10.1.4概率的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 温故知新 一般而言,给出了一个数学对象的定义,就可以从定义出发研究这个数学对象的性质,例如,在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用,类似地,在给出了概率的定义后,我们来研究概率的基本性质. 思考1 你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 下面我们从定义出发研究概率的性质,例如概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系;等等. 新课导入 1. 概率P(A)的取值范围 由概率的定义可知:任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生, 一般地,概率有如下性质: 性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2:必然事件的概率为 1, 不可能事件的概率为 0, 即 P( )=1,P( )=0. 新课讲解 设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系? 思考2 我们先来看 10.1.2节例6 【一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 】. 在例6中,事件R= “两次都摸到红球”与事件G= “两次都摸到绿球”互斥,R∪G= “两次摸到的球颜色相同”. 例6的所有试验结果如右图所示. ∵ n(R)=2, n(G)=2, n(R∪G)=2+2=4, ∴ P(R)=P(G)=2 12. 因此,P(R∪G)=(2+2) 12 =2 12+2 12 =P(R)+P(G). ∴ P(R∪G)= P(R)+P(G). 2. 互斥事件的概率加法公式 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么 P(A∪B) = P(A)+P(B). 一般地,因为事件A与事件B互斥,即A与B不含有相同的样本点,所以n (A∪B)=n(A)+n(B), 这等价于 P(A∪B)=P(A)+P(B) , 即 两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. 所以我们有互斥事件的概率加法公式: 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况. 如果事件A1,A2 ,…,An”两两互斥,那么事件A1∪A2 ∪…∪An发生的概率等于这 n 个事件分别发生的概率之和. 即 P(A1∪A2 ∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 思考3 设事件A和事件B互为对立事件,它们的概率有什么关系? ∵事件A和事件B互为对立事件, ∴ 和事件A∪B为必然事件,即 P(A∪B)=1. 由性质3,得 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1. 由此我们得到 3. 对立事件的概率关系 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么 P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 一般地,对于事件A与事件B,如果A⊆B,即事件A发生,则事件B一定发生,那么事件A的概率不超过事件B的概率. 于是我们有概率的单调性: 性质5:如果A⊆B,那么 P(A) ≤ P(B) 由性质5可得,对于任意事件A, ∵ ⊆ A⊆ ,∴ 0 ≤ P(A) ≤1. 在古典概型中,对于事件A与事件B, 如果A⊆B,那么 n(A) ≤ n(B). 于是 即 P(A) ≤ P(B) 4. 概率的单调性 思考4 10.1.2节例6 【一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 】. 在例6中,事件R1= “第1次摸到红球”,R2= “第2次摸到红球”,R1∪R2=“两个球中有红球”, 那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算 P(R1∪R2)? 例6的所有试验结果如右图所示. ∵ n( )=12,n(R1)=n(R2)=6, ∴P(R1)=P(R2)=6/12, 同样 n(R1∪R2)=10,∴P(R1∪R2)=10/12. 因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是 因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠ , 即事件 R1, R2不是互斥的,容易得到 P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2). 一般地,我们有如下的性质: 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,则 有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) . 5. 概率加法公式 显然,性质3是性质6的特殊情况. 利用上述概率的性质,可以简化概率的计算. 对于任意事件A,因为 ⊆ A⊆ ,由性质(1)、(2)、(5)可得, 所以 0 ≤ P(A) ≤ 1. 总结 练习:课本P242T1 [题型一] 互斥事件、对立事件的概率 例11. 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A= “抽到红心”,事件B= “抽到方片”, P(A)=P(B)=0.25. 那么 (1) C= “抽到红花色”,求P(C); (2) D= “抽到黑花色”,求P(D). 课本P.241 例11 解:(1) ∵ C=A∪B, 且A与B不会同时发生, ∴ A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加法公式, 得 P(C) = P(A)+P(B) = 0.25+0.25 = 0.5 (2) ∵ C与D互斥,又∵ C∪D是必然事件, ∴ C与D互为对立事件. 因此,P(D) = 1-P(C) = 1-0.5 = 0.5. (1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率. [题型一] 互斥事件、对立事件的概率 [题型一] 互斥事件、对立事件的概率 练习课本P244 T13 [题型二] 互斥事件与对立事件概率的综合问题 课本P.241 例12 例12. 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 分析:“中奖”包括第一罐中奖 但第二罐不中奖、第一罐不中奖 但第二罐中奖、两罐都中奖三种 情况。如果设A= “中奖”,A1= “第一罐中奖”,A2= “第二罐中奖”,那么就可以通过事件的运算构建相应事件,并利用概率的性质解决问题. [题型二] 互斥事件与对立事件概率的综合问题 课本P.241 例12 例3. 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 解:设事件A= “中奖”,事件A1= “第一罐中奖”,事件A2= “第二罐中奖”,那么事件 A1A2=“两罐都中奖”,A1A2=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,A1A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2∪A1A2∪A1A2. 因为A1A2,A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2). 我们借助树状图来求相应事件的样本点数. [题型二] 互斥事件与对立事件概率的综合问题 课本P.241 例12 例3. 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 可以得到,样本空间 包含的样本点个数为 n( )=6 5=30,且每 个样本点都是等可能的. ∵ n(A1A2)=2,n(A1A2)=8,n(A1A2)=8, ∴ [题型二] 互斥事件与对立事件概率的综合问题 课本P.241 例12 例3. 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 解法二:设事件A= “中奖”,事件A1= “第一罐中奖”,事件A2= “第二罐中奖”,那么事件 A1A2=“两罐都中奖”,A1A2=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,A1A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,则A=A1A2∪A1A2∪A1A2. ∵A与A1A2对立,∴ 根据对立事件的概率公式,可得P(A)=1-P(A1A2) = [题型二] 互斥事件与对立事件概率的综合问题 【训练3】 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具? 解 (1)记“他乘火车”为事件A,“他乘轮船”为事件B,“他乘汽车”为事件C,“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥,所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p,则 p=1-P(B)=1-0.2=0.8, 所以他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5, P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5, 故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去. 课堂小结 课堂小结 求解古典概型问题的一般思路 ①明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点); ②根据实际问题情景判断样本点的等可能性; ③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数; ④求出事件A的概率. 概率的性质 (1)对任意事件A,都有P(A)≥0. (2)P( )=1,P(∅)=0. (3)A与B互斥,P(A∪B)=P(A)+P(B). (4)A与B互为对立事件, P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). (5)如果A⊆B,P(A)≤P(B). (6)A,B是一个随机试验中的两个事件,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 题型一 互斥事件概率公式的应用 【例1】 (1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=eq \f(1,6),求出现1点或2点的概率. 解 (1)设事件C为“出现1点或2点”,因为事件A,B是互斥事件,由C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)=eq \f(1,6)+eq \f(1,6)=eq \f(1,3),所以出现1点或出现2点的概率是eq \f(1,3). 题型二 对立事件概率公式的应用 【例2】 甲、乙两人下棋,和棋的概率为eq \f(1,2),乙获胜的概率为eq \f(1,3),求: (2)法一 设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=eq \f(1,6)+eq \f(1,2)=eq \f(2,3). 例2. 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1. 计算这个运动员在一次射击中: (1) 射中10环或9环的概率; (2) 至少射中7环的概率. 解:设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3. ∴ 射中10环或9环的概率为0.3. ∵射中7环以下的概率为0.1, ∴由对立事件的概率公式得, 至少射中7环的概率为1-0.1=0.9 . 含“至多”、“至少”等词语的概率的计算 互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B). 当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题. 化归转化思想的应用 互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式,运用公式解题时,首先要把一个事件分拆为几个事件的和,同时要分清这几个事件是否互斥,然后求出各事件的概率,再用加法公式得出结果. 当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时,可间接地计算出其对立事件的概率,求得对立事件的概率,然后再用对立事件的概率加法公式求解. 1.概率的性质 (1) 对任意事件A,都有0≤P(A)≤1. (2) P( )=1,P(∅)=0. (3) 如果A⊆B,P(A)≤P(B). A,B是一个随机试验中的两个事件, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 特别:①当A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B). ②当A与B对立时,P(B)=1-P(A) 或P(A)=1-P(B). 2.常用概率的加法公式 (1)当A与B互斥(即AB=∅)时,有 P(A∪B)=P(A)+P(B), 这称为互斥事件的概率加法公式. (2)一般地,如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件,则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). (3) P(A)+P(eq \x\to(A))=1. 3.求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件; (2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率. Company Logo Add Your Company Slogan PowerPoint Template DECEMBER 2003 DESIGNED BY BETTYMOON Contents Title 1 Title 2 Title 3 Title 4 Title 5 Click to edit Master title style Competitors You may want to allocate one slide per competitor Strengths Your strengths relative to competitors Weaknesses Your weaknesses relative to competitor Diagram 1 Diagram 1 Diagram 2 Diagram 3 Diagram 1 Click to edit sub text Diagram 2 Click to edit sub text Diagram 3 Click to edit sub text Diagram 2 Diagram 3 Diagram 3 Diagram 2 Diagram 2 Diagram 1 Diagram 2 Diagram 3 Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5 Test 6 Test 7 Test 8 Test 9 Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5 Test 6 Test 7 Test 8 Test 9 Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5 Test 6 Test 7 Test 8 Test 9 Click to edit Master title style Chart A B C D E 1 2 3 4 5 Diagram 3 Text 1 sub text Text 2 sub text Text 3 sub text Chart 2 Chart 3 Company Logo Add Your Company Slogan Thank you $$