18.2.2.2 菱形的性质 课件2024—2025学年人教版八年级数学下册

矩形的性质 人教版八年级下册 1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题. 2. 探索并证明菱形的性质定理. 学习目标 3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法. 2 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 都具有 想一想 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 菱形 邻边相等 活动： 定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． 平行四边形 邻边相等 菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？ 相信你能解释 ! AB=BC ABCD 四边形ABCD是菱形 有一组 的 邻边相等 平行四边形叫做 A D C B ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC. ∴四边形ABCD是菱形. 菱形. 菱形的定义： 几何语言： 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形. 问题: 菱形与平行四边形有什么关系？ 归纳 平行四边形 菱形集合 平行四边形集合 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形. 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD. ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 （2）∵AB = AD. ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中. ∵OB = OD. ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD. 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 菱形的性质： 菱形的四条边都相等. B D A C 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. B D A C 菱形的性质： 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD ; AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC. 相等的线段： 相等的角： 等腰三角形有： 直角三角形有： 全等三角形有： 菱形ABCD中 AB=CD=AD=BC OA=OC,OB=OD. ∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA. ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8. △ABC , △ DBC , △ACD,△ABD. Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA. Rt△AOB ≌Rt△BOC≌Rt△COD ≌Rt△DOA. △ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC. 15 菱形的 两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 数学语言 菱形的性质 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 ∵四边形ABCD是菱形 ∥ = ∴ AD BC AB CD ∥ = ∴ AB=BC=CD=DA A D C B O ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∠ADB=∠CDB ∠ABD=∠CBD AC⊥BD ∴ OA=OC;OB=OD ∴ ∠DAB=∠DCB ∠ADC=∠ABC ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm. ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 典例精析 例如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 归纳 　 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢? 菱形 A B C D O E 【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗? 知识点 菱形的面积 S菱形=BC× AE. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD. ∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗? 5 5 3 4 3 4 5 5 5 5 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。 3 3 4 4 ┍ 尝试练习： 练一练 菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 C B D A O 随堂训练 如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)。 A.10 B.12 C.15 D.20 C 如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______. 第1题图 第2题图 6cm 24 菱形ABCD的两条对角线BD，AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积. C B D A O 解： O (cm2). 如图，菱形ABCD的对角线AC , BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）. A．20 B．24 C．40 D．48 A O D C A B 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝CD. 在△ADF和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE（SAS）. ∴∠1＝∠2． 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2． AD＝CD ∠D＝∠D DF＝DE 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形 ∴∠AED=900, (2)菱形ABCD的面积= ∴AC=2AE=2×12=24(cm). D B C A E A D C B ∟ ∟ E F 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？为什么？ 请你动脑筋 本节反思 ▲你对菱形知多少？请你谈一谈． 从概念上来谈； 从性质上来谈； 从计算上来谈． 知识小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补邻角互补. 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 谢 谢 再 见 32 月光（放松轻音乐纯音乐钢琴曲） 心灵解压屋 唯美/放松/减压/舒缓/哄睡轻音乐 101148.18 XXX - 酷我音乐 $$