专题01 二次根式（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02最简二次根式 题型03同类二次根式 题型04分母有理化 ( 题型01 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·北京·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可. 【详解】解：由题意得：，， ，， ， ∴. 4．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． ( 题型02 ) 最简二次根式 5．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：在二次根式的被开方数中，不含分母；不含开得尽方的因数或因式．根据判定最简二次根式的方法依次判定即可得出结果． 【详解】解：A、，不能化简，是最简二次根式，符合题意； B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； C、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 6．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查最简二次根式，最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数，据此判断． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、，不符合题意； D、不是最简二次根式； 故选：A． 7．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的定义：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故A选项符合题意； B．不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C．不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D．不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 8．（23-24八年级下·北京大兴·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件“一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母成为解题的关键． 根据最简二次根式的条件逐项判断即得可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 9．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了最简二次根式，解题的关键是：熟练掌握最简二次根式的定义． 【详解】解：A、，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，不符合题意， B、是最简二次根式，符合题意， C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意， D. ，被开方数为小数，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 10．（23-24八年级下·北京丰台·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. 符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选B． ( 题型03 ) 同类二次根式 11．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 13．（23-24八年级下·北京市东直门中学·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 14．（23-24八年级下·北京市大峪中学·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义得出，求出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． ( 题型04 ) 分母有理化 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，根据二次根式的性质及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：A、，则错误，故不符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、，则错误，故不符合题意； D、，则正确，故符合题意； 故选D． 16．（23-24八年级下·北京大兴区·期中）化简：＝ ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，进行分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质，确定分母的有理化因式是解题的关键． 17．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）先分母有理化，再合并即可； （2）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 18．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京市大峪中学分校·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意得且， 解得：且， 故选：D． 2．（23-24八年级下·北京市海淀实验中学·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解出即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，即． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，根据最简二次根式的条件及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，则不是最简二次根式，故不符合题意； C、，则不是最简二次根式，故不符合题意； D、，则不是最简二次根式，故不符合题意； 故选A． 4．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，故该选项符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·北京·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知：如果二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含能开得尽的因式以及小数，分母等，据此进行逐项分析，即可作答． 解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项是错误的； B、是最简二次根式，故该选项是正确的； C、含能开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项是错误的； D、含能开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项是错误的； 故选：B 7．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）与的结果不相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算出，再计算各选项所给式子，进而得到答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 二、解答题 8．（23-24八年级下·北京海淀·期中）阅读材料：在解决问题“已知求的值”时，小芳是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 请根据小芳的方法探索解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化和二次根式的化简求值： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先分母有理化得到，进而得到，再由完全平方公式推出，最后根据进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级下·北京市大峪中学分校·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则进行化简，再把a的值代入即可得出答案． 【详解】解：原式=                       =                            =                                         ∵， ∴原式= 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02最简二次根式 题型03同类二次根式 题型04分母有理化 ( 题型01 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·北京·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若，则 ． 3．（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 4．（23-24八年级下·北京大兴·期中）已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． ( 题型02 ) 最简二次根式 5．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·北京大兴·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·北京丰台·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． ( 题型03 ) 同类二次根式 11．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 13．（23-24八年级下·北京市东直门中学·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 14．（23-24八年级下·北京市大峪中学·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． ( 题型04 ) 分母有理化 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·北京大兴区·期中）化简：＝ ． 17．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 18．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京市大峪中学分校·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 2．（23-24八年级下·北京市海淀实验中学·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·北京·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京西城·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）与的结果不相等的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 8．（23-24八年级下·北京海淀·期中）阅读材料：在解决问题“已知求的值”时，小芳是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 请根据小芳的方法探索解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 9．（23-24八年级下·北京市大峪中学分校·期中）已知，求代数式的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$