精品解析：重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

重庆市杨家坪中学高2026届高二（下）3月月考 数学试题 （考试时间：120分钟） 一、选择题：木大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【详解】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 2. 下列式子不正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证. 【详解】对于A选项，，A选项正确； 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，由复合函数的求导法则得，C选项正确； 对于D选项，，D选项错误.故选D. 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故选：C. 4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列性质计算得解. 【详解】等差数列中，，解得， 等比数列中，，， 所以. 故选：A 5. 已知焦点在轴上的双曲线．该双曲线的上焦点到下顶点的距离为到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再结合求出，从而可求出离心率. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的上焦点到下顶点的距离为，所以， 因为到渐近线的距离为12，所以， 所以，得， 由，得， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 6. 已知，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数讨论的单调性后可得的大小. 【详解】由题，． 令，则， 因为，所以， 所以为上的单调增函数， 又，因为，故. 故选：C． 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意构造函数，由条件分别判断该函数的单调性和奇偶性，将待求不等式转化成，利用函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】设，则， 因为当时，，则，即在上为增函数， 又函数是定义在上的偶函数，则， 即函数是定义在上的偶函数，故函数在上是减函数. 由可得， 故有，解得或. 故答案为：D. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，条件可转化为恰有两个不同的实数解，画函数与函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】由题可知恰有两个不同的实数解，即恰有两个不同的实数解. 令，则， 又，所以在上单调递增， 所以函数的值域为， 所以恰有两个不同的实数解. 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 设，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在单调递减， 且， 当时，，当时，， 当时，， 作出函数和的大致图象如图， 由图象可知，当时，恰有两个不同的实数解， 即的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将条件转化为方程恰有两个不同的实数解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数图象与原函数图象的关系，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴是的极小值点，故A错误，B正确； 当时，，在上单调递减， ∴是的极大值点，故C正确，D错误． 故选：BC． 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D. 【详解】选项A：由题意可得， 令解得或， 因为，所以令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即， 解得，故B正确； 选项C：当时，， ， ，所以点不是曲线的对称中心，C错误； 选项D：，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，令，， 所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数， ， 令解得或， 因为，所以令解得或， 令解得， 则在，上单调递增，在上单调递减，且，， 图像如图所示， 所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确； 故选：ABD 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的极限表达式计算易得. 【详解】由，则. 故答案为：3. 13. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有_____种. 【答案】18 【解析】 【分析】先根据甲是否被选上分成两类，在每一类中，再依次确定备选的同学以及担任的岗位即可. 【详解】由题意，可分为两类情况：第一类是甲同学未被选上，有种方法； 第二类是甲被选上且不担任主持人，有种方法， 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故答案为：18. 14. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答. 【详解】由，得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0， 当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到， 令，显然函数在上单调递减，函数的值域为， 由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：涉及不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，求出公差的值，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求出，再由分组求和法求和即可． 【小问1详解】 因为成等比数列，所以， 设等差数列的公差为，所以，解得：， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知函数 ． （1）若是的一个极值点，求值及的单调区间； （2）当时，求在区间上的最值． 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由极值点的导数值为求出值，进一步得出的单调区间； （2）当代入，得函数并求导，得出其单调性，利用单调性可求出其最值． 【小问1详解】 由题设，且定义域， 由是的一个极值点得，解得， 此时． 所以，当时；当时， 即在单调递增；在单调递减． 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 则． 所以，当或时；当时． 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为， 又，所以在递减，在递增， 所以的最小值， 又，及， 所以的最大值为. 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）极大值为，极小值为. （2）（i）； （ii）由（i）可知，， 则 令，则， 令，则， 则在上单调递减，因， 则存在使得，即， 则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则， 又，则，则. 【解析】 【分析】（1）求导研究函数的单调性即可； （2）（i）求导后利用换元法，将问题转化为在上有两个不同零点，再求的取值范围； （ii）利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时， ， 则， 由得，；得，或， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 （i）， 则， 令，则， 因，故， 当，即时，， 则在上单调递减，无极值，不满足题意； 当时，令， 欲使有两个极值点， 需使在上有两个不同零点， 则，即， 则的取值范围为. （ii）略 【点睛】关键点点睛：第（i）的关键在于转化与划归思想，求导后得到，可令将其转化为一元二次函数，故而可将问题转化为在上有两个不同零点；第（ii）的关键在于利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值. 19. 若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界，是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围； （2）判断是否是下界为的函数，并说明理由； （3）若函数，是的一个整数下界，求的最大值.（参考数据：，） 【答案】（1） （2）是，理由为： 设，，则， 因在上为增函数，且， 故当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 故是下界为的函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用求导，得到函数的单调区间，求出最小值即得的取值范围； （2）构造函数，通过求导求出函数的最小值，可得即可判断； （3）利用导数分析函数的单调性与最小值，求出最小值的范围，即可得出整数的最大值. 【小问1详解】 由可知，，， 由，可得，由，可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，为. 即，故函数的下界的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，则， 设，则， 当时，，，则，故函数在上为增函数， 又因，故， 由，， 故存在，使得，则. 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故， 设，其中，， 则，故函数在上单调递减， 所以，， 则，且， 故整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学高2026届高二（下）3月月考 数学试题 （考试时间：120分钟） 一、选择题：木大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子不正确的是 A. B. C. D. 3. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 已知焦点在轴上的双曲线．该双曲线的上焦点到下顶点的距离为到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_____. 13. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有_____种. 14. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 已知函数 ． （1）若是的一个极值点，求值及的单调区间； （2）当时，求在区间上的最值． 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 19. 若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界，是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围； （2）判断是否是下界为的函数，并说明理由； （3）若函数，是的一个整数下界，求的最大值.（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $