-1】正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【解析】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为， 根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示： ， 则， 所以， 则， 因为，， 所以，则， 所以， 根据， 则， 所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·高三·天津滨海新·期中）在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 . 【答案】 【解析】因为，四边形为平行四边形，且， 则四边形为菱形，所以，，故为等边三角形， 取的中点，连接，则， 又因为，则， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 所以，， 因此，异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 【变式5-3】如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】，， ， 由题设，易知，，则， 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 题型六：求直线与平面所成角 【典例6-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 【典例6-2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式6-1】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 【变式6-2】（2022年新高考北京数学高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， 若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 题型七：求平面与平面所成角 【典例7-1】（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 【典例7-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 【变式7-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【解析】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 【变式7-2】（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【解析】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 【变式7-3】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 【变式7-4】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 【变式7-5】（2022年新高考天津数学高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2），，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3），， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7-6】（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2）过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 【变式7-7】（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 题型八：求点面距、线面距、面面距 【典例8-1】（2024年天津高考数学真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 【典例8-2】如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【解析】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 【变式8-1】如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 的中点， ， (1)求证：平面 ； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离； 【解析】（1） 设,连接，因为四边形 为矩形，所以为的中点， 由为的中点，又平面，平面， 所以平面. （2） 由题意建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 设平面的法向量为，,取， 设平面的法向量为，,取 设平面与平面夹角的余弦值为，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）得平面的法向量为，, ，所以点到平面的距离为 【变式8-2】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，． ，分别是线段和线段上的动点，且，． (1)求证：平面； (2)若到平面的距离为，求的长度． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，又， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，， 则， 所以， 因为，所以， 所以， 又， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 所以，又平面，所以平面； （2）若到平面的距离为，则， 又， 所以， 整理可得，解得或（舍去）， 则，所以. 【强化测试】 1．如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，， 所以. 故选：D. 3．（2025·高三·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，有，解得，此时，与夹角为， 所以与夹角不可能为， 与夹角为锐角时，有，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 4．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 5．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 6．已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A． B．1 C．10 D．11 【答案】D 【解析】∵点在平面内，∴存在实数，使得等式成立， ∵，，， ∴， ∴，解得. 故选：D 7．下列条件中，一定使空间四点，，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于B选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于C选项，，，所以点与，，三点不共面； 对于D选项，，，所以点与，，三点共面． 故选：D 8．已知向量，若共面，则等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】A 【解析】因为共面，设所以 ， 解得，即. 故选：A. 9．（多选题）（2025·宁夏吴忠·一模）在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 设正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 则，由得，，故，A正确. 由，则得与不垂直，B错误. 由题意得，平面的法向量为. ∵，平面， ∴平面，C正确. 由题意得，平面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 由得，D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·河北保定·一模）在正方体中，下列四个选项中正确的有（    ） A．直线平面 B．每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C．平面平面 D．直线平面 【答案】ABD 【解析】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，即，而点不在直线，则， 又平面，平面，因此直线平面，A正确； 对于B，设平面的法向量，，则， 取，得，棱的方向向量，与平面所成角为， ，棱与平面所成角为， 棱与平面所成角为，同理， 因此，即每条棱所在直线与平面所成的角都相等，B正确； 对于C，设平面的法向量，，则， 取，得，而，即不垂直，平面与平面不垂直，C错误； 对于D，，即，直线平面，D正确. 故选：ABD 11．（多选题）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】以为原点，以、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，，，， ，，， ，，， 对于A，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以与不垂直，即与平面不平行，故选项A错误； 对于B，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以，又因为平面， 所以平面，故选项B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：， 即，所以平面，故选项C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：与不平行， 所以与平面不垂直，故选项D错误， 故选：BC. 12．（多选题）在正四棱柱中，为的中点，则（    ） A．∥平面 B．∥平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设底面边长为， 则，，，，，，，，， 对于选项A：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 又因为，则， 所以与平面不平行，故A错误； 对于选项B：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 又因为，则， 可知，且平面，所以∥平面，故B正确； 对于选项CD：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 则，可知，所以平面， 但平面与平面相交，所以不与平面垂直，故C正确，D错误； 故选：BC. 13．（多选题）如图正方体分别是的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 对于A，，，因为， 所以直线与直线垂直， 易知平面的一个法向量， 又，，且平面， 所以直线平面，A正确； 对于B，由正方体性质可知平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，不相交，B错误； 对于C，，，则， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以，因此直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ACD 14．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以和夹角的余弦值为. 故答案为：. 15．空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 . 【答案】 【解析】由，则， 两边平方，得， 由，异面直线AD与BC成， 所以，故， 即或（舍），易知， 所以. 故答案为： 16．在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】如图建系，设正方体的棱长为3， 则，，，， ，， 故直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 17．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】在直三棱柱中，. 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，， 得， ， 因此， 由异面直线与所成角范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 18．（2025·高三·河南驻马店·开学考试）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：； (2)已知点P为空间内一点，且满足，求直线与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）连接， 因为，则， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， 且平面，可得， 由题意可知：， 则，可得， 且平面，，可得平面， 又因为平面，所以. （2）因为，平面， 以D为坐标原点，向量分别为x，y轴，过点D且与向量同向的向量为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为， 则， 可得， 则，，， 又因为，可设， 则，                 且，有， 解得，即，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 19．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2）因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 20．（2025·高三·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                  图1                                    图2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1），，， ，. ，，， .又，平面， ， 平面. （2）连结. ，， ， . 过点作，则. 又平面，则，，， 以为原点，，EF，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则即 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 21．（2025·江西南昌·一模）如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2）以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 22．（2025·上海徐汇·一模）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 23．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2）因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. （3）存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 24．如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 25．（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2）根据题意，可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以 易知二面角的正弦值为. 26．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 27．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 28．（2025·高三·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． (1)求证：是棱的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，又是的中点，则且， 由在棱上，底面为矩形，则，故， 由平面，平面且平面平面，则， 所以为平行四边形，故， 所以是的中点； （2）平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可以为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 29．（2025·河南安阳·一模）如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由正方体的性质可知平面，故是三棱锥的高， 所以四面体的体积为， 由题意知，，， 所以，又， 故点到平面的距离； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，.        设平面的法向量为， 则，令，得，故， 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 设平面与平面的夹角为， 则. 30．（2025·四川·一模）在直三棱柱中，，为平面与平面的交线，为直线上一点． (1)若，求的面积； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【解析】（1）因为，所以为等边三角形， 所以 在直三棱柱中，， 又平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 又，，所以． （2）解法一： 如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系． 设，则． 所以． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，所以． 因为是平面的法向量， 所以． 解得，所以． 解法二： 由题意可知，平面与平面夹角，就是锐二面角， 如图，取的中点，因为，所以． 因为在直三棱柱中，平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面． 过点作的垂线，垂足为，连接， 所以为二面角的平面角． 因为，为正方形，所以，， 又为的中点，，所以； 设， 所以． 解得，所以． 31．（2025·高三·河北·开学考试）在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1），. 又平面，平面， 平面. （2）以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 由，，. ，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，取. 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为， 则，故， 所以二面角的正弦值为. 32．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 33．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 34．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【解析】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 35．如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离. 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$