广东省东莞高级中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

- 1 - 2024－2025 学年第二学期东莞高级中学第一次教学质量检测 高二数学 说 明：本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效。 一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1．用 0～9 这 10 个数字可以设置成（ ）种不同的 6 位银行卡密码. A． 6 10C B． 6 10A C． 106 D． 610 2．已知函数 ( )f x x ，则 0 (1 ) (1) lim 2x f x f x       （ ） A． 1 4 B． 1 2 C．1 D． 2 3．已知函数   2 cos 2f x x x  ，则（ ） A．      3πf e f f  B．      3 πf e f f  C．      3πf f f e  D．      3f f fe   4．设 202555 7n r  ，其中n N ，且0 7r  ，则 r （ ） A．1 B．3 C．5 D．6 5．已知数列{ }na 的前项和为 nS ，若 1 2a  ，且 1 2 ( )n na S n N     ，则（ ） A．{ }na 为等比数列 B．{ }na 为等差数列 C．{ }nS 为等比数列 D．{ }nS 为等差数列 6．小米集团计划在 5 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个， 则不同的投资方案有（ ） A．36 种 B．60 种 C．120 种 D．180 种 7．已知正四棱锥的侧棱长为3 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A．1 B． 3 C． 2 D． 3 8．定义满足方程     1f x f x   的解 0x 叫做函数  f x 的“自足点”，则下列四个函数： ①   2 3f x x x   ；②   1 g x x x   ；③   lnh x x ；④   sin 3xp x e x   ， 则存在“自足点”的函数共有（ ）个. A．1 B． 2 C．3 D． 4 二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.) 9．函数 ( )f x 的导函数 '( )f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 1x  是 ( )f x 的极小值点 B. 3x   是 ( )f x 的极大值点 C.  f x 的单调减区间是 3, 1  D. (0) (1)f f 10．下列说法正确的是（ ） A． 2 1 2 2 1 ( 1) n n n n n nA A n A       B． 5 9 1 5 n n n nC C     C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 59 种 D．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得 2 个，有15种不同的分配方法 11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨 辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华 民族自豪的. 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则 下列结论正确的是（ ） A．第 20 行中从左到右第 14 个数与第 15 个数之比为2:1 B．记第 n行的第 i 个数为 ia ，则 1 1 4 5 n i n i i a   C．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列 na ，则数列 1  na       的前n项和为 2 1 n n  D．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列 na ，则数列 na 的前n项和为 3 2Cn - 2 - 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.) 12．若函数   3 2 1 3 10 2 f x x ax x    在 R 上有极值，则实数a的取值范围是 ． 13．已知圆 2 2( 1) 1x y   与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的一条渐近线交于 ,A B两点，且 3AB  ， 则该双曲线的离心率为 ． 14．若     5 6 0 1 61 2 2x x a a x a x      ，则 1 2 6...a a a    ， 2a  ． 四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分 13 分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答. 条件①：展开式中第 3 项的二项式系数是 21； 条件②：展开式中第 2 项与第 7 项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于 64. 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式 1 (2 ) ( )nx n N x   ，若______，求： （1）n的值； （2）展开式中二项式系数最大的项． 16. （本小题满分 15 分） （1）求函数    2 1 xf x x x e  的极值. （2）证明不等式： ln( 1) 1 x x x    ； 17. （本小题满分 15 分）如图，四边形 1 1ACC A 与四边形 1 1BCC B 是全等的矩形，AC BC ， 1 3AA AC ， P 为线段 1AA 上的点. （1）若 12AP PA ，求平面 1CPB 与平面 1 1PBC 夹角的余弦值； （2）若直线 1B P与平面 1 1ACC A 所成角的正切值为 3 5 ， 求 1cos ,PC BC  . 18. （本小题满分 17 分）已知函数   3lnf x ax x  ． （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）判断函数  f x 的单调性； （3）若不等式   3f x x  恒成立，求实数a的取值范围． 19. （本小题满分 17 分）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图在直角 坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1： 2 2 1 2 x y  ，A1，A2分别为椭圆 C1的左，右顶点．椭圆 C2以线段 A1A2为短轴且与椭圆 C1为“相似椭圆”． （1）求椭圆 C2的方程； （2）若直线 l与椭圆 1C 分别相交于 A，B 两点，且 1 2 OA OBk k   (O 为原点)，求直线 l 的斜率 的取值范围; （3）设 P 为椭圆 2C 上异于 1A ， 2A 的任意一点，过 P 作 PQ⊥x 轴， 垂足为 Q，线段 PQ 交椭圆 1C 于点 H． 求证：H 为 1 2PA A 的垂心．(垂心为三角形三条高的交点) B 1B 1C 1A C PA