专题01 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练）高一数学下学期湘教版

专题01 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　三点共线的常用结论 题型五　求两向量的数量积 题型六　向量的模和夹角的计算问题 题型七　向量与垂直有关的问题 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 题型九　数量积的坐标运算 题型十　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 4．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 题型二　向量的线性运算 6．（2025高三·全国·专题练习）设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 7．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：    （1） = （用来表示）； （2） . 8．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）已知在中，，且，则的面积的最大值为 ． 9．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A．若向量、共线，则点、、、必在同一直线上 B．，不能作为平面内所有向量的一个基底 C．边长为的正方形中， D．若点为的重心，则 10．（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ）      A．2 B． C． D．4 题型三　向量共线的判定及应用 11．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 12．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点．    (1)以，为基底表示； (2)若，求，的值； 13．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 14．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 15．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 题型四　三点共线的常用结论 16．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 17．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 18．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 19．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 20．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 题型五　求两向量的数量积 21．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 22．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若与垂直，则 24．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则 ． 25．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 题型六　向量的模和夹角的计算问题 26．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 27．（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)； (3)求向量与向量的夹角. 29．（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，且与的夹角为. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 题型七　向量与垂直有关的问题 31．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）若向量，，，则实数（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知平面向量 (1)若，求x的值； (2)若，求. 33．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 34．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 36．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 37．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）如图，在中，，，，在边上（不与端点重合），延长到，使得，若（为常数），则的长为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）在中，为边上一点，，则（ ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在直角梯形，，，，点是边上的中点. (1)求的值； (2)若点E满足，且，求的值. 40．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 题型九　数量积的坐标运算 41．（北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测一（3月）数学试卷）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 42．（24-25高一下·海南三亚·阶段练习）关于向量下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 43．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 44．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知=（cos23°，cos97°）， =（sin97°，sin23°），则的值为（   ） A． B． C． D． 45．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 题型十　利用向量解决平面几何求值问题 46．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 ． 47．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 50．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　三点共线的常用结论 题型五　求两向量的数量积 题型六　向量的模和夹角的计算问题 题型七　向量与垂直有关的问题 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 题型九　数量积的坐标运算 题型十　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和减法法则，对每个选项进行逐一计算，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则即可得到结果. 【详解】. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 【答案】D 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到， 由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 4．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 5．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量关系求解即可. 【详解】设表示水流速度，表示实际速度（即静水速度），表示与合速度， 则，，由题意可得. 故选：B. 题型二　向量的线性运算 6．（2025高三·全国·专题练习）设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算将数量积转化成与的长度关系再求解. 【详解】由圆，得圆心的坐标为，半径为2， 所以. 故选：B． 7．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：    （1） = （用来表示）； （2） . 【答案】 【分析】空1：由已知可得，向量的线性运算的几何应用可得； 空2：设，通过向量的线性运算得到，再结合，利用，，共线可求得，即可求得结果. 【详解】空1：根据， 故， 空2：设，则，， 所以， 又， ，，三点共线，， ，解得，所以， . 故答案为：；. 8．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）已知在中，，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先把条件转化成三角形的两条中线的长，再结合三角形面积的求法求最大值. 【详解】如图：    设边的中点分别为，连接. 由即； 由. 所以当时，四边形的面积最大，为. 此时的面积也最大. 因为，且，所以. 所以. 故答案为： 9．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A．若向量、共线，则点、、、必在同一直线上 B．，不能作为平面内所有向量的一个基底 C．边长为的正方形中， D．若点为的重心，则 【答案】BD 【分析】根据共线向量的定义可判断A选项；利用平面向量基底的概念可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量的线性运算结合重心的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若向量、共线，则点、、、在同一直线上或，A错； 对于B选项，因为，，则，即， 所以，，不能作为平面内所有向量的一个基底，B对； 对于C选项，因为四边形是边长为的正方形，则， ，C错； 对于D选项，延长交于点，则为的中点，且， 所以，， 所以，，D对. 故选：BD. 10．（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，在中，，，，则（   ）      A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的运算以及数量积的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 即, 所以，即， 因为, 所以 ， 故选:C. 题型三　向量共线的判定及应用 11．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】在中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 12．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点．    (1)以，为基底表示； (2)若，求，的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量基本定理得到； （2）先证明出向量共线的推论，推出，，从而得到方程组，求出，的值. 【详解】（1）； （2）先证明以下结论， 若三点共线，，则有， 不妨设，则有， 所以，故， 所以，证毕； 连接，则 ，    因为，， 所以，， 因为，，三点共线，，，三点共线， 所以，解得． 13．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义求解判断ABC；利用向量夹角公式列式求出范围判断D. 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由选项B知，，D错误. 故选：B 14．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可. 【详解】∵与是共线向量， ∴存在实数，使得，即， 已知是两个不共线的向量， 则有，解得. 故选：A. 15．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 题型四　三点共线的常用结论 16．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，的最大值为1. 故选：C 17．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线可设，根据向量线性运算求出、，即可求解； （3）由余弦定理可求出、，计算，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为是中点，， 因为，则. （2）因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知，， 根据平面向量基本定理，则. （3）因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 18．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线， 所以. 故选：A. 19．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【分析】利用向量的共线定理即可判断A选项；利用基本不等式即可判断B选项；将转化为，利用二次函数的最值即可判断C选项；利用基本不等式的乘“1”法，即可判断D选项. 【详解】对于A，，因为三点共线， 故，故A错误； 对于B，，故，当且仅当时，等号成立， 故B正确； 对于C，，故， 所以，故C正确； 对于D，， 当且仅当即时，等号成立，故D错误. 故选：BC 20．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【详解】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 题型五　求两向量的数量积 21．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 22．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 23．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若与垂直，则 【答案】ABD 【分析】运用向量垂直的坐标性质、向量模、向量夹角的坐标公式，对每个选项，进行分析和计算. 【详解】对于选项， 已知，，若，则， 即，解得，所以选项正确. 对于选项，若，则，那么. 所以，选项正确. 对于选项，若，则. ，，. 则，则 与的夹角不是，选项错误. 对于选项，. 若与垂直，则，即. 展开可得，即，解得，选项正确. 故选：ABD. 24．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由题干中的几何性质，可得向量的模长与夹角，根据数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可知，与的夹角为， 则 . 故答案为：. 25．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意作图，由投影向量的定义在图中表示，根据一次函数与模长公式，可得答案. 【详解】由题意，过作，垂足为，作图如下： 由题意可知，， 为在上的投影向量， 则，， 设直线的函数解析式为，代入，解得， 则可设，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型六　向量的模和夹角的计算问题 26．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 27．（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再给出的例子，即可得到的最小值为. 【详解】①由于，故 所以 . 这就得到，故. ②另一方面，对，，，原条件全部满足，此时. 综合①②两方面，可知的最小值为． 故选：C. 28．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)； (3)求向量与向量的夹角. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由数量积公式直接得答案； （2）由，再结合（1）的结论可求得答案； （3）由向量夹角公式结合数量积公式即可求得答案. 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，， 则. （2）. （3）设向量与向量的夹角， 可得， 且，则，所以向量与向量的夹角为. 29．（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解． 【详解】法一：由题意得， 所以，则； 法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量， 所以不妨设，则， 故，则， 故选：A． 30．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，且与的夹角为. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）首先根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）由已知可得， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 题型七　向量与垂直有关的问题 31．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）若向量，，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解. 【详解】由已知有，所以. 故选：C 32．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知平面向量 (1)若，求x的值； (2)若，求. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示，列方程求解； （2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模. 【详解】（1），， 解得或； （2），，即解得或， 当时，，，； 当时，，，， 或. 33．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解； （2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果. 【详解】（1）由，可得，即． 又，，所以，， 所以，解得． （2）因为，，所以， 又，所以，解得，所以. 又， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 34．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以，即. 故选：. 35．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，所以. 故选：B 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 36．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. （3）由图可得， ， ， 由，则. 37．（河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题）如图，在中，，，，在边上（不与端点重合），延长到，使得，若（为常数），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点共线满足的条件确定点的位置，再求的长. 【详解】设. 因为三点共线，所以. 又，所以. 设，因为，，, 所以或（舍去）. 所以. 所以. 所以. 故选：A 38．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）在中，为边上一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的减法法则化简可得答案. 【详解】在中，为边上一点，，即， 因此，. 故选：C. 39．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在直角梯形，，，，点是边上的中点. (1)求的值； (2)若点E满足，且，求的值. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）结合几何图形，利用向量的线性运算表示，向量数量积的运算律即可求出的值. （2）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； 【详解】（1） 则， , 因此，. （2）如图所示： 由可得 所以 又可得 所以； 40．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断. 【详解】在中，为的角平分线，， ，即， 因此，所以. 故选：C 题型九　数量积的坐标运算 41．（北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测一（3月）数学试卷）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 42．（24-25高一下·海南三亚·阶段练习）关于向量下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由条件结合向量相等的定义结合反例判断A，结合平行向量定义判断B，根据向量不能比较大小判断C，结合数量积的运算律举反例判断D. 【详解】对于A，由，不能得到，的方向相同，故，不一定相等， 例如：向量，满足条件，但，不相等，A错误； 对于B，若为非零向量，由可得向量，方向相反，所以， 若，则，则，B正确； 对于C，因为向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量的数量积运算不满足结合律， 例如，，，，则， ，所以，D错误； 故选：ACD 43．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，再根据坐标法计算可得. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C 44．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知=（cos23°，cos97°）， =（sin97°，sin23°），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积的坐标运算和逆用两角和的正弦公式即可得出答案. 【详解】由数量积的坐标运算可知， 故选：D. 45．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 题型十　利用向量解决平面几何求值问题 46．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则即可求解. 【详解】以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，由已知有，设点， 则有， 所以， 所以， 当点时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 47．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用平方运算得，建立平面直角坐标系，根据图形的几何性质可得，将代入即可求得最大值. 【详解】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 48．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出辅助线，利用三角函数值求出各边长，考虑当点在上运动时，求出的最大值，当点在上运动时，当与重合时，取得最小值，求出最小值为，得到答案. 【详解】点为正八边形的中心，，故，， 取的中点，连接，则⊥，， 其中， 故，， 故， 其中，⊥， 当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点， 则，， 则 ， 由图象可知，此时为最大值， 当点在上运动时，， 显然当与重合时，取得最小值， 最小值为， 所以的范围是 故选：D 49．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ； 设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为. 故答案为：；； 50．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到，数形结合得到当为中点时，取得最小值，此时，结合若与或重合，此时取得最大值，，从而得到的取值范围. 【详解】连接， 因为M为的中点，且，所以， 则，， 两式平方相加得， 故， 因为，所以为等边三角形， 当为中点时，取得最小值，最小值为， 故， 若与或重合，此时取得最大值，最大值为1， 此时， 又点N在线段（端点除外）上运动，故的取值范围为. 故答案为： 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$