专题05 特殊的平行四边形（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题05 特殊的平行四边形 题型概览 题型01直角三角形斜边上的中线 题型02矩形的判定与性质 题型03菱形的判定与性质 题型04正方形的判定与性质 题型05特殊平行四边形中的定值、最值问题 题型06特殊平行四边形中的动点问题 ( 题型01 ) 直角三角形斜边上的中线 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D是的中点，若，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】根据直角三角形的性质得出，所以为等腰三角形，可求出的度数，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：在中，，是的中点， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，证明是直角三角形是解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再证明是直角三角形，即，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，则． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·北京西城·期中）某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可． 【详解】 是公路的中点 即两点间的距离为 故选：A． 4．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，能根据直角三角形斜边上中线的性质得出 是解此题的关键． 【详解】解：在中，，点为的中点，， ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，由三角形中位线定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得解． 【详解】解：点分别是边的中点， 是的中位线， ， ，点是的中点， ， ， 故选：A． 6．（23-24八年级下·北京·期中）在中， D 为斜边的中点，且，则线段 的长是（    ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用．根据勾股定理列式求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为斜边的中点， ∴． 故选：A 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）如图，在中，，点为边中点，，求的长度．    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，点为边中点， ∴． ( 题型02 ) 矩形的判定与性质 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故选：D． 9．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ）    A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则四边形是矩形，    ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 10．（23-24八年级下·北京东城·期中）矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；由矩形的面积得，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，轴，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作轴于E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于E，如图所示： ∵矩形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．      (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，得到，再利用得到，则四边形是平行四边形．再利用得到，即可证明四边形是矩形． （2）证明，，，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，； 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，是的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，然后由即可证明出四边形是矩形； （2）过O作于F，首先根据矩形的性质得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）过O作于F，    ∵四边形是矩形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握举行的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据，，得到，即可证明结论； （2）根据角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ( 题型03 ) 菱形的判定与性质 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得，由三角形中位线定理可得，计算求解即可． 【详解】解：由菱形的性质可得，，，， ∴， ∵O是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出， 由即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，与交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 17．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，若，，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；利用菱形的性质求出，再证是等边三角形，得到菱形的边长，进而勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，．则四边形的周长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用直角三角形的中位线定理得出的长，即可计算出菱形的周长． 【详解】解： 为菱形，，对角线，相交于点O， ，，，， 在中，， ， ， 设，则，利用勾股定理得， ，即，解得，（舍去）， ， E是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：C． 19．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 20．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，点D，E，F分别为，，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明是的中位线，得到，同理可得，再由，得到，则四边形是菱形； （2）设交于O，利用三角形中位线定理求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点，，分别为，，的中点， ∴是的中位线，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于O， 同理可证是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． ( 题型0 4 )正方形的判定与性质 21．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（    ） A．8 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：如图 直线l上有三个正方形a，b，c， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ； 故选：D． 22．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键． 由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ， ， ， ， ， 则小正方形的边长为2， ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·北京·期中）已知正方形的边长为2，则正方形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． 根据正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴对角线长为． 故答案为：． 24．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．4 B．9 C．13 D．5 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点D作于点E，则，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是， 故选D． 25．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知：如图，正方形中，对角线的交点为O，E是上的一点，于G，交于F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质等；由正方形的性质得 ，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；掌握相关的性质及判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ． 26．（23-24八年级下·北京海淀·期中）已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；② 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②证明四边形是矩形，得出，，证明，得出即可； （2）①过P作交BA延长线于T，过E作于K， 证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出； ②根据是等腰直角三角形，，得出，求出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）①解：补全图形如下： ②证明：过N作于H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①过P作交BA延长线于T，过E作于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由①可知，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出图形，熟练掌握相关的判定和性质． ( 题型0 5 )特殊平行四边形中的定值、最值问题 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为、的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解，，， ， ， 于，于， 四边形是矩形， ，互相平分．且， ，的交点就是点． 当的值最小时，的值就最小， 当时，的值最小，即的值最小． ， ， ，，， ， ， ； ， 最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值， 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 29．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，两边之和大于第三边，垂线段最短，能够将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．先证明平行四边形是菱形，则点关于的对称点，连接，，过点作于点，可推出就是的最小值，再根据含角直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 连接，，过点作于点， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ， 即就是的最小值， ， ， 在中， ，， ， 由勾股定理，得． 的最小值为． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形． （1） ； （2）点是线段上的一个动点，连接，．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由已知可得是等腰三角形，所以； （2）作点关于的对称点，连接与交点为，则，由（1）可得，再由，则，可求，过作则为等腰直角三角形，可知与重合，在中，，求得即为所求． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ∴是等腰三角形， ， 故答案为； （2）作点关于的对称点，连接与交点为， ， ∵， ， ， ， ， ． ， 过作，则为等腰直角三角形， ， ∴与重合， ， 在中，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称，等腰直角三角形的性质和判定，作出关于的对称点，证明是解题的关键． 31．（23-24八年级下·北京·期中）如图：点在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点是上一个动点，连接则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理；作点关于的对称点，连接与交点为，则求得，进而得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接与交点为， ∴ ， 是等边三角形，四边形是正方形， ，，， ， ， 由轴对称的性质可得， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 故答案为：． ( 题型0 6 )特殊平行四边形中的动点问题 32．（16-17八年级下·北京丰台·期中）在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E． （1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________； （2）当点在点M的左侧时，如图2． ①依题意补全图2； ②判断的形状，并加以证明． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①补全图形;②的形状是等腰三角形,证明见解析. 【分析】（1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由点P与点B重合，点M，N分别为BC，AP的中点，易得BN=BM，即可判定△EPN的形状是：等腰直角三角形； （2）①首先根据题意画出图形； ②首先在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，易得MN是△APF的中位线，证得∠1=∠2，易证得△ABF≌△DCP（SAS），则可得∠2=∠3，继而证得∠1=∠2，则可判定△EPM的形状是：等腰三角形. 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵点M，N分别为BC，AP的中点， ∴当点P与点B重合时，BN=BM， ∴当点P与点B重合时，△EPM的形状是：等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； （2）补全图形，如图1所示．　 的形状是等腰三角形． 证明： 在MC上截取MF，使MF = PM，连结AF， 如图2所示．∵ N是AP的中点，PM = MF， ∴MN是△APF的中位线．∴MN∥AF． ∴．= ∵ M是BC的中点，PM = MF，∴BM+MF=CM+PM．即BF=PC． ∵四边形ABCD是正方形，∴，AB=DC． ∴△ABF≌△DCP． ∴．   ∴． ∴EP=EM．∴△EPM是等腰三角形． 【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键. 33．（15-16八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． （1）求的长； （2）已知动点运动的速度分别为．经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； （3）设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）若为直角三角形，的值为4或12或24 【分析】（1）根据菱形的性质得，加上，于是可判断是等边三角形，所以； （2）如图1，根据速度公式得到12秒后点走过的路程为，则点到达点，即点与点重合，12秒后点走过的路程为，而，易得点到达的中点，即点为的中点，根据等边三角形的性质得，即为直角三角形，然后根据等边三角形面积可计算出； （3）由为等边三角形得，根据速度公式得经过3秒后点运动的路程为、点运动的路程为，所以，然后分类讨论：当点运动到点，且点在上，如图1，则，由于为直角三角形，而，只能得到，所以，根据含30度的直角三角形三边的关系得，解得；当点运动到点，且点在上，如图2，则，由于为直角三角形，而，若，则，根据含30度的直角三角形三边的关系得，解得；若，易得此时点在点处，则，解得． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， 即的长是； （2）如图1，12秒后点走过的路程为，则12秒后点到达点，即点与点重合， 12秒后点走过的路程为，而， 所以点到点的距离为， 则点到达的中点，即点为的中点， ∵是等边三角形，而为中线， ， ∴为直角三角形， ； （3）∵为等边三角形， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， ∵点从点开始运动，即， ∴点为的中点，即，当点运动到点，且点在上，如图1，则， ， ∵为直角三角形， 而， （不能为，否则点F在点A的位置）， ， ， ， ； 当点运动到点，且点在上，如图2，则， ， ∵为直角三角形， 而， 若，则， ， ； 若，即， 而， ∴点在的垂直平分线上， ∴此时点在点处， ∴， ， 综上所述，若为直角三角形，的值为4或12或24． 【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质；会运用含30度的直角三角形三边的关系计算几何计算；能运用分类讨论的思想解决数学问题． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）在矩形中，已知，，是上任意一点，于，于，则的值为（    ）． A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用，过点作于，连接，根据勾股定理列式求出的长度，再根据的面积求出，然后根据的面积求出，从而得解．根据三角形的面积求出是解题的关键，作辅助线是难点． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 在矩形中，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·北京东城·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形 C．有两边平行的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，熟知特殊平行四边形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B、有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； C、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条，； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条，． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意，得． 解得． 故选：B． 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 在中，运用勾股定理求得，由菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 5．（23-24八年级下·北京·期中）菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积是（   ） A．10 B．40 C．48 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线的一半求出结果． 因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：菱形的面积为：． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半． 先根据菱形的性质得出，根据直角三角形斜边上中线的性质，即可求出，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴菱形面积为， 故答案为：1，． 7．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．首先求得， ，然后在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴该菱形的面积是：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在两个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解： 平面内任意取一点D，与点A，点B，点C构成四边形， ∵M、N、P、Q分别是，，，的中点， ，，，，，，，， ，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴存在无数个中点四边形是平行四边形，故①正确； 当时，即以点B为圆心，的长为半径画圆，在圆弧上取一点D，则有， ∴四边形是菱形， ∴存在无数个中点四边形是菱形，故②正确； 当时，，，即， ∴四边形是矩形， ∴存在无数个中点四边形是矩形，故③正确； 当且仅当，时，中点四边形才是正方形， 这样的点D在左侧，右侧各一个共有2个，故存在两个中点四边形是正方形，故④正确． 故答案为：①②③④． 9．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，再添加一个条件 （写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理的应用，注意：对角线垂直的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定定理（对角线垂直的平行四边形是菱形)推出即可． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由已知条件易证，再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知． （2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等腰三角形， E是的中点， ． （2）证明：由（）知， 是直角三角形， G是的中点， ， E、F分别是，的中点， ， ． 12．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，连接，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴且， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． (1)在图1中补全图形； (2)求的度数，写出求解过程． (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合即可得到结论； （3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：，证明如下： ∵点D、F关于对称， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点A作，与射线交于点Q．    ∵， ∴， 由对称性可知， 又∵， ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∵， ∴， ∵，   ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． (1)在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）； (2)在图2中画出以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判断，菱形的判定，勾股定理： （1）由，则，结合网格的特点作图即可； （2）根据网格的特点，结合作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示：四边形即为所求； （2）解：如图2所示，四边形即为所求． 15．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论； （2）利用直角三角形的特征及勾股定理求得，利用菱形的性质及可得，进而可得，根据即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． （2）解：， ， ， ， 在中，， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊的平行四边形 题型概览 题型01直角三角形斜边上的中线 题型02矩形的判定与性质 题型03菱形的判定与性质 题型04正方形的判定与性质 题型05特殊平行四边形中的定值、最值问题 题型06特殊平行四边形中的动点问题 ( 题型01 ) 直角三角形斜边上的中线 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D是的中点，若，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 3．（23-24八年级下·北京西城·期中）某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级下·北京·期中）在中， D 为斜边的中点，且，则线段 的长是（    ） A．5 B．3 C． D．2 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）如图，在中，，点为边中点，，求的长度．    ( 题型02 ) 矩形的判定与性质 8．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ）    A．米 B．米 C．2米 D．米 10．（23-24八年级下·北京东城·期中）矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，轴，则点D的坐标为 ． 12．（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．      (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，是的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 14．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． ( 题型03 ) 菱形的判定与性质 15．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为 ． 16．（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 17．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，若，，则菱形的面积等于 ． 18．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，．则四边形的周长为（    ） A．8 B． C． D． 19．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 20．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，点D，E，F分别为，，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． ( 题型0 4 )正方形的判定与性质 21．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（    ） A．8 B． C． D．12 22．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 23．（23-24八年级下·北京·期中）已知正方形的边长为2，则正方形的对角线长为 ． 24．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．4 B．9 C．13 D．5 25．（23-24八年级下·北京东城·期中）已知：如图，正方形中，对角线的交点为O，E是上的一点，于G，交于F．求证：． 26．（23-24八年级下·北京海淀·期中）已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 ( 题型0 5 )特殊平行四边形中的定值、最值问题 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为、的交点，则的最小值为 ． 28．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 29．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 30．（23-24八年级下·北京·期中）如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形． （1） ； （2）点是线段上的一个动点，连接，．若，，则的最小值为 ． 31．（23-24八年级下·北京·期中）如图：点在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点是上一个动点，连接则的最小值为 ． ( 题型0 6 )特殊平行四边形中的动点问题 32．（16-17八年级下·北京丰台·期中）在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E． （1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________； （2）当点在点M的左侧时，如图2． ①依题意补全图2； ②判断的形状，并加以证明． 33．（15-16八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． （1）求的长； （2）已知动点运动的速度分别为．经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； （3）设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求的值． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）在矩形中，已知，，是上任意一点，于，于，则的值为（    ）． A．3 B． C．5 D． 2．（23-24八年级下·北京东城·期中）在下列命题中，正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形 C．有两边平行的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条，； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条，． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·北京·期中）菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积是（   ） A．10 B．40 C．48 D．24 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ． 7．（23-24八年级下·北京平谷·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 8．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在两个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是 ． 9．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，则 ． 10．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，再添加一个条件 （写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线） 三、解答题 11．（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 12．（23-24八年级下·北京·期中）如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． (1)在图1中补全图形； (2)求的度数，写出求解过程． (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． (1)在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）； (2)在图2中画出以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 15．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$