重难点01 规律类问题综合训练（8大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

重难点01 规律类问题综合训练 中考数学中《规律类问题综合训练》部分主要考向分为四类： 一、图案类 二、坐标类 3、 数字类 4、 图形面积类 规律探究类问题在往年的考试中，一般以填空题压轴题为主，山东近两年个别地区在模拟考试中在解答题中也出现了规律探究题。图案类、数字变化类的题目，一般难度相对小一些，坐标、图形面积类的问题，一般由于结合了函数、相似、图形的性质等知识，所以难度相对大一些。 考向一：图案类 【题型1】图案个数规律探究 对于本类问题，常见的做题思路有两个：一是看出图形的变化方式，写出前5-7组图案个数，在结果中归纳总结数字变化规律，得到第n个图中图形个数的表达式；二是观察前后图案的关系，很多题目都是后面图案是在前面图案的基础上增加或者减少几个图案，找到过程中的规律，从而得到第n个图中图形个数的表达式。 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 3．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ） A．297 B．301 C．303 D．400 4．（2024·山东淄博·一模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为 ． 【题型2】图形中元素规律的探究 图形中元素常考有线段的长度规律、边长、周长等，对于这类问题，常常结合三角函数、相似、勾股定理进行求线段的长度，一般情况下是在解题过程中寻找规律。 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ． 3．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 4．（2022·山东泰安·一模）如图，中，，，BC边上的高，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 ． 5．（2022·山东青岛·二模）【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？ (1)【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表： 形横长m 2 3 3 5 4 5 … 矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 x … ①观察上表数据，表中的______． ②结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是______． ③探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表： a 2 3 3 5 2 3 … b 1 1 2 2 1 1 … k 2 2 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的 小正方形个数f 4 6 8 y 6 z … 观察上表数据．表中的______，______． 结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是______． (2)【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是______个． (3)模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方形组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是______个． 22．（2023·山东潍坊·一模）【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 考向二：坐标类 【题型3】点的坐标规律探究 探究点的规律时，一般是结合题干信息，找出数字的变化规律：对于周期类数字变化形式，写出几个结果确定周期，求第n个数时，用n除以周期求余数，即可确定第n个数。 1．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 2．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东泰安·中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．      4．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 5．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型4】图形变化中点的坐标规律探究 平移遵循：横坐标左减右加，纵坐标下减上加； 对称遵循：关于x轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成相反数；关于y轴对称，则横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于原点对称时，横、纵坐标都变为原来的相反数； 旋转遵循：将A点绕B点旋转90°的问题，可以构造以AB为对角线的矩形，并且矩形的边是水平或者竖直，将矩形绕B点旋转，确定A点会更清楚。 1．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    2．（2022·山东济南·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．    3．（2022·山东淄博·中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 ． 4．（2021·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(x-5)(0≤x≤5)的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数式表示)． 【题型5】函数中点的坐标规律探究 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 2．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    3．（2022·山东东营·中考真题）如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是 . 考向三：数字类 【题型6】数字变化规律探究 1 1,3,5,7,………则第n个数为2n-1； 2 2,4,6,8，……则第n个数为2n； 3 平方型：1，4,9,16，….则第n个数为n2; 4 等差数列型：第一个数为a1,后一个数与前一个数的差都是d，则第n个数为a1+(n-1)d； 5 等比数列型：第一个数为a1,后一个数与前一个数的比都是q，则第n个数为； 1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    3．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ． 4．（2024·山东淄博·二模）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为 ． …… 5．（2023·山东泰安·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16 17  18  19  20  21  22  23  24  25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是 ． 【题型7】代数式规律探究 1 对于1+2+3+….+n，1+3+5+7+…+2n-1这类等差数列求和问题，和为； 2 对于，结合即可求解； 3 对于，结合即可求解； 4 对于，结合即可求解； 1．（2023·山东泰安·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 2．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 3．（2021·山东滨州·二模）观察下列各式的规律: ①1×3-22=3-4=-1； ②2×4-32=8-9=-1； ③3×5-42=15-16=-1 ...... 请按以上规律用含有字母的式子表示第n个算式为 . 4．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 考向四：图形面积类 【题型8】图形面积规律探究 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． （建议用时： 分钟） 1．（2023·山东济宁·二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 2．（2022·山东德州·二模）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ． 3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）    A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 4．（2023·山东聊城·一模）如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 5．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2022·山东枣庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点：以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点；以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．    7．（2022·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（　　） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 8．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ． 9．（2023·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为 ． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 11．（2025·山东·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 12．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 13．（2022·山东威海·中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(   ) A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 规律类问题综合训练 中考数学中《规律类问题综合训练》部分主要考向分为四类： 一、图案类 二、坐标类 3、 数字类 4、 图形面积类 规律探究类问题在往年的考试中，一般以填空题压轴题为主，山东近两年个别地区在模拟考试中在解答题中也出现了规律探究题。图案类、数字变化类的题目，一般难度相对小一些，坐标、图形面积类的问题，一般由于结合了函数、相似、图形的性质等知识，所以难度相对大一些。 考向一：图案类 【题型1】图案个数规律探究 对于本类问题，常见的做题思路有两个：一是看出图形的变化方式，写出前5-7组图案个数，在结果中归纳总结数字变化规律，得到第n个图中图形个数的表达式；二是观察前后图案的关系，很多题目都是后面图案是在前面图案的基础上增加或者减少几个图案，找到过程中的规律，从而得到第n个图中图形个数的表达式。 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 3．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ） A．297 B．301 C．303 D．400 【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数． 【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0， 第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1； 第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2； 第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3； 第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1， ……， 第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301． 故选：B． 4．（2024·山东淄博·一模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形可知第幅图中★的个数为，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ……， 以此类推，第幅图中★的个数为， 又∵， ， ， ……， 以此类推，可知， ∴ ． 故答案为：． 【题型2】图形中元素规律的探究 图形中元素常考有线段的长度规律、边长、周长等，对于这类问题，常常结合三角函数、相似、勾股定理进行求线段的长度，一般情况下是在解题过程中寻找规律。 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，，，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，三角形中位线定理，由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案． 【详解】解：探究规律： ，，， 分别为的中点， 同理： 总结规律： 运用规律：当时，． 故答案为：． 3．（2024·山东淄博·二模）观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 4．（2022·山东泰安·一模）如图，中，，，BC边上的高，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为 ． 【分析】先求得BD、DC、AC的长，设，则，，再根据正方形性质可得，所以，然后求得和的相似比，同理求得和的相似比，然后总结规律即可解答． 【详解】解：∵BC边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形P1Q1H1D是正方形， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴，， 即和的相似比为， 同理：和的相似比为， ∴和的相似比， 依次类推，和的相似比为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．（2022·山东青岛·二模）【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？ (1)【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表： 形横长m 2 3 3 5 4 5 … 矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 x … ①观察上表数据，表中的______． ②结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是______． ③探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表： a 2 3 3 5 2 3 … b 1 1 2 2 1 1 … k 2 2 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的 小正方形个数f 4 6 8 y 6 z … 观察上表数据．表中的______，______． 结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是______． (2)【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是______个． (3)模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方形组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是______个． 【分析】（1）通过分析图形特征，得到x，y，z的值，从而归纳得到f与m，n之间的关系式，f与a，b，k之间的关系式． （2）运用探究二的结论，可以求得结果． （3）运用探究一、二的结论，可以求得结果． 【详解】（1）解：探究一： 7 ，f与m，n之间的关系式是：． 探究二： 12 ， 9 ，f与a，b，k之间的关系式是． （2）解：根据探究二的结论，630=70×9，490=70×7， 即，，，，， ∵（个）， ∴穿过的小正方形的个数是 1050 个． （3）解：穿过的小正方体的个数是 6 个． 22．（2023·山东潍坊·一模）【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 【分析】（1）由表格的特殊情况找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形A的面积即可； （4）先根据格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，列出方程求出x与y的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可． 【详解】（1）观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即， ∴当时，， 故答案是：4.5，； （2） （答案不唯一） 图1 图2 边上的点数x 6 7 多边形面积S 4 4.5 观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即， 故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）； （3）设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为， ∵A图形中，，， ∴， 即A图形中的面积为11.5； （4）由题意，得， 解之得． 设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示， （答案不唯一） 考向二：坐标类 【题型3】点的坐标规律探究 探究点的规律时，一般是结合题干信息，找出数字的变化规律：对于周期类数字变化形式，写出几个结果确定周期，求第n个数时，用n除以周期求余数，即可确定第n个数。 1．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 2．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 3．（2023·山东泰安·中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．      【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可． 【详解】解：由图形可得： 如图：过作轴，    ∵ ∴ ∴, 同理： ∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环， ∴的横坐标为2023， ∵，674为偶数， ∴点在第一象限， ∴． 故答案为． 4．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ． 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，， 是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形， 同理可得：均为等腰直角三角形， ， ∴ 由此可推出：点的坐标为． 故答案为：． 5．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 【题型4】图形变化中点的坐标规律探究 平移遵循：横坐标左减右加，纵坐标下减上加； 对称遵循：关于x轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成相反数；关于y轴对称，则横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于原点对称时，横、纵坐标都变为原来的相反数； 旋转遵循：将A点绕B点旋转90°的问题，可以构造以AB为对角线的矩形，并且矩形的边是水平或者竖直，将矩形绕B点旋转，确定A点会更清楚。 1．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 2．（2022·山东济南·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．    【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到． 故答案为： 3．（2022·山东淄博·中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 ． 【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，，由，推出． 【详解】解：将顶点绕点逆时针旋转得点， ， 再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点 ，，，，，， 观察发现：每四个点一个循环，， ， ； 故答案为：． 4．（2021·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(x-5)(0≤x≤5)的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数式表示)． 【分析】图象进行一次旋转，横坐标向右移动5个单位长度，顶点纵坐标当n为奇数时为负，当n为偶数时为正，绝对值不变，顶点横坐标加5． 【详解】解：令y=0，代入抛物线得：0=x(x-5)， 解得x=0或x=5， ∴x1坐标(5,0)，x2坐标(10,0)，x3坐标(15,0)，…， 故xn坐标(5n，0)， 当n=6时，x6坐标为(30,0)， 抛物线， ∴顶点y1坐标，顶点y2坐标，顶点y2坐标，…， 故顶点yn坐标． 故答案为：(30,0)，． 【题型5】函数中点的坐标规律探究 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 2．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可． 【详解】解：当，，解得， ∴点, ∵是正方形， ∴， ∴点， ∴点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点， 即点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点的横坐标是， …… 以此类推，则点的横坐标是 故答案为： 3．（2022·山东东营·中考真题）如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是 . 【分析】如图，设直线与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得，，然后求出，，，…，进而可得，再求出即可． 【详解】解：如图，设直线与x轴交于点C， 在中，当x＝0时，y＝2； 当y＝0时，即，解得：， ∴A（0，2），C（，0）， ∴OA＝2，OC＝， ∴tan∠ACO＝， ∴∠ACO＝30°， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴AC＝， ∵AO⊥， ∴， ∴， 同理可得：，，…， ∴， ∴， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 考向三：数字类 【题型6】数字变化规律探究 1 1,3,5,7,………则第n个数为2n-1； 2 2,4,6,8，……则第n个数为2n； 3 平方型：1，4,9,16，….则第n个数为n2; 4 等差数列型：第一个数为a1,后一个数与前一个数的差都是d，则第n个数为a1+(n-1)d； 5 等比数列型：第一个数为a1,后一个数与前一个数的比都是q，则第n个数为； 1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，…….； 由此可得规律为按2、、、四个数字一循环， ∵， ∴； 故选A． 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 3．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ． 【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（2024·山东淄博·二模）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为 ． …… 【分析】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性． 观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列，第n行的分子分母之和是，据此规律求解即可． 【详解】观察表得：分数的分子是几，则必在第几列； 只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第23列，即； 每一行的分子分母之和保持不变，不难发现第n行的分子分母之和是， 分数所在的行数是：，即， ， 故答案为：2023． 5．（2023·山东泰安·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16 17  18  19  20  21  22  23  24  25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是 ． 【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案． 【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数， ， 在第45行倒数第3个， 第45行有个数，倒数第三个数为87， 表示2023的有序数对是， 故答案为：． 【题型7】代数式规律探究 1 对于1+2+3+….+n，1+3+5+7+…+2n-1这类等差数列求和问题，和为； 2 对于，结合即可求解； 3 对于，结合即可求解； 4 对于，结合即可求解； 1．（2023·山东泰安·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 【分析】根据规律将所求式子变形为，再变形代入即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 2．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴． 故答案为： 3．（2021·山东滨州·二模）观察下列各式的规律: ①1×3-22=3-4=-1； ②2×4-32=8-9=-1； ③3×5-42=15-16=-1 ...... 请按以上规律用含有字母的式子表示第n个算式为 . 【分析】观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可 【详解】序号为1时，1×3−=3−4=−1， 序号为2时，2×4−=8−9=−1， 序号为3时，3×5−=15−16=−1， 序号为4时，4×6−=24−25=−1； 故第n个式子为：n (n+2)− =−1． 故答案为n (n+2)− =−1． 4．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考向四：图形面积类 【题型8】图形面积规律探究 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值． 【详解】当时，的纵坐标为8， 当时，的纵坐标为4， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （建议用时： 分钟） 1．（2023·山东济宁·二模）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子， 依题意，， 解得：（舍去）， 故答案为：． 2．（2022·山东德州·二模）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ． 【分析】由图可知，……；由此可知，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：，……； ∴， ∴， ∴ = = = = =2021； 故答案为2021． 3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）    A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为；•••；第n个正方形的边长为．所以，第6个正方形的边长． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长， 根据勾股定理得，第6个正方形的边长． 故选：C． 4．（2023·山东聊城·一模）如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 【分析】利用正方形的性质得到，，从而可得，则同样方法得到，利用此变化规律得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 同理可证：， ， ．．．．．． ， ， ． 故答案为：． 5．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到； 第3圈有16个点，即到，； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确； 是在第23圈上，且，即，故B选项正确； 第n圈，，所以，故C、D选项不正确； 故选B． 6．（2022·山东枣庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点：以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点；以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．    【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，点的坐标变化规律．根据等边三角形的性质得出，则，即可得出，则纵坐标为1，同理得出纵坐标为，纵坐标为，……，归纳得出纵坐标为，即可解答． 【详解】解：∵，为等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴纵坐标为1， 同理可得：纵坐标为，纵坐标为，……， ∴纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 7．（2022·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（　　） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第2n次跳动至点的坐标是， 则第2022次跳动至点的坐标是， 第2021次跳动至点的坐标是． ∵点与点的纵坐标相等， ∴点与点之间的距离， 故选：A． 8．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ． 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，即， ∵是等边三角形，轴，， ∴点的横坐标为，即， ∴， ∵是等边三角形，轴， ∴点的横坐标为，即， ∴， ∵是等边三角形，轴， ∴点的横坐标为，即， 以此类推，点的横坐标为， ∴当时，点的横坐标为． 故答案为： 9．（2023·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为 ． 【分析】联立直线与直线的表达式并解得，故，，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，即可求解，找出规律即可求得答案． 【详解】解：由解得， ，； 点，， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式解得， 直线的表达式为：， 由解得， ，， ，， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式解得， 直线的表达式为：， 同理可得的纵坐标为， 按此规律，则点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 11．（2025·山东·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．根据题目中的数据可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到 的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含的代数式表示出第组最后一个数，判断出第组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规律是解题的关键． 【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个， ∴第组最后一个奇数为：， ∴当时，第组最后一个奇数为：， 当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，， 则表示的数是， 故答案为：． 13．（2022·山东威海·中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(   ) A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$