精品解析：贵州省遵义市凤冈县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

凤冈县第二中学2024至2025学年度第二学期 高一数学学科第一次月考试卷 出题人：周钰 审题人：向跃华 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题直接可得其否定. 【详解】由命题， 则， 故选：D. 2. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可代入求值. 【详解】扇形的半径，所以扇形的面积为， 故选：D. 3. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理直接判断. 【详解】由已知可知在R上单调递增， ， ， ， ， ， 所以， 所以的零点所在区间为， 故选：C. 5. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系. 【详解】，得，则， ，得，则， 所以. 故选：B 6. 新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件对立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 7. 已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质及对数函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由，得，即， 因为不等式在上恒成立， 所以，即可. 由，得，即， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：注意到， ，，从而有；因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，所以有，而，，所以有，故选Ａ． 考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数且过定点 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 不等式的解集为或 D. 函数的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质可判断，对于B，由抽象函数的定义域求解方法可判断，对于C，分类讨论去掉绝对值符号，求解即可；对于D，由基本不等式等号成立的条件即可判断. 【详解】对于A，由指数函数的图象与性质可知，时，，则图象过定点，故A正确； 对于B，由函数的定义域为，得，则， 所以，解得，即函数的定义域为，故B错误； 对于C，由，得或，解得或，故C正确； 对于D，因为，所以由基本不等式可得： ， 由，解得无解，则等号不成立，即函数的最小值不是，故D错误. 故选：AC. 10. 某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 小明得分 30 15 23 33 17 8 小张得分 22 20 31 10 34 9 则下列说法正确的是 A. 小明得分的极差小于小张得分的极差 B. 小明得分的中位数小于小张得分的中位数 C. 小明得分的平均数大于小张得分的平均数 D. 小明的成绩比小张的稳定 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据极差,中位数与平均数的方法求解即可. 【详解】对A, 小明得分的极差为,小张得分的极差为.故A错误. 对B, 小明得分的中位数为.小张得分的中位数为.故B正确. 对C, 小明得分的平均数为.小张得分的平均数为 .故C错误. 对D,计算可得小明和小张平均分相等,但小明分数相对集中,更稳定,故D正确. 【点睛】本题主要考查了数据中的极差,平均值与中位数的算法等.属于基础题型. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断. 【详解】由题意，代入，即， 整理得，即， 解得或，因为，所以， 于是，故B正确. 因为，所以，故A正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理，结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】向量，不共线，则不是零向量， 由与共线，得，即 因此，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 14. 设函数，若存在最小值，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. （1）求及的值； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求解即可； （2）由诱导公式化简并结合（1）即可求解； 【小问1详解】 因为角的终边上一点的坐标是， 由三角函数的定义可得， ， . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 17. 某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． （1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； （3）在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【答案】（1）8.3千元 （2）9.7 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均数. （2）利用频率分布直方图求出第70百分位数. （3）首先要明确分层抽样确定各区间抽取家庭数，然后根据古典概型概率公式计算概率. 【小问1详解】 估计这100个家庭的旅游支出的平均值为： （千元）. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，旅游支出在千元的频率为， 在千元的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数， 则，解得， 所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7. 【小问3详解】 以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在千元内的概率为，千元内的概率为，则按分层抽样的方法抽取5个家庭，千元内抽取家庭数之比为,所以千元内抽取2个家庭, 千元内抽取3个家庭, 设旅游支出在千元的2个家庭记为，在千元的3个家庭记为从这5个家庭中抽取2个家庭的所有可能情况有：，共10种. 至少有1个家庭旅游支出在千元内的情况有：共7种. 所以至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 18. 如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上. （1）用和表示； （2）设，求的值； （3）设，证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明如下： 由（1）得，设， 则 又不共线，所以，即. 由，得. 因为函数在上单调递增， 所以当时，，故. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论； （2）由共线定理根据三点共线可得结果； （3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论. 【小问1详解】 因为， ， . 【小问2详解】 由（1）得， 因为三点共线，所以， 解得. 【小问3详解】 略 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 【答案】（1）函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 对任意的， 函数是倒函数. （2） （3）有， 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解； （3）当时结合函数的单调性及函数值得到，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 因为当时，，所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. 【小问3详解】 方程有正整数解，理由如下： 当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为，，， 所以是方程的一个正整数解， 由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤冈县第二中学2024至2025学年度第二学期 高一数学学科第一次月考试卷 出题人：周钰 审题人：向跃华 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件对立 D. 7. 已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数且过定点 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 不等式的解集为或 D. 函数的最小值为2 10. 某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 小明得分 30 15 23 33 17 8 小张得分 22 20 31 10 34 9 则下列说法正确的是 A. 小明得分的极差小于小张得分的极差 B. 小明得分的中位数小于小张得分的中位数 C. 小明得分的平均数大于小张得分的平均数 D. 小明的成绩比小张的稳定 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______． 13. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 14. 设函数，若存在最小值，则的最大值为_____. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. （1）求及的值； （2）求的值. 16. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示． （1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； （3）在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 18. 如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上. （1）用和表示； （2）设，求的值； （3）设，证明：. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $