2025年中考数学一轮专题突破：一次函数

2025年中考数学一轮专题突破：一次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中为一次函数的是（    ） A． B．（是常数） C． D． 2．将直线向左平移个单位长度得到的直线经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，则该函数图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．已知正比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 7．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（  ） A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米 二、填空题 9．已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是 ． 10．已知一次函数，它的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则的值为 ． 11．如果把直线沿y轴向下平移4个单位，那么得到的直线的表达式为 ． 12．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 13．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ． 三、解答题 14．已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 15．2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 16．如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 17．近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 18．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学一轮专题突破：一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C B C D 1．C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A、在中，不是整式，故不是一次函数，故A选项不符合题意； B、当时，（是常数）不是一次函数，故B选项不符合题意； C、是一次函数，故C选项符合题意； D、不是一次函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查一次函数图象的平移及求一次函数，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则及待定系数法进行解答即可． 【详解】解：平移后的直线解析式为， 把代入，得， 解得． 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴， ∴一次函数过一、二、四象限， ∴， 解得：，． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），求一次函数解析式等知识点，熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：对于一次函数（），当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 将点代入，即可求出一次函数解析式，然后根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过点， ， ， 一次函数解析式为， ，， 该一次函数的图象经过第二、三、四象限， 该函数图象不经过第一象限， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 【详解】解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．将点代入正比例函数的解析式计算即可得． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲， ∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意； 乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意； （米/分钟）， ， 解得：（米/分钟）， 当乙追上甲时，骑行了（米）， ∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意； 乙骑行米所用时间为（分钟）， 则当乙到达小区时，甲骑行了（米）， ∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意； 故选：D． 9． 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数不经过第三象限，可知，解不等式组即可． 【详解】解：一次函数不经过第三象限， ， 解得：， 故答案为：． 10．或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象以及函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知一次函数的表达式为，求出函数图象与坐标轴的交点坐标分别为，，由此可知图象与坐标轴围成直角三角形，根据三角形面积公式可写为，计算求出即可． 【详解】解：令，则，令，则， 一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，， 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ，即， 解得：， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移4个单位，那么所得直线的表达式是：，即． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出、两点的坐标，进而求出的面积，再根据和的面积相等分情况列出等式解答即可． 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 13． 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小， ∴， 由根据两点之间线段最短可得：的周长， ∵点在直线上， ∴， ∴， 由直线，当时，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，函数值随的增大而增大， ， 解得：． （2）解：由题意，函数图象经过点， ． ． 15．(1) (2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 16．(1)4 (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）由函数解析式得C的坐标为，由得，则B的坐标为，即可求得直线的解析式，再令求出y的值即可得m的值； （2）设点D的坐标为，由，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）分以下两种情况：①当E在D左侧时，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，即可得解；②当E在D右侧时，设与相交于点F，设，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并用含n的代数式表示出点F，再由，根据勾股定理得出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴、y轴分别相交于B、C两点， ∴C的坐标为， ∵， ∴， ∴B的坐标为， 代入解析式中：， 解得， ∴一次函数解析式为：， ∵一次函数的图像经过点， ∴； （2）解：∵， ∴点， 设点D的坐标为， ∴ ∵，， ∴， 整理得 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：分以下两种情况： ①当E在D左侧时， ∵， ∴， ∵点，点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵C的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点E的坐标为； ②当E在D右侧时，设与相交于点F，设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，代入C、E坐标得：， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点F同时在直线、上， ∴， 解得， ∴F的坐标为：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为：或． 【点睛】本体是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交或平行问题，勾股定理，平行线的判定等，解题的关键是熟练掌握相关知识及分类讨论思想在解题过程中的运用． 17．(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 18．(1)1，； (2)或； (3)． 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是， ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是， 故答案为：1，； （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或； （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$