第三单元 因数与倍数（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下学期期中复习讲练测（苏教版）

第三单元 因数与倍数（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、在axb=c（a、b、c均是非0自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。 3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。 4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。 5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数（0除外）相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。 6、5的倍数：个位上是0或5。 7、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。 8、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。 9、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 10、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 11、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 12、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 13、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 14、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 15、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 16、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 17、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 02 重点提炼 1、理解因数和倍数的含义。 2、归纳出找一个数的因数和信数的方法。 3、掌握2、5、3的倍数的特征，理解奇数、偶数的概念。 4、判断一个数是不是2、5、3的倍数。 5、理解质数和合数的意义。 6、能判断一个数是质数还是合数，会分解质因数。 7、理解两个数的公因数和最大公因数的含义。 8、掌握求 100以内两个自然数的公因数和最大公因数的方法。 9、理解两个数的公倍数和最小公倍数的含义。 10、掌握求 10以内两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 03 易错集锦 易错点1：因数和倍数的特征。 误区点拨： 因数和倍数是新接触的知识，同以前认识的“因数”和“倍数”有区别，在一些特征上往往理解错误。 （1）因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的；一个数的因数的多少，和数本身的大小没有必然的关系。 （2）一个数的因数最小是1，最大是它本身，所以这个数和它的因数比较大小，这个数等于或大于它的因数；一个数乘自然数（除了0），就得到这个数的倍数，自然数的个数是无限的，这个数的倍数也是无限的，一个数的最小的倍数是它本身，这个数和它的倍数比较大小，这个数等于或小于它的倍数。 易错点 2：2，3，5 的倍数的特征。 误区点拨： （1）判断3的倍数特征时，往往会根据2，5的倍数特征形成错误的认识。2的倍数的特征是个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；3的倍数的特征是一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特征是个位上是0或5的数都是5的倍数。 （2）判断一个数是不是同时是 2、3、5的倍数，要综合考虑，满足2的倍数，这个数的末尾必须是偶数，满足5的倍数，这个数的末尾必须是0或5，同时满足2和5的倍数，这个数的末尾必须是0，然后这个数的各个数位上的数字相加的和还要是3的倍数。这些条件缺一不可。 易错点 3：质数和合数的概念。 误区点拨： （1）所有的自然数可以分为奇数和偶数，但是不能分为质数和合数。 （2）质数和合数是按照一个数的因数的多少来分的：一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数，如果还有其他的因数，这个数就是合数。1既不是质数也不是合数，所以除了0以外的自然数，分为质数、合数和 1。 易错点 4：求最小公倍数。 误区点拨： （1）求最小公倍数时，出现直接将两个数相乘的错误。 （2）两个数的最小公倍数，只有这两个数只有公因数1时，这两个数的最小公倍数才是这两个数的乘积。当这两个数的公因数除了1以外，还有别的公因数时，就不能将它们直接相乘，一般是先找出其中较大数的倍数，然后在这些倍数中找出较小数的最小的倍数，这个数就是它们的最小公倍数。 04 巩固拔高 一、填空题 1．玲玲想用若干张长，宽的长方形彩纸，按下图拼成正方形，正方形的边长至少是( )厘米，至少需要( )张长方形彩纸。 【答案】90 45 【分析】把长18厘米，宽10厘米的长方形纸，拼成一个正方形，求正方形的边长最小是多少厘米，就是求长和宽的最小公倍数，据此解答即可。 【解答】 所以18和10的最小公倍数是： 彩纸数量： （张） 即正方形的边长至少是90厘米，至少需要45张长方形彩纸。 【点评】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是掌握求最小公倍数的方法。 2．规定运算“⊙”如下：对于两个自然数m和n，它们的最小公倍数和最大公因数的差记作m⊙n。比如：12和16的最小公倍数是48，最大公因数是4，则12⊙16＝48－4＝44，那10⊙14的结果是( )。 【答案】68 【分析】先分别计算出10和14的最小公倍数，最大公因数，再用最小公倍数减去最大公因数，所得差即为10⊙14的结果。 【解答】10＝2×5 14＝2×7 10和14的最大公因数是2； 2×5×7＝70，10和14的最小公倍数是70； 所以10⊙14＝70－2＝68。 因此10⊙14的结果是68。 3．暑假期间，小明每6天去一次新华书店，小华每8天去一次新华书店，7月2日两人在新华书店相遇，7月( )日，他们两人会在新华书店再次相遇。 【答案】26 【分析】小明每6天去一次，小华每8天去一次，6和8的最小公倍数就是他们相遇两次之间间隔的时间；再从7月2日向后推算这个天数即可。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 所以他们每相隔24天在新华书店相遇； 7月2日再过24天是7月26日。 所以7月26日，他们两人会在新华书店再次相遇。 4．五（1）班的学生人数在40～50人，王老师想把全体学生平均分成若干个学习小组，无论按4人一组还是6人一组，都正好多出1人。这个班有( )人。 【答案】49 【分析】由题意可知，五（1）班的学生人数减少1后是4和6的公倍数，五（1）班的学生人数在40～50人，所以先求出在40～50之间4和6的公倍数，再用所求的公倍数再加1，即可求出五（1）班的学生人数，据此解答。 【解答】在40～50之间4的倍数有：40、44、48。 在40～50之间6的倍数有：42、48。 因此在40～50之间4和6的公倍数有：48。 48＋1＝49（人） 即这个班有49人。 5．小静打开数学书时，发现两页页码之积是420，这两页分别是( )页和( )页。 【答案】20 21 【分析】根据题意，两页页码之积是420，先把420分解质因数，再把这些质因数重新组合，变成连续两个自然数相乘的形式，即可得解。 【解答】420＝2×2×3×5×7＝（2×2×5）×（3×7）＝20×21 这两页分别是20页和21页。 6．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】3 24 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 7．用边长( )dm，( )dm和( )dm的正方形都能正好铺满长20dm、宽16dm的长方形，其中用( )dm的正方形去铺，能使需要的正方形个数最少。 【答案】1 2 4 4 【分析】所用正方形要能正好铺满长20dm、宽16dm的长方形，所用正方形的边长应为20和16的公因数，求出20和16的公因数即可；要使需要的正方形个数最少，则所用正方形的边长应最大，也就是20和16的最大公因数；据此解答。 【解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 16的因数有：1，2，4，8，16； 20和16的公因数为：1，2，4，20和16的最大公因数为：4。 因此用边长1dm，2dm和4dm的正方形都能正好铺满长20dm、宽16dm的长方形，其中用4dm的正方形去铺，能使需要的正方形个数最少。 8．3□6是3的倍数，□里最大填( )。17□是2的倍数，□里最大填( )。45□是3和5的公倍数，□里填( )。 【答案】9 8 0 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】最大的一位数是9，3＋9＋6＝18，18是3的倍数，则396是3的倍数，□里最大填9。 17□是2的倍数，个位是0、2、4、6、8，□里最大填8。 45□是5的倍数，则个位是0或5；4＋5＋0＝9，9是3的倍数；4＋5＋5＝14，14不是3的倍数，所以45□是3和5的公倍数，□里填0。 填空如下： 3□6是3的倍数，□里最大填（9）。17□是2的倍数，□里最大填（8）。45□是3和5的公倍数，□里填（0）。 9．写出每组数的最小公倍数。 2和11( )      6和18( )      15和10( )      3和8( ) 【答案】22 18 30 24 【分析】最小公倍数‌是几个数（两个或两个以上）的‌公倍数中最小的一个‌。 本题求最小公倍数的方法：互质的两个数的最小公倍数应该是它们的乘积；成倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数；分解质因数法求解：将两个数分别分解质因数，然后取各质因数的最大次数，再将它们相乘即可。 【解答】2和11为互质的两个数，2×11＝22，所以，2和11的最小公倍数是22； 18÷6＝3，18是6的倍数，所以，6和18的最小公倍数是18； 15＝3×5，10＝2×5，所以，15和10的最小公倍数是：3×2×5＝30； 3和8为互质的两个数，3×8＝24，所以，3和8的最小公倍数是24； 2和11（22）  6和18（18）  15和10（30）  3和8（24） 10．德国数学家哥德巴赫提出过两个猜想：任何一个不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式；任意一个大于5的奇数都可以写成三个质数之和，如4＝2＋2，11＝3＋3＋5。请你写出四个符合猜想的算式。 ( )＝( )＋( )    ( )＝( )＋( )＋( ) ( )＝( )＋( )    ( )＝( )＋( )＋( ) 【答案】6 3 3 9 5 2 2 8 3 5 15 2 11 2 【分析】质数：因数只有1和它本身的数是质数。例：2、3、5、7、…。偶数：能被2整除的数是偶数，数的个位是0、2、4、6、8是偶数。奇数：不能被2整除的数是奇数，数的个位是1、3、5、7、9的数是奇数。 【解答】6＝3＋3；9＝5＋2＋2； 8＝3＋5；15＝2＋11＋2（答案不唯一） 二、判断题 11．11×13×15×17×2的积是奇数。( ) 【答案】× 【分析】通过奇数和偶数的乘法得出的结果即可判断最后结果是奇数还是偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，由此可知偶数乘任何数都等于偶数，由于题目中有一个2，2是偶数，由此即可判断。 【解答】通过分析可知，任何数乘偶数都等于偶数，题目中最后是乘2，所以可知这个结果是偶数。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查奇数和偶数的运算规律，要清楚偶数乘任何数都等于偶数。 12．质数一定是奇数，合数一定是偶数。( ) 【答案】× 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】如：质数2是偶数，合数9是奇数。 所以，质数不一定是奇数，合数也不一定是偶数。 原题说法错误。 故答案为：× 13．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数可能是8和12。( ) 【答案】× 【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此可设这两个数分别是4x，4y，x和y互质，且4xy＝12，据此求出xy的积，进而推出x和y的值，最后推出这两个数。据此解答。 【解答】设这两个数分别是4x，4y， 4xy＝12 解：4xy÷4＝12÷4 xy＝3 3＝1×3 1×4＝4 3×4＝12 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数是4和12。原题干说法错误。 故答案为：× 【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数的认识和应用。 14．5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数；每连续5个数字中，一定有末尾是0或5的数，据此判断。 【解答】个位是0或5的数是5的倍数，每连续5个数字中（0除外），一定有末尾是0或5的数，因此5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 15．相邻两个自然数中一定有一个不是2的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】自然数按照能否被2整除分为奇数和偶数，相邻的两个自然数必然是一个奇数一个偶数，偶数能被2整除，奇数不能被2整除。据此解答。 【解答】相邻的两个自然数中，一个数是奇数，那么另一个一定是偶数，一个是偶数，那么另一个数是奇数，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，所以相邻两个自然数中一定有一个不是2的倍数。 原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 16．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可知，要求每小段铁丝最长是几m，就是求24和42的最大公因数，可用短除法解答。 【解答】 24和42的最大公因数是 所以，两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是6m。 故答案为：C 17．用4，5，6组成一个三位数，这个三位数一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．2和3 【答案】B 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此逐项分析。 【解答】A．当组成的数是465或645时，不是2的倍数，所以该说法不符合题意。 B．，，所以用4，5，6组成一个三位数，这个三位数一定是3的倍数，该说法符合题意。 C．当组成的数是456、546、654或564时，不是5的倍数，所以该说法不符合题意。 D．当组成的数是465或645时，不是2的倍数，所以该说法不符合题意。 故答案为：B 18．两个合数的最大公因数是1，最小公倍数是144，这两个数是（    ）。 A．1和144 B．8和18 C．2和72 D．9和16 【答案】D 【分析】先分析各选项中的两个数是否是合数，再把两个合数分解质因数，从而得出它们的最大公因数和最小公倍数，据此解答。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【解答】A．1和144中，1不是合数，不符合题意； B．8和18都是合数，8＝2×2×2，18＝2×3×3； 8和18的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72，不符合题意； C．2和72中，2不是合数，不符合题意 D．9和16都是合数，且是互质数； 9和16的最大公因数是1，最小公倍数是9×16＝144，符合题意。 故答案为：D 19．下面各数中，同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．18 B．220 C．75 D．810 【答案】D 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此解答。 【解答】A．1＋8＝9，，18符合2和3的倍数特征，但不符合5的倍数特征。 B．，，220符合2和5的倍数特征，但不符合3的倍数特征。 C．，，75符合5和3的倍数特征，但不符合2的倍数特征。 D．，，810符合2、3和5的倍数特征，所以它同时是2、3、5的倍数。 故答案为：D 20．（    ）是24的质因数。 A．3和8 B．2和12 C．2和3 【答案】C 【分析】分解质因数：把一个合数分解成若干个质数相乘的形式，叫作分解质因数，这几个质数叫做这个合数的质因数，据此解答。 【解答】24＝2×2×2×3 2和3是24的质因数。 故答案为：C 四、计算题 21．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        9和10        78和39        72和48 【答案】12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36； 9和10的最大公因数是1，最小公倍数是90； 78和39的最大公因数是39，最小公倍数是78； 72和48的最大公因数是24，最小公倍数是144 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【解答】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 （2）9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，9和10的最小公倍数是：9×10＝90。 （3）78是39的倍数，所以78和39的最大公因数是39，最小公倍数是78。 （4）72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和48的最大公因数是：2×2×2×3＝24 72和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3×3＝144 五、解答题 22．五（1）班同学按每组8人或每组10人分组，都能恰好分完而没有剩余。五（1）班至少有多少人？ 【答案】40人 【分析】要使五（1）人数最少，且按每组8人或每组10人分组都恰好分完没有剩余，则五班人数是8和10的最小公倍数。 用分解质因数的方法求8和10的最小公倍数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。 【解答】8＝2×2×2，10＝5×2 则8和10的最小公倍数为5×2×2×2＝40， 答：五（1）班至少有40人。 23．西湖公园要对小河的一侧进行绿化，等距离地栽上柳树（两头都栽）。已知小河AB的长为171米，在如图所示的C处，已经有了一棵这样的柳树，如果要将这棵柳树利用起来，至少要购买多少棵柳树？ 【答案】9棵 【分析】因为C这棵树位于A处95米，位于B处76米，要想保留这棵柳树，就是要求出95和76的最大公因数，然后用AB的长度除以95和76的最大公因数，因为两端都要栽，再加上1棵就是总棵数，但已经在C处有1棵，因此应减去这1棵，即可解答。 【解答】95＝19×5 76＝19×4 95和76的最大公因数是19，即每隔19米一颗柳树。 （95＋76）÷19＋1－1 ＝171÷19＋1－1 ＝9＋1－1 ＝10－1 ＝9（棵） 答：至少要购买9棵柳树。 【点评】解答本题的关键是求出95和76的最大公因数，再进行解答。 24．王老师把20本语文本和25本数学本平均分给第一小组的同学，结果语文本多了2本，数学本少了2本。第一小组最多有多少人？ 【答案】9人 【分析】根据题意可知，分给第一小组的语文本为（20－2）本，数学本为（25＋2）本，要求第一小组有多少名同学，就是求分给第一小组语文、数学本数的最大公因数。 【解答】20－2＝18（本） 25＋2＝27（本） 18＝2×3×3 27＝3×3×3 所以18和27的最大公因数是3×3＝9。 答：第一小组最多有9人。 【点评】先求出分给第一小组的语文本、数学本的本数，再求语文本、数学本本数的最大公因数即可解答。 25．圈一圈：暑假期间，小玲每3天去图书馆看书一次，小芳每4天去一次。8月3日，她们在图书馆相遇，下次相遇是八月几日？ 【答案】8月15日 【分析】要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出两人再次都到图书馆所需要的天数，也就是求3和4的最小公倍数， 3和4的最小公倍数是12；所以8月3日两人在图书馆相遇，再过12日她俩就都到图书馆，也就是下一次相遇的时间是8月15日。 【解答】因为3和4是互质数，所以3和4的最小公倍数： 3×4＝ 12 也就是说再过12日就能在图书馆相遇。 根据这次都到图书馆的时间是8月3日，可推知她俩下一次在图书馆相遇的时间是8月15日。 答：下次相遇是8月15日。 【点评】此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题，解决此题关键是先求出这两个人再次都到图书馆中间相隔的时间，也就是求3和4的最小公倍数。 26．长方形广场的长是78米，宽是60米。在广场的每条边上以相等的距离摆花盆（4个顶点各摆一盆），要求两个花盆之间的距离尽可能大。一共可以摆多少盆？ 【答案】46盆 【分析】在广场的每条边上以相同的距离摆花盆，要求相邻两个花盆之间的距离尽可能最大，相邻两个花盆之间的距离就是78和60的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的最大公因数是两个是的公有质因数的连乘积；广场形状是首尾相连的封闭图形，可以先求出广场的周长；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，求出广场的周长，再用广场的周长÷相邻两个花盆之间的距离，即可求出一共可以摆花盆的数量。 【解答】78＝2×3×13 60＝2×3×2×5 78和60的最大公因数是：2×3＝6 （78＋60）×2÷6 ＝138×2÷6 ＝276÷6 ＝46（盆） 答：一共可以摆46盆。 【点评】利用求最大公因数的方法，植树问题，以及长方形周长公式进行解答。 27．63个小朋友参加表演，如果每5个小朋友分成一组，那么至少再来几个小朋友才能正好分完？如果既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉几个小朋友？ 【答案】2个；3个 【分析】5个小朋友分成一组，要求正好分完，则小朋友的个数是5的倍数，即个位上是0或者5，比63大的个位上是5的数最小是65，所以至少再来65－63＝2（个）小朋友。既能平均分成五组又能平均分成两组，则小朋友的个数是2和5的倍数，即个位上是0，比63小的个位上是0的数最大是60，所以至少要去掉63－60＝3（个）小朋友。据此解答。 【解答】(个） （组） （个） (个) （个） 答：如果每5个小朋友分成一组，那么至少再来2个小朋友才能正好分完；如果既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉2个小朋友。 28．一张长方形纸片长20厘米，宽16厘米，如下图所示，在纸的四边留2厘米的空白，然后把中间的长方形平均分成若干个相同大小的正方形。正方形的边长最大是多少厘米？一共可以分成多少个这样的正方形？ 【答案】4厘米；12个 【分析】根据题意可知，用20－2×2，求出中间长方形的长；用16－2×2，求出中间长方形的宽；求正方形的边长最大是多少厘米，就是求中间长方形的长与宽的最大公因数；根据求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数为1；据此求出正方形的边长；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，正方形面积公式：面积＝边长×边长，分别求出中间长方形的面积和正方形的面积，再用长方形的面积÷正方形的面积，即可求出一共可以分成多少个这样的正方形。 【解答】中间长方形的长： 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 中间长方形的宽： 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 16和12的最大公因数是2×2＝4；正方形的边长是4厘米。 （16×12）÷（4×4） ＝192÷16 ＝12（个） 答：正方形的边长最大是4厘米，一共可以分成12个这样的正方形。 29．下面是五年级各社团的人数统计表，哪几个社团可以分成人数相等的若干小组？哪几个社团不可以？为什么？ 社团名称 书法 绘画 足球 机器人 人数 49 53 51 37 【答案】书法社团和足球社团的人数可以分成人数相等的若干小组；绘画社团和机器人社团的人数不可以分成人数相等的若干小组 【分析】质数：除了1和它本身没有别的因数的数，合数：除了1和它本身还有别的因数的数；据此可知：如果总人数是质数，则不能分解质因数把人数分成相等的若干小组；如果总人数是合数，则可以分解质因数把人数分成相等的若干小组，据此解答。 【解答】49的因数：1，7，49； 53的因数：1，53； 51的因数；1，3，17，51； 37的因数：1，37； 因为49和51是合数，所以书法社团和足球社团的人数可以分成人数相等的若干小组； 因为53和37是质数，所以绘画社团和机器人社团的人数不可以分成人数相等的若干小组。 答：因为书法社团和足球社团的人数是合数，所以书法社团和足球社团的人数可以分成人数相等的若干小组；因为绘画社团和机器人社团的人数是质数，所以绘画社团和机器人社团的人数不可以分成人数相等的若干小组。 30．先读懂诗句，然后回答诗中问题。 远望巍巍塔七层，红灯点点倍数增。 灯共三百八十一，问问顶层几盏灯？ 【答案】3盏 【分析】读诗句可知，塔一共有7层，下一层灯的数量是上一层的2倍，所有灯加起来一共有381盏，问顶层有几盏灯。设顶层有x盏灯，则其余6层灯的数量依次是2x，4x，8x，16x，32x，64x，根据数量关系，7层灯的总数量＝381，据此列方程式，解方程即可解答。 【解答】解：设顶层有x盏灯，则其余6层灯的数量依次是2x，4x，8x，16x，32x，64x。 答：顶层有3盏灯。 【点评】解答本题的关键是要读懂诗句的含义，特别是“红灯点点倍数增”指的是每一层灯的数量是上一层的2倍；抓住数量关系：灯的总数量是381盏，根据数量关系列方程解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 因数与倍数（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、在axb=c（a、b、c均是非0自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。 3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。 4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。 5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数（0除外）相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。 6、5的倍数：个位上是0或5。 7、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。 8、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。 9、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 10、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 11、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 12、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 13、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 14、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 15、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 16、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 17、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 02 重点提炼 1、理解因数和倍数的含义。 2、归纳出找一个数的因数和信数的方法。 3、掌握2、5、3的倍数的特征，理解奇数、偶数的概念。 4、判断一个数是不是2、5、3的倍数。 5、理解质数和合数的意义。 6、能判断一个数是质数还是合数，会分解质因数。 7、理解两个数的公因数和最大公因数的含义。 8、掌握求 100以内两个自然数的公因数和最大公因数的方法。 9、理解两个数的公倍数和最小公倍数的含义。 10、掌握求 10以内两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 03 易错集锦 易错点1：因数和倍数的特征。 误区点拨： 因数和倍数是新接触的知识，同以前认识的“因数”和“倍数”有区别，在一些特征上往往理解错误。 （1）因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的；一个数的因数的多少，和数本身的大小没有必然的关系。 （2）一个数的因数最小是1，最大是它本身，所以这个数和它的因数比较大小，这个数等于或大于它的因数；一个数乘自然数（除了0），就得到这个数的倍数，自然数的个数是无限的，这个数的倍数也是无限的，一个数的最小的倍数是它本身，这个数和它的倍数比较大小，这个数等于或小于它的倍数。 易错点 2：2，3，5 的倍数的特征。 误区点拨： （1）判断3的倍数特征时，往往会根据2，5的倍数特征形成错误的认识。2的倍数的特征是个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；3的倍数的特征是一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特征是个位上是0或5的数都是5的倍数。 （2）判断一个数是不是同时是 2、3、5的倍数，要综合考虑，满足2的倍数，这个数的末尾必须是偶数，满足5的倍数，这个数的末尾必须是0或5，同时满足2和5的倍数，这个数的末尾必须是0，然后这个数的各个数位上的数字相加的和还要是3的倍数。这些条件缺一不可。 易错点 3：质数和合数的概念。 误区点拨： （1）所有的自然数可以分为奇数和偶数，但是不能分为质数和合数。 （2）质数和合数是按照一个数的因数的多少来分的：一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数，如果还有其他的因数，这个数就是合数。1既不是质数也不是合数，所以除了0以外的自然数，分为质数、合数和 1。 易错点 4：求最小公倍数。 误区点拨： （1）求最小公倍数时，出现直接将两个数相乘的错误。 （2）两个数的最小公倍数，只有这两个数只有公因数1时，这两个数的最小公倍数才是这两个数的乘积。当这两个数的公因数除了1以外，还有别的公因数时，就不能将它们直接相乘，一般是先找出其中较大数的倍数，然后在这些倍数中找出较小数的最小的倍数，这个数就是它们的最小公倍数。 04 巩固拔高 一、填空题 1．玲玲想用若干张长，宽的长方形彩纸，按下图拼成正方形，正方形的边长至少是( )厘米，至少需要( )张长方形彩纸。 2．规定运算“⊙”如下：对于两个自然数m和n，它们的最小公倍数和最大公因数的差记作m⊙n。比如：12和16的最小公倍数是48，最大公因数是4，则12⊙16＝48－4＝44，那10⊙14的结果是( )。 3．暑假期间，小明每6天去一次新华书店，小华每8天去一次新华书店，7月2日两人在新华书店相遇，7月( )日，他们两人会在新华书店再次相遇。 4．五（1）班的学生人数在40～50人，王老师想把全体学生平均分成若干个学习小组，无论按4人一组还是6人一组，都正好多出1人。这个班有( )人。 5．小静打开数学书时，发现两页页码之积是420，这两页分别是( )页和( )页。 6．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 7．用边长( )dm，( )dm和( )dm的正方形都能正好铺满长20dm、宽16dm的长方形，其中用( )dm的正方形去铺，能使需要的正方形个数最少。 8．3□6是3的倍数，□里最大填( )。17□是2的倍数，□里最大填( )。45□是3和5的公倍数，□里填( )。 9．写出每组数的最小公倍数。 2和11( )      6和18( )      15和10( )      3和8( ) 10．德国数学家哥德巴赫提出过两个猜想：任何一个不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式；任意一个大于5的奇数都可以写成三个质数之和，如4＝2＋2，11＝3＋3＋5。请你写出四个符合猜想的算式。 ( )＝( )＋( )    ( )＝( )＋( )＋( ) ( )＝( )＋( )    ( )＝( )＋( )＋( ) 二、判断题 11．11×13×15×17×2的积是奇数。( ) 12．质数一定是奇数，合数一定是偶数。( ) 13．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数可能是8和12。( ) 14．5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。( ) 15．相邻两个自然数中一定有一个不是2的倍数。( ) 三、选择题 16．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 17．用4，5，6组成一个三位数，这个三位数一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．2和3 18．两个合数的最大公因数是1，最小公倍数是144，这两个数是（    ）。 A．1和144 B．8和18 C．2和72 D．9和16 19．下面各数中，同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．18 B．220 C．75 D．810 20．（    ）是24的质因数。 A．3和8 B．2和12 C．2和3 四、计算题 21．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        9和10        78和39        72和48 五、解答题 22．五（1）班同学按每组8人或每组10人分组，都能恰好分完而没有剩余。五（1）班至少有多少人？ 23．西湖公园要对小河的一侧进行绿化，等距离地栽上柳树（两头都栽）。已知小河AB的长为171米，在如图所示的C处，已经有了一棵这样的柳树，如果要将这棵柳树利用起来，至少要购买多少棵柳树？ 24．王老师把20本语文本和25本数学本平均分给第一小组的同学，结果语文本多了2本，数学本少了2本。第一小组最多有多少人？ 25．圈一圈：暑假期间，小玲每3天去图书馆看书一次，小芳每4天去一次。8月3日，她们在图书馆相遇，下次相遇是八月几日？ 26．长方形广场的长是78米，宽是60米。在广场的每条边上以相等的距离摆花盆（4个顶点各摆一盆），要求两个花盆之间的距离尽可能大。一共可以摆多少盆？ 27．63个小朋友参加表演，如果每5个小朋友分成一组，那么至少再来几个小朋友才能正好分完？如果既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉几个小朋友？ 28．一张长方形纸片长20厘米，宽16厘米，如下图所示，在纸的四边留2厘米的空白，然后把中间的长方形平均分成若干个相同大小的正方形。正方形的边长最大是多少厘米？一共可以分成多少个这样的正方形？ 29．下面是五年级各社团的人数统计表，哪几个社团可以分成人数相等的若干小组？哪几个社团不可以？为什么？ 社团名称 书法 绘画 足球 机器人 人数 49 53 51 37 30．先读懂诗句，然后回答诗中问题。 远望巍巍塔七层，红灯点点倍数增。 灯共三百八十一，问问顶层几盏灯？ 学科网（北京）股份有限公司 $$