专题01 二次根式运算及性质（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 二次根式运算及性质 题型概览 【经典基础题】 题型01二次根式有意义条件 题型02最简二次根式、同类二次根式 题型03分母有理化 题型04 二次根式混合运算 题型05 二次根式与乘法公式 【优选提升题】 题型01 利用二次根式性质化简 题型02复合二次根式化简 题型03二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式有意义条件 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项符合题意； B、不是二次根式，则此项不符合题意； C、不是二次根式，则此项不符合题意； D、不是二次根式，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式，熟记二次根式的定义是解题关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若分式有意义，则应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解；∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 4（23-24八年级下·福建福州·期中）若代数式有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得：且． 故选：且 ( 题型02 ) 最简二次根式、同类二次根式 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质、及同类二次根式，根据二次根式的性质及同类二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、与不能进行合并，故不符合题意； B、，则能与进行合并，故符合题意； C、，则不能与进行合并，故不符合题意； D、，则不能与进行合并，故不符合题意； 故选B． 2．23-24八年级下·福建三明·期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简和最简二次根式．被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．化简后利用最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∴，，，都不是最简二次根式． 是最简二次根式． 故选：D． 4．23-24八年级下·福建龙岩·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，解一元一次方程， 根据同类二次根式的定义可得出， 解方程即可得出a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．23-24八年级下·福建厦门·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 【答案】符合条件的的值有： 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．由二次根式有意义的条件及是非负整数得到，根据，且与是同类二次根式，知，分别取即可得答案． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ，且与是同类二次根式， ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 符合条件的的值有：． 6．（23-24八年级下·福建莆田·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解二元一次方程组，求解代数式的值，根据同类二次根式的定义得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， ∴． ( 题型03 ) 分母有理化 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同时乘，计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ） A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【答案】C 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据题干求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，可判断与的大小． 【详解】（1）解：由题意知，的有理化因式是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下； 由题意知，，， ∵， ∴，即． ( 题型04 ) 二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算． （1）把二次根式化为最简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）化简二次根式后合并同类二次根式再约分即可； （3）利用完全平方公式展开并计算立方根，再进行加减运算即可； （4）先求出算术平方根、化简绝对值、计算乘方后再进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）计算：． 【答案】0 【分析】利用二次根式的乘除法则，再化为最简式并合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算．掌握二次根式的乘除法则是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键； （1）先根据乘方的意义、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的乘法法则运算和二次根式的除法法则运算即可； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟记运算法则是关键． （1）根据二次根式的乘除法则运算计算，再合并即可； （2）利用完全平方公式及二次根式乘法去括号，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ( 题型0 5 ) 二次根式与乘法公式 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用因式分解求值等知识． （1）先将分解因式，再代入即可求解； （2）先将分解因式，再代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，求的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、多项式与多项式相乘，熟练掌握完全平方公式在整式中的应用是解题关键．首先把原式化为，把代入原式计算即可． 【详解】解：，， 3．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)2；2 (2)8 (3)2020 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值： （1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出； （2）把进行恒等变形，从而得到，代入计算即可； （3）先进行分母有理化，可得，从而得到，进而可得，然后再代入计算即可； 掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2；2． （2）， ，，， ， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ． ( 题型01 )利用二次根式性质化简 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， 故选：C． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 4．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，根据，依题意，分，两种情况讨论，求得的值，进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应y值的总和是． 故答案为：． 5．（21324八年级下·福建龙岩·期中）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： 解：由1－3x≥0，得，∴1－x＞0， ∴原式＝（1－3x）－（1－x）＝1－3x－1＋x＝－2x 按照上面的解法，试化简： 【答案】1 【分析】根据二次根式的非负性得到2-x≥0，得到，由此化简即可． 【详解】解：∵2-x≥0， ∴， ∴ = =3-x-（2-x） =3-x-2+x =1． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，化简二次根式，化简绝对值，正确掌握二次根式的非负性求出，是解题的关键． ( 题型02 ) 复合二次根式化简 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． ( 题型03 ) 二次根式的应用 2．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积为． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是本题的关键． （1）设矩形纸片相邻两边长分别为，，根据题意可得，解得的值，可得矩形纸片相邻的两边长； （2）如图，正方形的边长为，正方形边长，可得正方形与正方形的面积． 【详解】（1）解：设矩形纸片相邻两边长分别为，， 依题意得： ∵， ， ， 矩形纸片相邻两边长分别为，； （2）由（1）可得： 正方形边长， ， 正方形边长， ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）（）填空（只填写符号：，，） 当，时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， （）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明； （）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【答案】（）；；；；（），证明见解析；（）． 【分析】（）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系； （）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ； （）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定镜框周长的最小值； 本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设长方形的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式运算及性质 题型概览 【经典基础题】 题型01二次根式有意义条件 题型02最简二次根式、同类二次根式 题型03分母有理化 题型04 二次根式混合运算 题型05 二次根式与乘法公式 【优选提升题】 题型01 利用二次根式性质化简 题型02复合二次根式化简 题型03二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式有意义条件 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若分式有意义，则应满足 ． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（23-24八年级下·福建福州·期中）若代数式有意义，则m的取值范围是 ． ( 题型02 ) 最简二次根式、同类二次根式 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．23-24八年级下·福建三明·期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 4．23-24八年级下·福建龙岩·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．23-24八年级下·福建厦门·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 6．（23-24八年级下·福建莆田·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． ( 题型03 ) 分母有理化 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）计算的结果是 ． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ） A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） ( 题型04 ) 二次根式混合运算 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）计算：． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． ( 题型0 5 ) 二次根式与乘法公式 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，求的值． 3．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）材料：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，由，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，平方得，整理可得：，即． 所以 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则_____________，_____________； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． ( 题型01 )利用二次根式性质化简 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 4．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是 ． 5．（21324八年级下·福建龙岩·期中）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： 解：由1－3x≥0，得，∴1－x＞0， ∴原式＝（1－3x）－（1－x）＝1－3x－1＋x＝－2x 按照上面的解法，试化简： ( 题型02 ) 复合二次根式化简 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． ( 题型03 ) 二次根式的应用 2．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）（）填空（只填写符号：，，） 当，时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， （）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明； （）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$