选择性必修第二册第四章～第五章练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）

选择性必修二第四章~第五章练习题 一、单项选择题 1. 已知等差数列，其前项和为，，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 2. 函数在上的最大值和最小值分别是（ ） A. 12， B. 1， C. 12， D. 5， 3. 明朝朱载堉发明的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（ ） A. B. C. D. 4. 设数列的通项公式为，则（ ） A. 139 B. 153 C. 144 D. 178 5. 已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设曲线上任意一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 数列的前5项和为 10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. B. 当时，函数取得极小值 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，函数取得极小值 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.那么下列四个函数中在上是凸函数的有 A. B. C. D. 三、填空题 12. 函数，且的图象恒过定点，则曲线在点处的切线方程为    . 13.已知数列的前项和为，，，则    . 14.如图，直线是曲线在处的切线，则    ，令，其中是的导函数，则曲线在处的切线方程为    . 四、解答题 15. 已知函数，数列的通项公式由，且确定. （1） 求证：是等差数列； （2） 当 时，求. 16. 已知函数. （1） 若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； （2） 若，求函数在上的最大值和最小值. 17. 已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足，当，时，. （1） 求数列，的通项公式； （2） 令，，证明：. 18. 在有一个极值点是，是的导函数，是奇函数，③曲线在点处的切线与直线垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题:已知函数，且  ，当时，求的值域. 注:如果选择多个条件解答，那么按第一个解答计分. 19. 已知等比数列的前项和. （1） 求数列的通项公式； （2） 若，为数列的前项和，求使成立的最小正整数. 第四章~第五章综合练习卷 一、单项选择题 1. 已知等差数列，其前项和为，，则（ B ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 [解析]由等差数列的性质可得，，所以，则. 2. 函数在上的最大值和最小值分别是（ A ） A. 12， B. 1， C. 12， D. 5， [解析]，由，得 或（舍去）时，；时，；时，.所以，. 3. 明朝朱载堉发明的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（ C ） A. B. C. D. [解析]设题中等比数列为，其公比为，则，，，.故选C. 4. 设数列的通项公式为，则（ B ） A. 139 B. 153 C. 144 D. 178 [解析]，为等差数列，且，，，. 5. 已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ B ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]当 是递增数列时，，则，但是 的符号不确定，故充分性不成立；当 时，，则 是递增数列，故必要性成立.综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件. 6. 设曲线上任意一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ C ） A. B. C. D. [解析]由 可知，所以，易知 为偶函数，排除A，B；当 时，，排除D，故选C. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ D ） A. B. C. D. [解析]，因为函数 有两个极值点，所以 有两个不相等的正根，故 解得.故选D. 8. 函数的图象在点处的切线方程为（ B ） A. B. C. D. [解析]由，得，所以函数 的图象在点 处的切线斜率，又，所以切线方程为. 二、多项选择题 9. 已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（ ABD ） A. B. C. D. 数列的前5项和为 [解析]设 的公比为，，，，，，故选项A，B正确.又， 选项C不正确.是等比数列，是等比数列，首项，公比， 数列 的前5项和为，故选项D正确. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ BC ） A. 函数在区间上单调递增 B. 当时，函数取得极小值 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，函数取得极小值 [解析]由题图可知函数 在区间 上有增有减，故A不正确；当 时，函数 取得极小值，故B正确；当 时，恒有，则函数 在区间 上单调递增，故C正确；当 时，，故D不正确. 11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.那么下列四个函数中在上是凸函数的有（ ABC ） A. B. C. D. [解析]对于A选项，，，则，当 时，恒有，是凸函数；对于B选项，，，则，当 时，恒有，是凸函数； 对于C选项，，，则 在 上恒成立，是凸函数；对于D选项，，，则 在 上恒成立，故不是凸函数.故选. 三、填空题 12. 函数，且的图象恒过定点，则曲线在点处的切线方程为      . [解析]令，得，，即定点，又点 在曲线 上，，则，，则， 曲线 在 点处的切线方程为，即. 13.已知数列的前项和为，，，则  16  . [解析]由题意得，即， 因为，所以 为首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以. 14.如图，直线是曲线在处的切线，则      ，令，其中是的导函数，则曲线在处的切线方程为      . [解析]由题图可知曲线 在 处切线的斜率等于，即.因为，所以，，由题图可知，所以，.则曲线 在 处的切线方程为. 四、解答题 15. （13分）已知函数，数列的通项公式由，且确定. （1） 求证：是等差数列； 证明：，且， ，，且， 数列 是等差数列.（6分） （2） 当 时，求. [解析]由（1）知，（8分） ，.（13分） 16. （15分）已知函数. （1） 若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； [解析]函数 的定义域为， 当 时，，（2分） 令，得 或（舍去）， 当 时，，函数 单调递减； 当 时，，函数 单调递增，（4分） 所以 在 处取得极小值，为，无极大值.（6分） （2） 若，求函数在上的最大值和最小值. [解析]当 时，易知函数 在，上单调递增，（8分） 所以， .（15分） 17. 已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足，当，时，. （1） 求数列，的通项公式； [解析]设等差数列 的公差为， 则 解得（2分） 所以数列 的通项公式为，（3分） 所以， 由，得. 当 时，， 得，得， 又，，（6分） 又，， 所以 是首项、公比均为2的等比数列. 则.（8分） （2） 令，，证明：. 证明：， 设， 则，（11分） 所以， 即原不等式得证. 18.在有一个极值点是，是的导函数，是奇函数，③曲线在点处的切线与直线垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题:已知函数，且  ，当时，求的值域. 注:如果选择多个条件解答，那么按第一个解答计分. [解析]选择①，因为， 所以，解得，（2分） 则，， 令，得 或.（4分） 当 时，; 当 时，.（6分） 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，（9分） 又，，，，（13分） 所以当 时，的值域为.（15分） 选择②，， 因为 为奇函数，所以， 解得，（2分） 则，， 令，得 或.（4分） 当 时，; 当 时，.（6分） 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，（9分） 又，，，，（13分） 所以当 时，的值域为.（15分） 选择③，，又曲线 在点 处的切线与直线 垂直， 所以，（2分） 则，， 令，得 或.（4分） 当 时，; 当 时，.（6分） 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，（9分） 又，，，，（13分） 所以当 时，的值域为.（15分） 19.已知等比数列的前项和. （1） 求数列的通项公式； [解析]当 时，； 当 时，，（3分） 因为数列 为等比数列，所以 满足上式， 即，解得， 所以数列 的通项公式为 （6分） （2） 若，为数列的前项和，求使成立的最小正整数. [解析]由（1）得，.（9分） 所以 .（13分） 令，即，所以，即，（15分） 因为，，且 在 上单调递增，， 所以 的最小值为10， 故满足条件的最小正整数 为10. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$