专题04 平行四边形（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题04 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的边、角性质 题型02平行四边形的对角线性质 题型03平行四边形的判定 题型04三角形中位线定理 ( 题型01 ) 平行四边形的边、角性质 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，平分交于，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分交边于E，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为 ．    5．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，中的度数为，则的度数为 . 7．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在中，的平分线交于点．如果，，那么 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． ( 题型02 ) 平行四边形的对角线性质 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 11．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为 ． 12．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点的直线分别与交于点．若平行四边形的面积为80，则图中阴影部分的面积是 ． 13．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 14．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在中，对角线相交于点O，于点A，，，求平行四边形的边的长． ( 题型03 ) 平行四边形的判定 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形的对角线、相交于点O，给出下列5个条件：；；；；，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形是平行四边形的有（   ）组 A．4 B．5 C．6 D．7 16．（23-24八年级下·北京东城·期中）在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 17．（23-24八年级下·北京·期中）在四边形中，对角线与相交于点，给出四组条件：   ①，；  ②，；    ③，；    ④，．  能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 19．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 20．（23-24八年级下·北京·期中）已知矩形，以为一边求作一个平行四边形，使得该平行四边形的一个内角为，且面积为矩形面积的一半． (1)利用尺规作图作出符合题意的平行四边形（保留作图痕迹）； (2)写出判定四边形是平行四边形的依据是______． 21．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点M、N分别在边上，且，连接．求证∶ ．    22．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于E，平分交于F． 求证：四边形是平行四边形． ( 题型04 ) 三角形中位线定理 23．（23-24八年级下·北京·期中）中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则 ． 24．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 25．（23-24八年级下·北京·期中）如图，线段，点M为线段延长线上的一个动点，且，点E是线段的中点，则线段的最小值为 ． 26．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则 ． 27．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 ． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长． 29．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点D是线段的中点． 求作：线段，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接， ②以点A为圆心，长为半径作弧，再以C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M； ③连接，交于点E； 所以线段即为所求的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接 ∵，， ∴四边形是平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵交于点E， ∴，即点E是的中点．（② ）（填推理的依据） ∵点D是AB的中点， ∴．（③ ）（填推理的依据） 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，中，E是延长线上的一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·北京·期中）图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形是平行四边形，点 E 在线段的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为 . 7．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交，则 ． 8．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平行四边形中，，则的度数为 ． 9．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． （1）若，则平行四边形中，点的坐标为 ； （2）的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·北京市第十九中学·期中）在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为 米． 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点D、E分别在边、边上，且满足，线段、交于点O． ①求证：； ②不添加辅助线，请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 12．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点,，给出如下定义：当点,满足时，称点是点的等积点．已知点． (1)在，，中，点的等积点是_____． (2)点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程． 13．（23-24八年级下·北京·期中）小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点． (1)请你完成这一命题的证明． (2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法： 如图，要作线段的中点： ①作射线； ②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C； ③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点． 请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）． 14．（23-24八年级下·北京西城·期中）在本学期小组活动中，在平行四边形中添加线段，得到相应的基本图形，其中有一个小组画出的图形如图：中，点，分别在边，上，且，连结，．求证：． 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的边、角性质 题型02平行四边形的对角线性质 题型03平行四边形的判定 题型04三角形中位线定理 ( 题型01 ) 平行四边形的边、角性质 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，平分交于，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，由平行四边形的性质得，，从而有，再由平分线的定义求出即可，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分交边于E，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选B． 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：2． 5．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解:∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点B的纵坐标为3， ∵点O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点C， ∴点A向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为：； 故选：A． 6．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，中的度数为，则的度数为 . 【答案】/度 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．平行四边形中，利用邻角互补即可求得的度数． 【详解】解： 四边形为平行四边形， ，又， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在中，的平分线交于点．如果，，那么 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行四边形的性质与角平分线的定义可得，，，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等角对等边可得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，的平分线交于点 ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到，过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）证明：在中， ， ， 平分， ， ， ； （2）， ； 过D作交的延长线于H， ， ， ， ， ， 的面积． ( 题型02 ) 平行四边形的对角线性质 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练练据平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 故选：C． 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 11．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键． 直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点的直线分别与交于点．若平行四边形的面积为80，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】40 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的一半，由此可解． 【详解】解： 在平行四边形中，对角线交于点， ，， ， ， ， ， 阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的一半， 阴影部分的面积为：， 故答案为：40． 13．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线与相交于点， ， ∴， 故选：C． 14．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在中，对角线相交于点O，于点A，，，求平行四边形的边的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质可知，，，，，在中，由勾股定理得，求的值，在中，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由平行四边形的性质可知，，，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得． ( 题型03 ) 平行四边形的判定 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形的对角线、相交于点O，给出下列5个条件：；；；；，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形是平行四边形的有（   ）组 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定来进行选择即可． 【详解】解：能判定四边形是平行四边形的组合有：，，，，，， 选择与：， ，， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形； 选择与：， 四边形是平行四边形； 选择与：， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形； 选择与：，， 四边形是平行四边形； 选择与：， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形； 选择与：， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形； 共组， 故选C． 16．（23-24八年级下·北京东城·期中）在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，线段，求作：平行四边形． 小明的作法如下： 如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧； （2）以点A为圆心，长为半径画弧； （3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．    老师说：“小明的作法正确．” 请回答：四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：由作图方法可知，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 17．（23-24八年级下·北京·期中）在四边形中，对角线与相交于点，给出四组条件：   ①，；  ②，；    ③，；    ④，．  能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此进行判断即可． 【详解】解：①由，，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；   ②由，可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；   ③由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；   ④由，可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；    综上分析可知，能判定此四边形是平行四边形的有3组． 故选：C．   18．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 19．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，通过证明三角形全等可以等到，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．（23-24八年级下·北京·期中）已知矩形，以为一边求作一个平行四边形，使得该平行四边形的一个内角为，且面积为矩形面积的一半． (1)利用尺规作图作出符合题意的平行四边形（保留作图痕迹）； (2)写出判定四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作线段的垂直平分线l，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点F，再以点F为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点E，连接即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解决问题即可． 【详解】（1）解：先作线段的垂直平分线l，以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点F，再以点F为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点E，连接， 可得，且，为等边三角形， 则四边形为平行四边形，． 则平行四边形即为所求． （2）解：由（1）可知，， ∴四边形为平行四边形． 判定依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点M、N分别在边上，且，连接．求证∶ ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，再结合可得，易证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于E，平分交于F． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，先根据平行四边形的性质得出，结合角平分线的定义以及角的等量代换，得出等角对等边，则同理根据一组对边平行且相等的四边形，证明是平行四边形，即可作答． 【详解】证明：在平行四边形中， 则， ∴， 又平分， ∴， ∴， 即， 同理， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ( 题型04 ) 三角形中位线定理 23．（23-24八年级下·北京·期中）中，，，平分，过点作于点，是的中点，连接，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 先证明，继而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故答案为：2． 24．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，根据勾股定理求得，进而可得，再证得是的中位线，从而可求解，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：，，，， ， ，，， ，点是的中点， ， 又F是边的中点， 是的中位线， ， 故选A． 25．（23-24八年级下·北京·期中）如图，线段，点M为线段延长线上的一个动点，且，点E是线段的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线，确定取最小值时的情况． 在线段延长线上截取，则，当最小时，也最小，通过证明得出即点N的在与线段夹角为的直线上，则当时，取最小值，根据勾股定理得：，求出，即可解答． 【详解】解：在线段延长线上截取， ∵，点E是线段的中点， ∴，则当最小时，也最小， ∵，， ∴， 即点N的在与线段夹角为的直线上， ∴当时，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则 ． 【答案】8 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识．由平行四边形的对角线，相交于点，证明点是的中点，而点是的中点，则是的中位线，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：8． 27．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：∵和的中点、，米 ∴ ∴， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理： （1）证明，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，     ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵点G为的中点，， ∴是的中位线 ∴． 29．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点D是线段的中点． 求作：线段，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接， ②以点A为圆心，长为半径作弧，再以C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M； ③连接，交于点E； 所以线段即为所求的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接 ∵，， ∴四边形是平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵交于点E， ∴，即点E是的中点．（② ）（填推理的依据） ∵点D是AB的中点， ∴．（③ ）（填推理的依据） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （2）先证明四边形是平行四边形，得出点E是的中点，再结合然后点D是的中点，即三角形中位线性质得到． 【详解】解：（1）如图， ； （2）证明：连接AM，CM， ∵，， ∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据） ∵AC，DM交于点E， ∴，即点E是的中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据） ∵点D是的中点， ∴（③中位线的性质）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握平行四边形的对角相等． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意； D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，转化线段是解题的关键．根据平行线的性质可得，，由角平分线可得，，所以，，所以，，则根据即可求解． 【详解】∵平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 4．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，中，E是延长线上的一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：中，， ∴， ∴， 故选：D 5．（23-24八年级下·北京·期中）图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形是平行四边形，点 E 在线段的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形对角相等的性质求出，再利用补角的定义求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，且 ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平行四边形中，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． （1）若，则平行四边形中，点的坐标为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 或或 【分析】（1）当时，写出点C的坐标，画出三个符合条件的平行四边形，根据平移规律即可得到答案； （2）由勾股定理求得，当是以，，，为顶点的平行四边形的一边时，则；当是以，，，为顶点的平行四边形的对角线，则点与点关于的中点对称，当时，的值最小，此时的值最小，画出图形，根据勾股定理有，求出a，再求出的值，进而求出，与比较后即可得解． 【详解】解：（1）如图，四边形、四边形、四边形都是满足条件的平行四边形， 当时，有，，， 则轴，， ， ， 点B平移到点A的方式为向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度， 点由点C向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， ， 故答案为：或或． （2），，， ， 由（1）可知，当是以，，，为顶点的平行四边形的一边时，则， 如图，是以，，，为顶点的平行四边形的对角线， 点与点关于的中点对称， ， 易知当时，的值最小，此时的值最小， 在中，，点，，， 根据勾股定理有，， ， 解得或0，（舍0） ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查了图形与坐标，平移规律，平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．解题关键是灵活运用相关知识，画出图形解决问题． 10．（23-24八年级下·北京市第十九中学·期中）在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为 米． 【答案】100 【分析】根据三角形中位线的性质定理，解答即可． 【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点， ∴AB=2DE=100（米）， 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半，是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点D、E分别在边、边上，且满足，线段、交于点O． ①求证：； ②不添加辅助线，请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)①见详解；②四边形是“等对边四边形”，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等． （1）根据定义平行四边形即符合题意； （2）①先证明，再利用四边形内角和定理和平角的定义证明，，即可证明；②先证明；如图所示，过点C作于G，过点B作交延长线与F，证明，得到，再证明，得到，则四边形是“等对边四边形”． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2）①证明：， ， ，， ， ， ； 四边形是“等对边四边形”，证明如下： ∵， ∴； 如图所示，过点C作于G，过点B作交延长线与F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； 12．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点,，给出如下定义：当点,满足时，称点是点的等积点．已知点． (1)在，，中，点的等积点是_____． (2)点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1)和 (2)或 【分析】本题是四边形综合题，考查了图形与坐标、平行四边形的判定、新定义问题的求解，正确理解新定义和应用平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据定义通过计算即可得出答案； （2）设，则，即，可知点在直线上，且，根据平行四边形的性质得，求出的值再求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：， 不是的等积点； ， 是的等积点； ， 是的等积点， 故答案为：和； （2）如图， 设， 点是点的等积点， ， ， ， 点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴下方，，， 设直线的解析式为：， 把代入，可得：， ， 点的坐标为． 当点在轴上方，，，， 把代入，可得：， ， ， 点的坐标为． 综上，点C的坐标为或． 13．（23-24八年级下·北京·期中）小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点． (1)请你完成这一命题的证明． (2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法： 如图，要作线段的中点： ①作射线； ②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C； ③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点． 请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线等分线段，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定定理． （1）证明过E作交于F，证明，可得，即E为的中点； （2）①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，则H，I，J，K即为线段的五等分点． 【详解】（1）证明：过E作交于F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵D为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴E为的中点； （2）解：①作射线； ②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G； ③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K， 如图： 则H，I，J，K即为线段的五等分点． 14．（23-24八年级下·北京西城·期中）在本学期小组活动中，在平行四边形中添加线段，得到相应的基本图形，其中有一个小组画出的图形如图：中，点，分别在边，上，且，连结，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，结合，可得，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，首先得到，证明出，然后结合得到，进而证明即可． 【详解】∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$