专题03 勾股定理（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题03 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02以直角三角形三边为边长的图形面积 题型03网格问题 题型04折叠问题 题型05以弦图为背景的计算 题型06勾股定理的实际应用 题型07勾股定理的逆定理 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，则线段的长为 ． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 ． 3．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，，，则 ， ． 5．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A．5.2 B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京·期中）小明同学先向北行进4千米，然后向东进4千米，再向北行进2千米，最后又向东行进一定距离，此时小明离出发点的距离是千米，小明最后向东行进了（   ） A．2千米 B．3千米 C．4千米 D．6千米 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1) ； (2)①当P在上时，的长为 　　　　（用含t的代数式表示），t的取值范围是 　　　　　　； ②若点P在的平分线上，则t的值为 　　　　． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，A，B，H是直线l上的三个点，于点A，于点B，且，，，，求的长． 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，求长． ( 题型02 ) 以直角三角形三边为边长的图形面积 11．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 12．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 13．（23-24八年级下·北京·期中）图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A， B， C的面积依次为2， 4， 3， 则正方形D的面积为（   ） A．9 B．27 C．29 D．45 ( 题型03 ) 网格问题 16．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 17．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图中，画一个格点三角形，使得，；； (2)在（1）的条件下，直接写出边上的高的值． 18．（23-24八年级下·北京西城·期中）问题背景： 问题：在中，三条边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积． 小明在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．我们把这种借助网格求三角形面积的方法叫做构图法． 方法应用： (1)请直接在横线上写出的面积_________； (2)若的三边长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并直接在横线上写出的面积__________． (3)若的三边长分别为，，，（，且），请在图3中画出一个符合题意的，并直接在横线上写出的面积__________． ( 题型0 4 )折叠问题 19．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．    20．（23-24八年级下·北京·期中）如图是一张直角三角形纸片，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，求线段的长． 21．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )以弦图为背景的计算 22．（23-24八年级下·北京西城·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为 ． 23．（23-24八年级下·北京大兴·期中）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 24．（23-24八年级下·北京东城·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，给出下面三个结论： ①；  ②；  ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ ( 题型0 6 )勾股定理的实际应用 25．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·北京·期中）如图，一支的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计，笔筒内部底面直径为，内壁高，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 27．（23-24八年级下·北京丰台·期中）一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有 千米． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 )勾股定理的逆定理 29．（23-24八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 30．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在中，三边长分别为3，4，5，那么的面积为（　　） A．12 B．6 C． D． 31．（23-24八年级下·北京·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，，3 C．6，8，9 D．5，12，13 32．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 33．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在水塔 O 的东北方向 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 4．（23-24八年级下·北京·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1，2 C．3，，5 D．5，12，13 5．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 二、填空题 7．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾，弦，则小正方形的边长是 . 8．（23-24八年级下·北京市海淀外国语藤飞学校·期中）如图所示，一棵大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，树的顶端到树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，如果将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么线段的长是 ．    三、解答题 10．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知：如图，在中，，的角平分线交边于点，且，．求证：是等腰三角形．    11．（23-24八年级下·北京·期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，，D是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的边的长度． 13．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，计算：______；边上的高为______（直接写出结果）． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图，某人从A地到B地有三条路可选，第一条路从A地沿到达B地，为10米，第二条路从A地沿折线到达B地，为8米，为6米，第三条路从A地沿折线到达B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．    (1)求证：； (2)求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02以直角三角形三边为边长的图形面积 题型03网格问题 题型04折叠问题 题型05以弦图为背景的计算 题型06勾股定理的实际应用 题型07勾股定理的逆定理 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过点A作的垂线，垂足为M，在中，求出，，在中，由勾股定理求出，即可求出线段的长． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为M， 在中，，则 ∴， ∴， 同理可得，． 在中，， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的变形求值，设一条直角边长为x，另一条直角边长为，则，由完全平方公式的变形推出，则由勾股定理可得答案． 【详解】解：设一条直角边长为x，另一条直角边长为， 由题意得：， ∴， ∴， ∴斜边， 故答案为：13． 3．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，根据已知条件添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．延长、相交于E，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理分别求得、、，根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：延长、相交于E， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：C． 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，中，，，，，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，掌握勾股定理，三角形高的计算方法是解题的关键． 根据勾股定理可求出的值，根据等面积法可求出的值． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， ． 5．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A．5.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 6．（23-24八年级下·北京·期中）小明同学先向北行进4千米，然后向东进4千米，再向北行进2千米，最后又向东行进一定距离，此时小明离出发点的距离是千米，小明最后向东行进了（   ） A．2千米 B．3千米 C．4千米 D．6千米 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意画出图形是解题关键． 根据题意画出图形，进而得出各边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得，千米，千米， 则在Rt中，千米， ∵千米，则千米， 故选：C． 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是， ∴另一条直角边的长为． 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1) ； (2)①当P在上时，的长为 　　　　（用含t的代数式表示），t的取值范围是 　　　　　　； ②若点P在的平分线上，则t的值为 　　　　． 【答案】(1)8 (2)①，；②或 【分析】（1）利用股定理即可求解； （2）①根据点的运动路径及速度表示出即可解答； ②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定理解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 故答案为：8． （2）解：①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 运动，， 当在上时，． ，即， ． 故答案为：，； ②当点在 的角平分线上时，过点作 于，如图所示， 平分，，， ． 又， ． ，则． 由（2）易知，， ． 在中， 即， 解得． 点在 的平分线上时，． 当点P与点C重合时也满足点在 的平分线上。 此时 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，A，B，H是直线l上的三个点，于点A，于点B，且，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】设，从而可得，再分别在和中，利用勾股定理求出的值，然后根据建立方程，解方程即可得， 本题考查了勾股定理、一元一次方程的几何应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【详解】解：设，则， 于点，于点， 和都是直角三角形， 在中，， 在中，， ， ，即， 解得：， 故答案为：的长为． 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，求长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，由可得，得到为等腰直角三角形，即得到，由勾股定理可得，进而得，再根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 题型02 ) 以直角三角形三边为边长的图形面积 11．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键． 根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， ． 一般规律为： ，则． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 13．（23-24八年级下·北京·期中）图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得到，再由正方形面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴由勾股定理得， ∴图中所有正方形的面积的和是， 故选：D． 14．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积． 【详解】解： ∵三个正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A， B， C的面积依次为2， 4， 3， 则正方形D的面积为（   ） A．9 B．27 C．29 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中． 设正方形D的面积为x，根据图形得出方程，求出即可． 【详解】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：， 解得：， 故选：A． ( 题型03 ) 网格问题 16．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 【答案】(1)4.5 (2)图见解析， (3)的面积为 【分析】本题考查勾股定理，割补法求面积，利用网格特征构图是解题的关键． （1）直接利用割补法求面积即可； （2）就是分别以格边为直角边的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，据此构图求解； （3）设网格中小长方形的长为，宽为，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，据此构图求解． 【详解】（1）的面积， 故答案为：4.5； （2）如图2中，即为所求， 的面积； （3）如图小长方形的长为n，宽为m，就是符合要求的三角形， 的面积． 17．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图中，画一个格点三角形，使得，；； (2)在（1）的条件下，直接写出边上的高的值． 【答案】(1)见解析 (2)的边上的高为， 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用勾股定理，数形结合的射线画出图形即可； （2）根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，的边上的高为，． 18．（23-24八年级下·北京西城·期中）问题背景： 问题：在中，三条边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积． 小明在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．我们把这种借助网格求三角形面积的方法叫做构图法． 方法应用： (1)请直接在横线上写出的面积_________； (2)若的三边长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并直接在横线上写出的面积__________． (3)若的三边长分别为，，，（，且），请在图3中画出一个符合题意的，并直接在横线上写出的面积__________． 【答案】(1)3.5 (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】此题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出是解题的关键． （1）利用恰好能覆盖的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答； （2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可； （3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：3.5； （2）解：∵， ∴可以看作是两直角边长分别为和a的直角三角形斜边长， 同理：可以看作是两直角边长都是的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和a的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，   ； （3）解：∵， ∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长， 同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，    ∴． ( 题型0 4 )折叠问题 19．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．    【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴ ． 20．（23-24八年级下·北京·期中）如图是一张直角三角形纸片，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，求线段的长． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质，在中勾股定理求得，进而由翻折得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 【详解】解：在中，，， 由题意得； 设，则， 在中， ，即， 解得； 即． ∴ 21．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故选B． ( 题型0 5 )以弦图为背景的计算 22．（23-24八年级下·北京西城·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题关键是熟练掌握正方形面积公式以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ， 设正方形的边长为 ∵正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和 ∴ ∴（舍去） 则正方形的边长为． 故答案为：． 23．（23-24八年级下·北京大兴·期中）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 24．（23-24八年级下·北京东城·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，给出下面三个结论： ①；  ②；  ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，因式分解的应用．根据三角形的三边关系得： ，故①正确；再由，可得，故②正确；根据，可得，故③正确，即可． 【详解】解：由三角形的三边关系得： ，故①正确； ∵， ， 即，故②正确； 由勾股定理得：， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． ( 题型0 6 )勾股定理的实际应用 25．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 26．（23-24八年级下·北京·期中）如图，一支的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计，笔筒内部底面直径为，内壁高，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为；当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小，由勾股定理可求，则，进而可得的范围． 【详解】解：由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为； 当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·北京丰台·期中）一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有 千米． 【答案】 【分析】根题考查了勾股定理的应用，能够运用数学知识解决生活中的问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形． 【详解】解：根据题意得： ，， 构成直角三角形， 根据勾股定理， ， ， 千米． ∴这时它离出发点有17千米． 故答案为：17． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：如图， 它运动的最短路程． 故选：C． ( 题型0 7 )勾股定理的逆定理 29．（23-24八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 30．（23-24八年级下·北京海淀·期中）在中，三边长分别为3，4，5，那么的面积为（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，先证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，三边长分别为3，4，5， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积． 故选：B． 31．（23-24八年级下·北京·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，，3 C．6，8，9 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 32．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为； （2）解：由题意知，， ∴四边形的面积为5． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键． 33．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 【答案】 是 0.5/ 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用， 首先根据勾股定理的逆定理得到，进而得到新修道路是村庄C到河边最近的路；然后勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】∵千米，千米，千米 ∴ ∴ ∴新修道路是村庄C到河边最近的路； ∵千米 ∴ ∴千米 ∴走新修路比走原路少走0.5千米． 故答案为：是；0.5． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在水塔 O 的东北方向 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，牢记勾股定理是解题的关键； 由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】∵在东北方向，在东南方向， ∴，， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴水管的长为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ∵ ∴ ∴， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 3．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理即可求出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴不是直角三角形，故不能判断，符合题意； D、∵， ∴是直角三角形，故能确定，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·北京·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1，2 C．3，，5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，， 不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形， 故B不符合题意； C、，，， 不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，，， 能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较． 【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点． ∵，， ， 又， ， 四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ， 在中， 则， 故①正确，符合题意； ②∵， ， 在中，， ， ， 故②正确，符合题意； ③∵， ，， 又， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 故③正确，符合题意； 故选：D 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算是解题的关键． 由的坐标为，可求，则点的横坐标为，由，可求． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾，弦，则小正方形的边长是 . 【答案】1 【分析】根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 8．（23-24八年级下·北京市海淀外国语藤飞学校·期中）如图所示，一棵大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，树的顶端到树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理计算出大树折断的部分，再根据大树的高度等于折断的部分的长与未断的部分的长的和，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 由题意可得：，米，米， 米， 大树的高度米， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，如果将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么线段的长是 ．    【答案】5 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， ∵是的中点， ∴， 在中，， 解得． 即． 故答案为：5． 三、解答题 10．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知：如图，在中，，的角平分线交边于点，且，．求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，证得成为解题的关键． 根据勾股定理逆定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后结合公共边可证，进而得到即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴, ∴， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∵, ∴， ∴,即是等腰三角形． 11．（23-24八年级下·北京·期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的实际运用，利用格点的特点，把每一条边放在格点直角三角形中是解决问题的关键． 把每一条边都看作直角三角形的斜边，利用勾股定理求得边长，进一步求和即可； 【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ， ， ， ， ∴四边形的周长为． 12．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，，D是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的边的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设， 则， 根据勾股定理进而解答即可． 【详解】（1）证明： 在中， ， ∴为直角三角形， 即， ∴； （2）设， 则， 在中， 即 解得： ． 13．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，计算：______；边上的高为______（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图—应用与设计、勾股定理逆定理、三角形面积公式、求三角形的高，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在图中画出三角形三边长分别为，，的三角形即可； （2）先由勾股定理逆定理得出，再由即可求出面积，设边上的高为，利用等面积法即可得出高． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：，，， ， 为直角三角形，， ， 设边上的高为，则，即， 解得：， 故答案为：，． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图，某人从A地到B地有三条路可选，第一条路从A地沿到达B地，为10米，第二条路从A地沿折线到达B地，为8米，为6米，第三条路从A地沿折线到达B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)17米 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键. （1）由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，； （2）解：设米，则米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：的长为17米． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$