8.4.1平面课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.1 平面 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ 问题 长方体由上下、前后、左右六个面围成． 有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等． 2 观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？ 观察 3 观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？ 观察 4 观察海面，它又呈现出怎样的形象？ 观察 5 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 6 1、平面的概念 课桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象 几何里的平面是无限延展的. 请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？ 2.平面的画法 8 2.平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面． 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍． D C A B 9 A D C B E F 被遮挡部分用虚线表示 为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来． 2.平面的画法 10 判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 √ ，否则打x : 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4、菱形的面积是 4 cm 2； ( ) 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 练习 注意： 1、平面的两个特征： ②平的（没有厚度） ①无限延展 一个平面把空间分成两部分. 2、一条直线把平面分成两部分. D C A B 平面ABCD 平面AC或平面BD A D C B E F 平面 记作： 3.平面的表示 平面 记作： 平面 常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称． 13 图形 符号语言 文字语言(读法) 点A在直线a上 点A不在直线a上 点A在平面α内 点A不在平面α内 直线a、b交于点A 4、点、线、面的基本位置关系 （1）符号表示： （2）集合关系： 点A、 线a、 面α 图形 符号语言 文字语言(读法) 直线a在平面 内 直线a与平面 无公共点 直线a与平面 交于点A 平面 与　　 相交于直线 (2)直线a经过平面 外一点M (3)直线　在平面　内,又在平面　内 (1)点A在平面 内，但不在平面 内 例. 将下列文字语言转化为符号语言： P84题型一　立体几何中三种语言的转换 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 生活中经常看到用三角架支撑照相机． 5.平面公理 思考 18 测量员用三角架支撑测量用的平板仪． 思考 19 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． A C B 存在性 唯一性 作用：确定平面的主要依据． 不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”． 20 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？ 思考 21 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上． 如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？ 思考 22 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． A B l 作用： 判定直线是否在平面内． 23 　 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 基本事实1 A B C 三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 基本事实2 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B 思考 25 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 思考 B A C 交点的分布有怎样的规律？ 26 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． l P 两个平面若相交，则公共点肯定在它们的交线上 27 (1)两个平面的公共点的个数可能有 ( ) (2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( ) A.0 B.1 C.2 D.０或无数 A.最多4条最少3条 B.最多3条最少1条 C.最多3条最少2条 D.最多2条最少1条 (3)已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 B．四个平面 C．一个或四个平面 D．无法确定平面的个数 练一练 P85题型二　点、线共面问题 【例2】　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明　如图所示.由已知a∥b， 所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面. P85题型三　点共线、线共点、面共线问题 角度1　线共点问题 【例3】　如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点. 证明　如图所示，连接C1B，GF，HE， 由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B. 又C1G＝GC，CF＝BF， ∴GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG与EF相交.设交点为K，∴K∈HG， 又HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD， ∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC， ∴K∈DC， ∴EF，HG，DC三线共点. 角度2　点共线问题 【例4】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线. 证明　如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上， 即Q∈BD1， ∴B，Q，D1三点共线. 角度3　面共线问题 【例5】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由. 解　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F， ∵D1F与DA不平行， 因此D1F与DA必相交于一点， 设为P，则P∈FD1，P∈AD. 又∵D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， ∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD. ∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，PB 即为平面ABCD与平面BED1F的交线. 小结 1.平面的概念； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言之间关系的转换 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 4.三条基本事实、三条推论 $$