高二数学期中模拟卷（人教B版2019选修：排列组合与二项式定理+概率统计+数列）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册第一章（排列组合与二项式定理+概率统计+数列）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A．380 B．190 C．188 D．240 2．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 3．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52 6．在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 7．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出以下四个说法，其中正确的说法有（    ） A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 10．设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列是公比为q的等比数列，前n项和为，则（   ） A． B． C．当时， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，所有项的系数和为 ． 13．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 16．（15分） 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：． (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为． 17．（15分） 已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 18．（17分） 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 (1)求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； (2)设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 19．（17分） 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了如下图所示的“正方形筛子”，又称森德拉姆筛. 10 13 16 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … (1)试求这个“筛子”中的第8行第6列的数及第行第列的数； (2)这个正方形筛子的奥妙在于：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数；如果某个自然数没有出现在表中，那么肯定是质数.证明：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册第一章（排列组合与二项式定理+概率统计+数列）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A．380 B．190 C．188 D．240 【答案】B 【详解】由，得，所以. 故选：B 2．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 【答案】A 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 3．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，解得. 故选：B. 4．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 故． 故选：B 5．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52 【答案】D 【详解】记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件， 易知，且， 显然，即可得事件与事件相互独立， 因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： . 故选：D 6．在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【答案】A 【详解】 因为服从正态分布（）， 所以正态分布曲线关于对称； 又因为在内取值的概率为0.8， 所以在内取值的概率为0.4， 所以在内取值的概率为． 故选：A 7．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 8．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出以下四个说法，其中正确的说法有（    ） A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 【答案】BC 【详解】对于A选项，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组矩形的面积，A错； 对于B选项，在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越差，B对； 对于C选项，设随机变量服从正态分布，则，C对； 对于D选项，对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越大，D错. 故选：BC. 10．设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由二项式定理，得的展开式通项为， 对于AB，由，得，即，解得，A正确，B错误； 对于C，在中，令，得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 11．已知数列是公比为q的等比数列，前n项和为，则（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】ACD 【详解】，故A正确；，故B错误； 由求和公式易得C正确；，故D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，所有项的系数和为 ． 【答案】1024 【详解】因为， 二项式的展开式中取，可得展开式中所有项的系数和为， 故答案为：. 13．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 【答案】 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为：. 14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【答案】/ 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 （6分） （2），（12分） 所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．（13分） 16．（15分） 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：． (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为． 【详解】（1）易得，（2分） ， 故． 则，故可用线性回归模型模拟．（6分） （2），（13分） ， 故线性回归方程为．（15分） 17．（15分） 已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【详解】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.（6分） （2）由，则， 所以， 所以，（12分） 所以.（15分） 18．（17分） 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 (1)求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； (2)设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 【详解】（1）由题意可得：， 所以，（2分） 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：；（3分） 甲，乙或，概率为：；（4分） 甲，乙，概率为：；（5分） 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：.（7分） （2）有以下情况： 甲，乙；概率为：；（9分） 或甲，乙；概率为：；（11分） 或甲，乙；概率为：；（13分） 所以,（15分） 所以.（17分） 19．（17分） 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了如下图所示的“正方形筛子”，又称森德拉姆筛. 10 13 16 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … (1)试求这个“筛子”中的第8行第6列的数及第行第列的数； (2)这个正方形筛子的奥妙在于：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数；如果某个自然数没有出现在表中，那么肯定是质数.证明：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数） 【详解】（1）根据表中数据可知：第行的等差数列的公差为，第列的等差数列的公差等于， 因为第6列的数构成了以19为首项，13为公差的等差数列，所以，（4分） 第一列是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以第行的第一个数是， 第一行的公差为3，第二行的公差为5，第三行的公差为7，……第行的公差为， 所以第行的第个数是.（8分） （2）由（1）知， 若某个自然数出现在表中，则存在正整数使得，（12分） 故，（14分） 由于位正整数，故大于1的正整数，因此肯定不是质数.（17分） 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B B D A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1024 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 （6分） （2），（12分） 所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）易得，（2分） ， 故． 则，故可用线性回归模型模拟．（6分） （2），（13分） ， 故线性回归方程为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.（6分） （2）由，则， 所以， 所以，（12分） 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意可得：， 所以，（2分） 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：；（3分） 甲，乙或，概率为：；（4分） 甲，乙，概率为：；（5分） 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：.（7分） （2）有以下情况： 甲，乙；概率为：；（9分） 或甲，乙；概率为：；（11分） 或甲，乙；概率为：；（13分） 所以,（15分） 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）根据表中数据可知：第行的等差数列的公差为，第列的等差数列的公差等于， 因为第6列的数构成了以19为首项，13为公差的等差数列，所以，（4分） 第一列是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以第行的第一个数是， 第一行的公差为3，第二行的公差为5，第三行的公差为7，……第行的公差为， 所以第行的第个数是.（8分） （2）由（1）知， 若某个自然数出现在表中，则存在正整数使得，（12分） 故，（14分） 由于位正整数，故大于1的正整数，因此肯定不是质数.（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册第一章（排列组合与二项式定理+概率统计+数列）。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A．380 B．190 C．188 D．240 2．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 3．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52 6．在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 7．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出以下四个说法，其中正确的说法有（    ） A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量服从正态分布，则 D．对分类变量与，若计算出的越小，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 10．设，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列是公比为q的等比数列，前n项和为，则（   ） A． B． C．当时， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，所有项的系数和为 ． 13．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 16．（15分） 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：． (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为． 17．（15分） 已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 18．（17分） 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 (1)求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； (2)设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 19．（17分） 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了如下图所示的“正方形筛子”，又称森德拉姆筛. 10 13 16 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … (1)试求这个“筛子”中的第8行第6列的数及第行第列的数； (2)这个正方形筛子的奥妙在于：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数；如果某个自然数没有出现在表中，那么肯定是质数.证明：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$