高二数学期中模拟卷（北师大版2019选修：统计案例+数列）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第八章和第二册第一章（统计案例+数列） 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（    ） A． B． C． D．1 4．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算值推断，得到的正确结论是（    ） A．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” B．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” C．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关 6．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则 （   ） A． B． C． D． 7．下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 8．若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 11．已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于 小于等于 大于 a b 小于等于 d 总计 附：若，则． ，其中． A．根据正态分布估计 B．根据正态分布估计 C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联 D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 13．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数），  若，则 m 所有的可能取值为 14．在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 16．（13分）学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 17．（15分）已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 18．（17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：    令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 19．（17分）已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 2 3 5 7 8 A C D B A C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.9.5 13.16或2 14.2022 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)设等比数列a}的公比为9， 3 因为-4,4,4成等差数列， 所以2x3 4=-4+a, -3分 3 所以2×ag=-4+a4, 因为a=1,且各项均为正数， -5分 所以9=-1+，2q+训g-2=0 因为a}各项均为正数，解得q=2, -7分 所以a,=2,则5-3=2”-1 -9分 (2)由愿可知，b.是等差数列，b,=log,(2”-1+1)=n, --11分 则数列f6.}前n项和T,=m+少 -13分 2 1/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(13分) 【详解】(1)这100位学生中，“公序良俗达人有20人，由此补全列联表如下： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 -3分 零假设H。：“公序良俗”达人与性别无关， 可得x21013x50-7×30、4937>3841, -5分 20×80×57×43 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们可推断H。不成立， 即认为“公序良俗”达人与性别有关. -7分 (2)由题意，随机变量X的可能有0,1,2,3， 可得PX=0=C+C%+C+C=2 C 9 PX-1)-C5Ci+CLCio+CiC 33 P(X-2)-CCha+CCk8 33 P叫X=3=CC-8 99 --11分 所以X的分布列如下： X 0 3 25 14 8 P 99 33 99 -13分 所以数学期银E(=0码+1营2是+3号器 33 9933 -15分 2/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分) 【详解】(1)若选①：因为数列a}是等比数列， 设公比为q,S2=6,且4a2,2a,a4成等差数列， 所以 a+a9=6 -3分 4a9+a93=4a91 解得4=2,9=2， 5分 所以an=2×2"-1=2” 6分 若选②：因为数列{a,}是递增的等比数列，a,a:=32,a2+a,=12, 所以 a44=a43=32 a2+a=12 ，所以4，=4,4=8,9=4=2， 3分 所以a,=a9-2=4×2-2=2”- -6分 若选③：因为S。=2a。-2,所以S-1=2a1-2n22), 两式相减可得am=2a.-2a-1,即an=2a-1,又n=1时，a,=2,---- 2分 所以=2n22引，… 3分 au-t 所以数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an=2×2-=2". -6分 (2)方法一：：6=1024_1024-20 --7分 4。 2 f9+10-w I9- Tn=bbb…bn=2°.2.22…210-t=22 =22， 9分 又19-.-n-19+361 2 2n-2+ -10分 8 由复合函数单调性可知， 当n<9时，工单调递增；当n之？时，了单调递减 -13分 又n∈N,所以当n=9或n=10时，T最大，T=T=o=25 -15分 方法二：b 1024-1024=20-， -7分 3/5 学科网，·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9+0- 网19- Tn=b,b,b…bn=29.28.22…210-"=22=22, 9分 (M+1(18-w 网19-m刷 所以-2 22 = 7a10=20-(n≥2， -11分 22 T22 当2-≤1，即n29时，T,≥T1 当20-n≥1，即n≤10时，Tn≥T,, .-13分 又neN,所以当n=9或m=10时，T,最大，Tm=)=7o=2 -15分 18.(17分) 【详解】(1)设模型①和②的相关系数分别为方，互， s-0,-可 19.519.5 由题意可得： ②-可2-可 √40320.1 2x-y-可 8.06 8.06 1 4分 -可2-可 V40.3×1.6128.06 所以<，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.一 5分 -y-列 (2)因为n=回 8.06 -6分 - 1.612 =5, y=88, 由v=∑=0.96，月 -7分 5 得m=y-5=8.8-0.96×5=4,- -8分 所以y=5v+4,即回归方程为y=5nx+4,---- 9分 当x=6时，y=56+4≈13，- -10分 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） -11分 (3)净利涧为200×(51nr+4)-200x-5,(x>0), 12分 令gx=200×(5lnr+4)-200xr-5, 所以gx=1000-200 --13分 可得y=gx在(0,5)上为增函数，在5，+o上为减函数， 4/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以8xn=g5)=200x5ln5+4-5)-*1400-5, -15分 由题意得：1400->1000，即号<400， P(ξ<400=P(ξ>800=0.3，--- -16分 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.- -17分 19.(17分) 【详解】(1)：2S.=(n+1a,当n22时，2S-=na1 -1分 两式相减得，2a,=(a+1a,-0,整理得(1-)a,-a=0,即马=” a n-1' -3分 当m22时，0，=444=3×子×x…x=3n,4=3满足此式 a az a 12 n-1 -4分 .an=3n.-- -5分 (2)①油(1)得，2S,=3mn+1,S=3nn+1,S-3n+ -一6分 2 2 数列/ 是首项为3，公差为的等差数列 -7分 n 当为奇数时，n+1为偶数， 3n+为3的整数倍，引”+是数列a,中的项， 2 当为偶数时，n+1为奇数， 3n+山不是数列a,}中的项， -9分 2 .数列(b中的项为数列 }的偶数项，且6=】之 S2-9 ---10分 n :数列是首项为号公差为3的等差黄列 6号a-小0g 2 -11分 bh4=32n+D.32n+3_92n+12n+3》1 211】 b.b19(2n+102n+3)92n+12n+3 -12分 2 2 An 93557 …+2n+12n+3厂952n+354n+8 -13分 ②0得人=32+，4=号A-号6n+3头632，+D, 2 2 --14分 2 :46氏成等比数到公=6。即[6m+3列-2 T_9.32c+0 -15分 11 1 .cn=6m2+6m+1, 111 cm6n2+6n+16n2+6n6m(n+1)6nn+1 -16分 Gcc6223nn+16m+16 -17分 5/5 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第八章和第二册第一章（统计案例+数列） 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（    ） A． B． C． D．1 4．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算值推断，得到的正确结论是（    ） A．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” B．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” C．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关 6．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 7．下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 8．若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 11．已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于 小于等于 大于 a b 小于等于 d 总计 附：若，则． ，其中． A．根据正态分布估计 B．根据正态分布估计 C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联 D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 13．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数），  若，则 m 所有的可能取值为 14．在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 16．（13分）学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 17．（15分）已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 18．（17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：    令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 19．（17分）已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第八章和第二册第一章（统计案例+数列） 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于， 若，则， 而，则，所以不符合题意. 当且时，， 即， 即， 则. 故选：A 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 3．现有一组样本数据点，则该组样本数据点的相关系数（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，故， 由直线的斜率为正，可知，所以. 故选：D. 4．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算值推断，得到的正确结论是（    ） A．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” B．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” C．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D．有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关 【答案】A 【详解】由题意，， 因此，有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”. 故选：A. 6．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为“对奇数列”，则，即，又， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 7．下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【详解】对于A，新数据的总和为，与原样本数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， ，而， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原样本数据更集中于平均数，因此方差变小，A错误； 对于B，经验回归直线必经过样本点的中心， ，解得，B错误； 对于C，一模考试中的数学成绩，， 则，， 那么的人数为人，C错误； 对于D，，，， 解得，D正确， 故选：D. 8．若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 【答案】C 【详解】当时，，所以， 因为，解得，当时， 则，因为， 所以，当时，， 所以，猜想，假设当时成立， 此时， 现证明， 当时，左边为，右边为， 成立，当时，左边为，右边为， 也成立，进一步假设当时成立， 即，则当时， 左边变为， 展开整理可得， 与右边一致，故等式对任意成立， 所以时满足条件，当时， 由递推关系代入和得， 即，因为， 所以，所以， 前项和为，且立方和为， 满足，所以C正确； 取，计算时， ，立方和为，故A错误； ，当时，， 立方和为，故B错误； 选项D前项和为， 当时和为，与矛盾，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快， 结合选项，可判定为指数函数或的特征， 故选：BD. 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知：，于是有，，即， 由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确， ，B选项不正确； ， 由错位相减可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误. 故选：AC. 11．已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于 小于等于 大于 a b 小于等于 d 总计 附：若，则． ，其中． A．根据正态分布估计 B．根据正态分布估计 C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联 D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立 【答案】ABC 【详解】因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布， 由正态分布可得， 若从该地区随机选取成年男士100人，则身高大于177的人数约为16人， 所以，故A正确； 因为体重（单位：）服从正态分布． 因为体重大于， 所以可得从该地区随机选取成年男士100人，体重大于73的数约为16人， 所以体重小于等于73的数约为84人，故，故B正确； 若，则， 零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关， 计算可得， 由小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以该地区成年男士身高超过与体重超过相关联，故C正确；D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知具有线性相关性的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ． 【答案】9.5 【详解】因为，， 所以， 又线性回归直线经过样本中心点，所以. 故答案为：9.5. 13．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数），  若，则 m 所有的可能取值为 【答案】16或2 【分析】根据，且，利用递推求解. 【详解】解：因为，且， 所以或（舍去）； 或； 或或0（均舍去）， 故答案为：16或2 14．在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为 . 【答案】2022 【详解】因，， 显然，则有， 而，有，则， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴，即， ∴， 当时，， 所以n的值为2022. 故答案为：2022 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，-----------------------------------------------------------------------------------------------3分 所以， 因为，且各项均为正数，-------------------------------------------------------------------------------------5分 所以，即， 因为各项均为正数，解得，--------------------------------------------------------------------------7分 所以，则.-----------------------------------------------------------------------------9分 （2）由题可知，是等差数列，，--------------------------------------------------11分 则数列前项和.------------------------------------------------------------------------------------13分 16．（13分）学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 【详解】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：     性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 零假设：“公序良俗”达人与性别无关， 可得，------------------------------------------------------------------5分 所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立， 即认为“公序良俗”达人与性别有关．----------------------------------------------------------------------------------7分 （2）由题意，随机变量的可能有，，，， 可得， ， ， ，-------------------------------------------------------------------------------------11分 所以的分布列如下： 0 1 2 3 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13分 所以数学期望.-----------------------------------------------15分 17．（15分）已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【详解】（1）若选①：因为数列是等比数列， 设公比为，且成等差数列， 所以，------------------------------------------------------------------------------------------3分 解得，------------------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以.---------------------------------------------------------------------------------------------------6分 若选②：因为数列是递增的等比数列，， 所以，所以，-----------------------------------------------3分 所以.-----------------------------------------------------------------------------6分 若选③：因为，所以， 两式相减可得，即，又时，，----------------------------------2分 所以，-------------------------------------------------------------------------------------------3分 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以.--------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）方法一：，------------------------------------------------------------------7分 ，----------------------------------------------------9分 又，-----------------------------------------------------------------------------10分 由复合函数单调性可知， 当时，单调递增；当时，单调递减；--------------------------------------------------13分 又，所以当或时，最大，.-----------------------------------15分 方法二：，--------------------------------------------------------------------------7分 ，------------------------------------------------------9分 所以，，---------------------------------------------11分 当，即时，， 当，即时，，----------------------------------------------------------------------------13分 又，所以当或时，最大，.------------------------------------15分 18．（17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：    令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：，------------------------------------------2分 ,--------------------------------------------------------4分 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.----------------------------------------5分 （2）因为，----------------------------------------------------------------------6分 又由，，--------------------------------------------------------------------------7分 得，--------------------------------------------------------------------------------------8分 所以，即回归方程为，-----------------------------------------------------------------------9分 当时，，----------------------------------------------------------------------------------------10分 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.-----------------------------------11分 （3）净利润为，，--------------------------------------------------------------12分 令， 所以，--------------------------------------------------------------------------------------------------13分 可得在上为增函数，在上为减函数， 所以，------------------------------------------------------------15分 由题意得：，即， ，-------------------------------------------------------------------------------------------16分 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.----------------------------------------------------------------17分 19．（17分）已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 【详解】（1）∵，∴当时，，---------------------------------------------------1分 两式相减得，，整理得，即，---------------------------3分 ∴当时，，满足此式，------------------------------4分 ∴.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5分 （2）①由（1）得，，∴，，-------------------------------------6分 ∴数列是首项为，公差为的等差数列.---------------------------------------------------------------------7分 当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项， 当为偶数时，为奇数，不是数列中的项，--------------------------------------------------9分 ∴数列中的项为数列的偶数项，且，------------------------------------------------------10分 ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，------------------------------------------------------------------------------------------11分 ∴，，-------12分 ∴.----------------------------------------13分 ②由①得，，∴，-----------------------------------------14分 ∵成等比数列，∴，即，---------------------------------15分 ∴，∴，---------------------------------16分 ∴.--------------------------------------17分 ( 14 / 17 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$