清单01 平面向量（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）高一数学下学期湘教版

清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 【变式1-1】化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【变式2-3】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式2-4】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【变式3-1】下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【变式3-2】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【变式3-4】下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【考点题型四】三点共线的常用结论 技巧：应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【例4】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知平面内不同的四个点，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式4-2】如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例5】设向量满足且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【变式5-1】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】设向量、满足，且． (1)求与夹角的大小； (2)求与夹角的大小； (3)向量在向量上的投影向量的长度. 【变式5-3】已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【变式5-4】已知和的夹角为，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．9 【考点题型六】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例6】已知向量满足，且与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【变式6-1】已知在中，，，若的最小值为3，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知向量满足，则 ． 【变式6-3】若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【考点题型七】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例7】已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知向量，其中. (1)若向量是单位向量，且，求向量； (2)若向量，向量与向量共线，求向量. 【变式7-2】已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数 . 【变式7-3】已知向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 【变式7-4】已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【考点题型八】用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 技巧：平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【例8】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】下列各组向量中，可以作基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【变式8-3】下列各组向量中，可以作基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-4】若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和    ②和 ③和        ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【考点题型九】数量积的坐标运算 技巧：1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 【例9】已知向量，若，则 . 【变式9-1】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【变式9-2】已知向量，，记向量与的夹角为，则 ． 【变式9-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【考点题型十】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例9】与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 【变式9-2】已知向量，，若与共线，则的值为 ． 【变式9-3】已知向量，，，若，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【变式9-4】已知向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C．2或 D．1或 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可. 【详解】对于，由平面共线向量定理可知, 正确; 设 ，则 , 对于, 因为非零向量 满足 , 即，所以四边形为矩形， ，故 B正确; 对于 ， 因为在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 故 , 故 正确， 错误. 故选: . 【变式1-1】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 【变式1-3】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加法、减法的运算法则可得结果. 【详解】根据平面向量运算法则可得. 故选：A 【变式1-4】在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 【变式2-1】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 【变式2-2】如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 【变式2-3】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 【变式2-4】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 【变式3-1】下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【答案】BD 【分析】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错； 零向量的长度为零，方向任意，故B正确； 若，的模长不一定相等，故C错； 若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确. 故选：BD. 【变式3-2】若，为非零向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件，从充分性和必要性两方面分别论证即可. 【详解】若，则，共线，所以充分性成立； ，共线可能同向共线、也可能反向共线， 所以，共线得不出，所以必要性不成立． 故选：A． 【变式3-3】下列结论不正确的是（    ） A．且是的充要条件 B．对于任意向量，都有 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AC 【分析】利用向量共线的意义判断AB；举例说明判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量夹角的范围是，D正确. 故选：AC 【变式3-4】下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 【考点题型四】三点共线的常用结论 技巧：应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【例4】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 【变式4-1】已知平面内不同的四个点，且满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法，减法运算，即可得到结果. 【详解】由，变形得到， 由向量减法，，，， 所以. 故选：B 【变式4-2】如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 【变式4-3】在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可得. 【详解】 设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：B 【变式4-4】在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量加法法则结合是的中点即可求得. 【详解】由题意，点在上，如图所示：    且满足，所以，因为，是的中点，所以，所以. 故选：D 【考点题型五】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例5】设向量满足且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据已知模长求出，再根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， ， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式5-1】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求解即可. 【详解】由题可得：，故， 又，， 故. 故选：D. 【变式5-2】设向量、满足，且． (1)求与夹角的大小； (2)求与夹角的大小； (3)向量在向量上的投影向量的长度. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知和向量数量积的定义求夹角即可； （2）根据已知模长和数量积的运算律求模长, 结合夹角公式求解即可. （3）所求投影向量的长度为，将（2）中向量数量积和模代入求解即可. 【详解】（1）设与的夹角为，因为， 所以     又，所以， 所以， 又 所以与夹角的大小为. （2）设与的夹角为，      ， 所以     又，所以与的夹角为. （3）向量在向量上的投影向量的长度为. 【变式5-3】已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设，根据向量平行以及其模长，列出方程组，求解即可； （2）求得与的坐标，结合其数量积为正数，且不共线，进而求得的范围. 【详解】（1）设，，，，即； 又，，解得或 或． （2）由题可知，，， 与的夹角是锐角，，解得， 又与不共线，，即， 实数的取值范围是． 【变式5-4】已知和的夹角为，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义以及运算律，可得答案. 【详解】． 故选：C． 【考点题型六】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例6】已知向量满足，且与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以，解得. （2）因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 【变式6-1】已知在中，，，若的最小值为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，将问题转换成二次函数的最值问题，即可求解； 【详解】 令， 由题意的最小值为9， 当时，显然不符合； 所以，此时抛物线开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 故选：B 【变式6-2】已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解. 【详解】因为， 所以，化简得． 又因为， 所以． 故答案为：2 【变式6-3】若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可. 【详解】在上投影向量， ，， 则， 由于，， 故选：B． 【变式6-4】已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 【考点题型七】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例7】已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量垂直可得出，再利用投影向量的定义可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】因为，则，可得， 因为向量、的夹角为，则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 【变式7-1】已知向量，其中. (1)若向量是单位向量，且，求向量； (2)若向量，向量与向量共线，求向量. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量的模和垂直的坐标表示列出等式求解； （2）根据向量平行的坐标表示列出等式求解. 【详解】（1）设， 根据题意，得，则或， 所以或； （2）若向量， 则，， 由向量与向量共线， 可得，则， 故. 【变式7-2】已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数 . 【答案】 【分析】由已知条件可得，再利用向量垂直，可得，进而求得的值. 【详解】由题意得，从而，得. 故答案为：. 【变式7-3】已知向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值； (3)求的最大值. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）根据平行关系，利用数乘列出的方程求解即可； （2）根据向量垂直关系，列出等量关系，再利用数量积求出夹角的余弦值； （3）利用向量的三角不等式即刻求解. 【详解】（1）因为，设，则， 所以，即或. （2）因为，所以得到， 解得. （3）因为， 所以，当且仅当同向时等号成立. 【变式7-4】已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： . 故答案为：. 【考点题型八】用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 技巧：平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【例8】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】由向量共线的坐标表示逐个判断即可； 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，所以不可以作为基底； 对于B，由于，所以不共线，可以作为基底； 对于C，由于，所以不共线，可以作为基底； 对于D，由于，所以共线，不可以作为基底； 故选：BC 【变式8-1】下列各组向量中，可以作基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，不共线，且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故A符合题意； 对于B，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故B不符合题意； 对于C，因为，不共线，且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故C符合题意. 对于D，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故D不符合题意. 故选：AC. 【变式8-2】已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为A，B，C三点共线，所以， 即， 所以解得，． 故选：C． 【变式8-3】下列各组向量中，可以作基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】利用向量共线的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是； 对于B，由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是； 对于C，由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是； 对于D，由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是. 故选：AC 【变式8-4】若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和    ②和 ③和        ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】可根据向量共线定理，判断两个向量是否共线，即可. 【详解】由题意可得，是平面内一组基底向量. ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故①错误； 假设与是一组共线向量，由平面向量基本定理可得存在非零常数k使得，易知k不存在，矛盾，故与不是共线向量，可以作为一组基底向量，故②正确； 同理可得和也不是共线向量，可以作为一组基底向量，故③正确； ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故④错误， 故满足题意的为②③. 故选：B． 【考点题型九】数量积的坐标运算 技巧：1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 【例9】已知向量，若，则 . 【变式9-1】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【变式9-2】已知向量，，记向量与的夹角为，则 ． 【变式9-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【考点题型十】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例9】与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 【变式9-1】下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 【答案】BD 【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项. 【详解】选项A：判断与是否共线. ，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误. 选项B：判断与是否共线. ，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确. 选项C：判断与是否共线. 设，可得. 若与不共线，则不存在这样的实数使得成立； 若与共线，则与共线. 由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误. 选项D：判断与是否共线.设，即. 因为，不共线，所以不存在实数使得成立. 所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确. 故答案为：BD. 【变式9-2】已知向量，，若与共线，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】, 依题意, 解得, 故答案为： 【变式9-3】已知向量，，，若，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量线性关系坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，又， 所以，解得． 故选：A 【变式9-4】已知向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C．2或 D．1或 【答案】A 【分析】根据向量共线的结论求参数的值. 【详解】由已知得，解得. 故选：A 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$